C++进阶 —— 哈希

目录

一,哈希的介绍

哈希的概念

哈希冲突

哈希函数

二,哈希冲突解决

闭散列

开散列

开散列与闭散列比较


        在C++98中,STL提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器,查询效率可达到logN,即最差情况下需要比较红黑树的高度次,当树节点非常多时,查询效率也不理想;最好的查询是,进行很少的比较次数就能够将元素找到,因此C++11,STL又提供了4个unordered系列的关联式容器(unordered_set/unordered_map、unordered_multiset/unordered_multimap),这4个容器与红黑树结构的关联式容器使用方式基本类似,只是结构不同;

一,哈希的介绍

unordered系列关联式容器之所以效率高,是因为其底层使用了哈希结构;

哈希的概念

顺序结构以及平衡树中,元素与其存储位置没有对应关系,因此在查找元素时,必须经过元素的多次比较;顺序查找时间复杂度为O(N),平衡树中为树的高度即O(logN),搜索效率取决于搜索过程中的比较次数;

理想的搜索方法,即可不经过任何比较,一次直接从表中得到要搜索的元素;如构造一种存储结构,通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的元素之间能够建立一一对应的关系,那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素;

插入元素,根据待插入元素关键码,以此函数计算出该元素的存储位置并按次位置进行存放;

搜索元素,对元素的关键码进行同样的计算,把求得的函数值当做元素的存储位置,在结构中按此位置取元素比较,若关键码相等,则搜索成功;

该方式称为哈希(散列)方法,哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数,构造出来的结构称为哈希表(散列表)Hash Table;

该方法进行搜索不必进行多次元素比较,因此搜索速度较快;

C++进阶 —— 哈希_第1张图片

哈希冲突

对于两个元素的关键码k_{i}k_{j},当hash(k_{i})==hash(k_{j}),即不同关键码通过相同哈希函数计算出相同的哈希地址,称为哈希冲突或哈希碰撞;

把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”;

哈希函数

 引发哈希冲突的原因可能是,哈希函数设计不够合理;

哈希函数设计原则

  • 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码,如哈希表允许有m个地址时,其值域必须在0~m-1之间;
  • 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中;
  • 哈希函数应该比较简单;

常见哈希函数

  • 直接定制法(常用)
    • 取关键码的某个线性函数作为散列地址,Hash(Key)=A*Key+B;
    • 适合查找比较小且连续的情况;
    • 优点,简单、均匀;
    • 缺点,需要事先知道关键码的分布情况;
  • 除留余数法(常用)
    • 假设散列表中允许的地址数为m,取一个不大于m,但最接近或等于m的质子p作为除数,按照哈希函数Hash(Key)=Key%p(p
  • 平方取中法(了解)
    • 假设关键码为1234,对其平方就是1522756,抽取中间3位227作为哈希地址;
    • 在如关键码为4321,对其平方就是18671041,抽取中间3为671(或710)作为哈希地址;
    • 比较适合不知道关键码的分布,而位数又不是很大的情况;
  • 折叠法(了解)
    • 是将关键码从左到右分割成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些),然后将这几部分叠加求和,并按散列表长,取后几位作为散列表地址;
    • 适合事先不知道关键码的分布,适合关键码位数比较多的情况;
  • 随机数法(了解)
    • 选择一个随机函数,取关键码的随机函数值为它的哈希地址,Hash(Key)=random(Key);
    • 通常应用于关键码长度不等时常用此法;
  • 数学分析法(了解)
    • 设有n个d位数,每一位可能有r种不同的符号,这r种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同,可能 在某些位上分布比较均匀,每种符号出现的机会均等,在某些位上分布不均匀只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小,选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址;
    • 适合处理关键码位数比较大的情况,如事先折叠关键码的分布且关键码的若干位分布较均匀的情况;

注:哈希函数设计的越精妙,哈希冲突就越低,但无法避免哈希冲突;

二,哈希冲突解决

解决哈希冲突常见方法,闭散列、开散列;

闭散列

也叫开放定址法,当发生哈希冲突时,如哈希表未被装满,说明在哈希表中必然还有空位置,那么可把key存放到冲突位置中的“下一个”空位置中去,寻找“下一个”空位置方法有,线性探测和二次探测;

线性探测

如上述案例中,在插入元素44,计算的哈希地址为4,但该位置已存放了元素,发生了哈希冲突;线性探测,从发生冲突的位置开始,依次向后探测,直到寻找到下一个空位置为止;

  • 插入,通过哈希函数获取插入哈希表中的位置,如该位置没有元素直接插入,如该位置已有元素使用线性探测找到下一个空位置,插入新元素;
  • 删除,采用闭散列处理哈希冲突时,不能随便物理删除哈希表中已有元素,若直接删除会影响其他元素的搜索;因此线性探测采用标记的伪删除法来删除元素;
//哈希表每个空间给个标记
//EMPTY为空,EXISTY已有元素,DELETE元素已删除
enum State{EMPTY, EXIST, DELETE}

优点:实现非常简单;

缺点:一旦发生哈希冲突,所有的冲突连在一起,容易发生数据堆积,即不同关键码占据了可利用的空位置,使得寻找某关键码的位置需要许多次比较,导致效率低下;

线性探测的实现

template
class HashTable
{
	struct Elem
	{
		pair _val;
		State _state;
	};

public:
	HashTable(size_t capacity = 3)
		:_ht(capacity, _size(0))
	{
		for (size_t i = 0; i < capacity; ++i)
		{
			_ht[i]._state = EMPTY;
		}
	}

	bool Insert(const pair& val)
	{
		size_t hashAddr = HashFunc(key);
		while (_ht[hashAddr] != EMPTY)
		{
			if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key)
				return false;
			hashAddr++;
			if (hashAddr == _ht.capacty())
				hashAddr = 0;
		}
		_ht[hashAddr]._state = EXIST;
		_ht[hashAddr]._val = val;
		_size++;
		return true;
	}

	int Find(const K& key)
	{
		size_t hashAddr = HashFunc(key);
		while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY)
		{
			if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val._first == key)
				return hashAddr;
			hashAddr++;
		}
		return hashAddr;
	}

	bool Erase(const K& key)
	{
		int index = Find(key);
		if (index != -1)
		{
			_ht[index]._state = DELETE;
			_size--;
			return true;
		}
		return false;
	}
private:
	size_t HashFunc(const K& key)
		return key % _ht.capacity();
private:
	vector _ht;
	size_t _size;
};

哈希表扩容

散列表的载荷因子定义为:\alpha = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度

\alpha是散列表装满程度的标志因子,由于表长是定值,\alpha与“填入表中的元素个数”成正比,\alpha越大填入表中元素越多,产生冲突的可能性越大;反之,\alpha越小填入表中的元素越少,产生冲突的可能性就越小;实际上,散列表的平均查找长度是载荷因子\alpha的函数,只是不同处理冲突的方法有不同的函数;

对于开放定址法,载荷因子是特别重要因素,应严格限制在0.7-0.8以下;超过0.8,查表时cpu缓存不命中(cache missing)按照指数曲线上升,因此一些采用开放定址法的hash库,如Java的系统库限制了载荷因子为0.75,超过此值将resize散列表;

void CheckCapacity()
{
	if (_size * 10 / _ht.capacity() >= 7)
	{
		HashTable(K, V, HF) newHt(GetNextPrime(ht.capacity));
		for (size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i)
		{
			if (_ht[i]._state == EXIST)
				newHt.Insert(_ht[i]._val);
		}
		Swap(newHt);
	}
}

二次探测

线性探测的缺陷时产生冲突的数据堆积在一块,这与其找下一个位置有关系,因为找空位置的方式就是挨个往后逐个查找的;二次探测就是为了避免该问题的,找下一个空位置的方法为,H_{i}=(H_{0}+i^{2})%m 或 H_{i}=(H_{0}-i^{2})%m(i=1,2,3...,H_{0}是通过散列函数Hash(X)对元素的关键码key进行计算得到的位置,m表示表的大小);

研究表明,当表长度为质数且表转载因子\alpha不超过0.5时,新表项一定能够插入,而且任何一个位置都不会被探查两次,因此只要表中有一半的位置,就不会存在表满的问题,在搜索时可以不考虑表装满的情况,但在插入时必须确保表的装载因子\alpha不超过0.5,如超过需考虑增容;

 因此,闭散列最大的缺陷就是空间利润率较低,这也是哈希的缺陷;

开散列

又叫链地址法(开链法),首先对关键码集合用散列函数计算散列地址,具有相同地址的关键码归于同一子集合,每个子集合称为一个桶,各个桶中的元素通过一个单链表链接起来,各链表的头节点存储在哈希表中;

在开散列中,每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素;

C++进阶 —— 哈希_第2张图片

开散列的实现

template
struct HashBucketNode
{
	HashBucketNode(const V& data)
		:_pNext(nullptr)
		,_data(data)
	{}

	HashBucketNode* _pNext;
	V _data;
};

template
class HashBucket
{
	typedef HashBucketNode Node;
	typedef Node* pNode;
public:
	HashBucket(size_t capacity = 3)
		:_size(0)
	{
		_ht.resize(GetNextPrime(capacity), nullptr);
	}

	pNode* Insert(const V& data)
	{
		size_t bucketNo = HashFunc(data);
		pNode pCur = _ht[bucketNo];
		while (pCur)
		{
			if (pCur->_data == data)
				return pCur;
			pCur = pCur->_pNext;
		}
		pCur = new Node(data);
		pCur->_pNext = _ht[bucketNo];
		_ht[bucketNo] = pCur;
		_size++;
		return pCur;
	}

	pNode* Erase(const V& data)
	{
		size_t bucketNo = HashFunc(data);
		pNode pCur = _ht[bucketNo];
		pNode pPrev = nullptr;
		pNode pRet = nullptr;
		while (pCur)
		{
			if (pCur->_data == data)
			{
				if (pCur == _ht[bucketNo])
					_ht[bucketNo] = pCur->_pNext;
				else
					pPrev->_pNext = pCur->_pNext;
				pRet = pCur->_pNext;
				delete pCur;
				_size--;
				return pRet;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	pNode* Find(const V& data);
	size_t Size()const;
	bool Empty()const;
	void Clear();
	bool BucketCount()const;
	void Swap(HashBucket& ht);
	~HashBucket();
private:
	size_t HashFunc(const V& data)
	{
		return data % _ht.capacity();
	}
private:
	vector _ht;
	size_t _size;
};

开散列增容

桶的个数是一定的,随着元素的不断插入,每个桶中的元素个数会不断增加,可能会导致一个桶中链表节点非常多,进而影响哈希表的性能,因此在一定条件下需要对哈希表进行增容;开散列最好的情况是:每个哈希桶中刚好挂一个节点,再继续插入元素时,每一次都会发生哈希冲突,因此在元素个数刚好等于桶个数时,可给哈希表增容;

void _CheckCapacity()
{
	size_t bucketCount = BucketCount();
	if (_size == bucketCount)
	{
		HashBucket newHt(bucketCount);
		for (size_t bucketIdx = 0; bucketIdx < bucketCount; ++bucketIdx)
		{
			pNode pCur = _ht[bucketIdx];
			while (pCur)
			{
				_ht[bucketIdx] = pCur->_pNext;
				size_t bucketNo = newHt.HashFunc(pCur->_data);
				pCur->_pNext = newHt._ht[bucketNo];
				newHt._ht[bucketNo] = pCur;
				pCur = _ht[bucketIdx];
			}
		}
		newHt._size = _size;
		this->Swap(newHt);
	}
}

开散列的思考

只能存储key为整数的元素,其他类型怎么解决?

除留余数法,最好模一个素数,如何每次快速取一个类似两倍关系的素数?

开散列与闭散列比较

应用链地址法处理溢出,需增设链接指针,似乎增加了存储开销;事实上,由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率,如二次探查法要求转载因子\alpha<=0.7,而表项所占空间又比指针大的多,所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间;

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