2020年全国大学生数学建模竞赛B题穿越沙漠问题——建立整数线性规划模型（ILP）——通过LINGO求解

2020年全国大学生数学建模竞赛B题 穿越沙漠


题目是讲玩家在不同地图下穿越沙漠，所获得的资金数要最多（大概是这个意思）。然后通过文章的描述又总结了N个约束条件。整体的思路就是对资金最大化作为目标函数在给定约束，利用具体（已知）条件，进行单目标优化。
总的分三小问：
第一问：玩家在已知每天天气条件下，对地图1和2进行路径规划。
第二问：玩家在未知每天天气条件下，对地图3和4进行路径规划。
第三问：多个玩家游戏，讨论已知天气条件（地图5）和未知天气条件（地图6）的合理决策。
每个地图在Result.xls附录中给出了具体的信息，其中包括：

地图拓扑结构，初始购买金额限值，负重限制，日期限值，不同天气对当日物资消耗的影响。
玩家总的思路就是从起点去往终点，在路途中确定当天合适的决策（移动/停留），物资不能消耗殆尽（不能饿死也不能渴死）。如果选择在矿山停留可以选择挖矿，经过村落可以通过资金进行补给，最后到达终点时使剩余资金最大化。
确定好思路后，就可以开始建模了。
主要考虑四大部分：
已知条件、决策变量、约束条件、目标函数
1.已知条件：
前两问给出了已知的天气情况，这里用$w_i$表示第$i$天的天气：
$$w_i=\{\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\begin{array}{c}\text{晴朗}\\ \text{高温}\\ \text{沙暴}\end{array}$$

根据题目给出的已知信息，可以知道对应基础水和食物的消耗量分别为：
$$p_i=\{\begin{array}{c}5\\ 8\\ 10\end{array}\begin{array}{c}{w}_i=1\\ w_i=2\\ w_i=3\end{array}{q}_i=\{\begin{array}{c}7\\ 6\\ 10\end{array}\begin{array}{c}{w}_i=1\\ w_i=2\\ w_i=3\end{array}$$
2.决策变量：
初始食物和水的购买量：X,Y均为正整数
村落食物和水的补给量：CX,CY均为正整数
当日行动决策变量均为0-1变量：
$$\begin{gathered} x_{jk}^i=\{\begin{array}{c}1\text{ 第}i\text{天从地方}j\text{走向地方}k\\ 0\text{ 其他}\end{array} \\ z{1}_i=\{\begin{array}{c}1\text{ 停留}\\ 0\text{ 行走}\end{array} \\ z{2}_i=\{\begin{array}{c}1\text{ 挖矿}\\ 0\text{ 不挖矿}\end{array} \\ z{3}_i=\{\begin{array}{c}1\text{ 购买物资}\\ 0\text{ 不购买物资}\end{array} \end{gathered}$$
3.约束条件
物资（水和食物）的重量限制和初始资金限制：
$$\{\begin{array}{c}weight=3X+2Y⩽1200\\ cost=5X+10Y⩽10000\end{array}$$
对于移动我们只能在相邻的区域之间进行移动，因此我们需要通过matlab对图区域之间的接壤情况列出距离矩阵$d_{ij}$：
$$d_{ij}=\{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\text{区域}i\text{与区域}j\text{接壤}\\ \text{不接壤}\end{array}$$
列出距离矩阵后，对决策变量进行限制，使玩家只能在相邻区域之间进行移动：
$$x_{jk}^i⩽d_{jk}$$
每天的决策只能有一个，要么在某地停留要么移动，因此有约束条件：
$$\sum _{j=1}^N\sum _{k=1}^N{x}_{jk}^i=1$$
首先第1天要从起点1开始出发去往某地k，于是便有：
$$\sum _{k=1}^N{x}_{1k}^1=1$$
其次我们需要保证路径是连续的，因此当天的出发地要是前一天的目的地：
$$\sum _{j=1}^N{x}_{jk}^i=\sum _{j=1}^N{x}_{kj}^{i+1}$$
最后需要某一天抵达终点，因此需要保证：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{\begin{array}{c}k=1\end{array}}^{N-1}{x}_{kN}^i=1$$
到达终点停止，若到达终点，未满30天，后面的天数则视为在终点处停留，不消耗物资，资金数也不发生变化：
$$\sum _{j=1}^N{x}_{j27}^i-x_{2727}^{i+1}=0$$
如果第$i$天想在某地$j$停留则可以表示为：$x_{jj}^i=1$，那么表示停留/行走的0-1变量$z{1}_i$就需要满足表达式：
$$z{1}_i=\sum _{j=1}^N{x}_{jj}^i$$
题目给定的额外条件有：
沙暴天气一定得停留：
$$w_i-\sum _{j=1}^n{x}_{jj}^i⩽2$$
停留矿山可以挖矿，设矿山为$m$则有：
$$z{2}_i⩽x_{mm}^i$$
途径村落可以购买物资，设村庄为$t$则有：
$$z{3}_i⩽\sum _{j=1}^N{x}_{tj}^i+x_{jt}^i$$
决策所产生的资金变化：
a.挖矿收益：
$$r_i=\{\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\begin{array}{c}z{2}_i=1\\ z{2}_i=0\end{array}$$
b.物资购买为初始地的两倍价格。
最后得出的每天资金减少量为：$clos{s}_i=10c{X}_i+20c{Y}_i-r_i$
剩余资金：$rewar{d}_i=10000-cost-{\sum }_{q=1}^{i-1}clos{s}_q$
决策后所剩余的水和食物必须充足，满足生存条件，同时资金限制和重量限制也需要满足：
$$\begin{gathered} 10000-cost-\sum _{q=1}^{i-1}clos{s}_q⩾clos{s}_i \\ 1200-weight-\sum _{q=1}^{i-1}wlos{s}_q⩾wlos{s}_i \end{gathered}$$
每天水和食物的消耗量计算公式：
$$y{X}_i=\{\begin{array}{c}{p}_i{b}_i\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\text{未抵达终点}\\ \text{抵达终点}\end{array}y{Y}_i=\{\begin{array}{c}{q}_i{b}_i\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\text{未抵达终点}\\ \text{抵达终点}\end{array}$$
其中倍数$b_i$的计算公式为：
$$b_i=\{\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\begin{array}{c}\text{停留}\\ \text{移动}\\ \text{挖矿}\end{array}$$
4.目标函数：
剩余物资半价回收处理：
$$\max f=rewar{d}_{30}+5foo{d}_{30}+2.5wate{r}_{30}$$
LINGO编程求解：

model:
sets:
a1/1..27/;
a2(a1,a1):d;
!d是由题目给出的拓扑图所获得的相邻矩阵关系,d(j,k)=1表示区域j和k相邻,否则不相邻;
a3/1..30/:cX,cY,yY,yX,w,z1,z2,z3,b,r,aX,aY,kk,wuzi,shui;
!cX cY是村庄购买食物和水的量,yX,yY是食物和水对应天气所需要的消耗量,w代表天气 1 2 3分别为晴朗、高温和沙暴;
!z1,z2,z3代表移动、挖矿、购买的决策变量,b是z1、z2、z3决策所造成的倍数:移动是2 停留是1 挖矿是3,r是挖矿收益,若挖矿则收益为1000,aX、aY每天食物和水的消耗量;
!kk代表剩余资金,wuzi为剩余食物,shui剩余水;
a4(a3,a1,a1):x;!x(i,j,k)=1表示第i天从j点去往k点;
a5(a3,a1);
endsets

x1>0;
y1>0;
@gin(x1);
@gin(y1);
!起始点购买水和物资的数量大于0且为整数;

@for(a3(i):@bin(z1(i)));
@for(a3(i):@bin(z2(i)));
@for(a3(i):@bin(z3(i)));
!行动决策变量为0-1变量,z1=1表示停留 0作移动,z2=1表示挖矿 0则不挖矿,z3=1表示途径村落购买物资,0则不买物资;
@for(a3(i):@gin(cX(i)));
@for(a3(i):@gin(cY(i)));
@for(a3(i):cX(i)>=0);
@for(a3(i):cY(i)>=0);
!购买食物和水的数量必须大于0且为整数;
!各变量约束;

weight=3*x1+2*y1;
cost=5*x1+10*y1;
cost<=10000;
weight<=1200;
!初始约束,重量和资金约束;

@for(a4(i,j,k):x(i,j,k)<=d(j,k));
!只走接壤 只有d(j,k)=1时候,x(i,j,k)才可以为1,因此x严格小于等于d;
@for(a4(i,j,k):@bin(x(i,j,k)));
!整数规划;
@for(a3(i):@sum(a2(j,k):x(i,j,k))=1);
!每天一决策 对j k求和 对于所有的i x(i,j,k)仅有一个为1;
@sum(a1(k):x(1,1,k))=1;
!起点出发 第一天从1处去往k点,若k=1则为停留;
@sum(a5(i,j)|j#ne#27:x(i,j,27))=1;
!有一天走去终点,必然从不等于27的区域去往27 27是第一问题目的终点;
@for(a3(i)|i#ne#30:x(i+1,27,27)=@sum(a1(j):x(i,j,27)));
!到达终点停止,若到达终点,未满30天,后面的天数则视为在27处停留,不消耗物资,资金数也不发生变化;
@for(a5(i,j)|i#ne#30:@sum(a1(k):x(i+1,j,k))=@sum(a1(k):x(i,k,j)));
!当天出发=前一天目的地,保持移动路径连续;
@for(a3(i):z1(i)=@sum(a1(j):x(i,j,j)));
!是否停留;
@for(a3(i):w(i)-@sum(a1(j):x(i,j,j))<=2);
!沙暴必须停留 w=3 @sum(a1(j):x(i,j,j))必须为1进行停留 w=1或者2时候@sum(a1(j):x(i,j,j))可以为0或者1;
@for(a3(i):cX(i)<=1000*z3(i));
!购买食物条件,只有z3=1时可以购买物资,姑且设1000为数量上限;
@for(a3(i):cY(i)<=1000*z3(i));
!购买水条件,同样只有z3=1时可以购买物资,姑且设1000为数量上限;
@for(a3(i):r(i)=1000*z2(i));
!挖矿条件 z2=1了,才会有收益;
@for(a3(i):10*cX(i)+20*cY(i)<=10000-cost-@sum(a3(j)|j#lt#i:10*cX(j)+20*cY(j)-r(j)));
!资金限制,（第i天购买水和食物的资金）必须小于（总资金-初始购买所花资金-前面所有天历史花费的资金+历史挖矿所得资金）;
@for(a3(i):3*cX(i)+2*cY(i)<=1200-weight-@sum(a3(j)|j#lt#i:3*cX(j)+2*cY(j)-3*yX(j)-2*yY(j)));
!重量限制,（第i天购买水和食物的重量）必须小于（总重量-初始购买的水和食物的重量-前面所有天消耗的水和食物的重量+前面所有天历史购买的水和食物的重量）;
@for(a3(i):yX(i)=aX(i)*b(i));
@for(a3(i):yY(i)=aY(i)*b(i));
!消耗量函数 总消耗量=单位消耗量决策倍数;
@for(a3(i):b(i)=2+2*z2(i)-z1(i)-x(i,27,27));
!消耗量关于天气 决策的函数关系 b表示倍数 挖矿3倍 移动2倍 停留1倍 如果抵达终点在终点停留为0倍;
@for(a3(i):z2(i)<=x(i,12,12));
@for(a3(i):z3(i)<=@sum(a1(j):x(i,j,15)+x(i,15,j)));
!挖矿 购买 决策约束条件 挖矿必须在矿山12处作停留 购买物资必须途径村庄15;
max=kk(30)+2.5*shui(30)+5*wuzi(30);
!目标函数;
@for(a3(i):kk(i)=10000-cost-@sum(a3(j)|j#lt#i:10*cX(j)+20*cY(j)-r(j))+r(i));
!剩余总资金;
@for(a3(i):shui(i)=x1-@sum(a3(j)|j#lt#i:yX(j)-cX(j))-yX(i));
@for(a3(i):wuzi(i)=y1-@sum(a3(j)|j#lt#i:yY(j)-cY(j))-yY(i));
!剩余水和食物必须大于0;
@for(a3(i):wuzi(i)>=0);
@for(a3(i):shui(i)>=0);
@for(a3(i):aX(i)=@if(w(i)#eq#1,5,@if(w(i)#eq#2,8,10)));
@for(a3(i):aY(i)=@if(w(i)#eq#1,7,@if(w(i)#eq#2,6,10)));
data:
w=2 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 2 2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 2;
@text('data.txt')=@write('最大资金数为',kk(30)+2.5*shui(30)+5*wuzi(30),'元 行走路径为:',@newline(1));
@text('data.txt')=@writefor(a4(i,j,k)|x(i,j,k)#eq#1 #and# x(i,27,27)#eq#0:'第',i,'天','从',j,'点去往',k,'点,','消耗水',yX(i),'个,食物',yY(i),'个,剩余水',shui(i),'个,食物有',wuzi(i),'个;',@newline(1));
@text('data.txt')=@writefor(a3(i)|@sum(a1(j):x(i,j,27))#eq#1 #and# x(i,27,27)#eq# 0:'在第',i,'天抵达终点。',@newline(1));
@text('data.txt')=@writefor(a3(i)|z2(i)#eq#1:'在第',i,'天选择挖矿',@newline(1));
@text('data.txt')=@writefor(a3(i)|z3(i)#eq#1:'在第',i,'天从村落里购买了',cX,'个食物和',cY,'个水',@newline(1));
d=
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1;
enddata
end

LINGO求解结果：
第一问通过LINGO@text{}输出结果如下：
最大资金数为10470元 行走路径为：
第1天从1点去往25点，消耗水16个，食物12个，剩余水162个，食物有321个；第2天从25点去往24点，消耗水16个，食物12个，剩余水146个，食物有309个；第3天从24点去往23点，消耗水10个，食物14个，剩余水136个，食物有295个；第4天从23点去往23点，消耗水10个，食物10个，剩余水126个，食物有285个；第5天从23点去往22点，消耗水10个，食物14个，剩余水116个，食物有271个；第6天从22点去往9点，消耗水16个，食物12个，剩余水100个，食物有259个；第7天从9点去往9点，消耗水10个，食物10个，剩余水90个，食物有249个；第8天从9点去往15点，消耗水10个，食物14个，剩余水80个，食物有235个；第9天从15点去往14点，消耗水16个，食物12个，剩余水64个，食物有223个；第10天从14点去往12点，消耗水16个，食物12个，剩余水211个，食物有211个；第11天从12点去往12点，消耗水10个，食物10个，剩余水201个，食物有201个；第12天从12点去往12点，消耗水24个，食物18个，剩余水177个，食物有183个；第13天从12点去往12点，消耗水15个，食物21个，剩余水162个，食物有162个；第14天从12点去往12点，消耗水24个，食物18个，剩余水138个，食物有144个；第15天从12点去往12点，消耗水24个，食物18个，剩余水114个，食物有126个；第16天从12点去往12点，消耗水24个，食物18个，剩余水90个，食物有108个；第17天从12点去往12点，消耗水30个，食物30个，剩余水60个，食物有78个；第18天从12点去往12点，消耗水10个，食物10个，剩余水50个，食物有68个；第19天从12点去往12点，消耗水24个，食物18个，剩余水26个，食物有50个；第20天从12点去往13点，消耗水16个，食物12个，剩余水10个，食物有38个；第21天从13点去往15点，消耗水10个，食物14个，剩余水0个，食物有24个；第22天从15点去往9点，消耗水10个，食物14个，剩余水0个，食物有26个；第23天从9点去往21点，消耗水16个，食物12个，剩余水10个，食物有14个；第24天从21点去往27点，消耗水10个，食物14个，剩余水0个，食物有0个；在第24天抵达终点。
在第12天选择挖矿，在第13天选择挖矿，在第14天选择挖矿，在第15天选择挖矿，在第16天选择挖矿，在第17天选择挖矿，在第19天选择挖矿
在第9天从村落里购买了163个食物和0个水
在第21天从村落里购买了10个食物和16个水
在第22天从村落里购买了26个食物和0个水

建立的模型均是ILP，求解速度都很快。
第二问代码见：https://download.csdn.net/download/Xialiuto/79002543