线性代数——余子式

在$n$ 阶行列式中，把元素$a_{ij}$ 所在的第$i$行和第 $j$列划去后，余下的$（n-1）$阶行列式，称为元素$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$ ；再记:
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
称$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式。

$M_{ij}$ 、$A_{ij}$均为$（n-1）$阶行列式；

$M_{ij}$ 、$A_{ij}$只与$a_{ij}$的位置有关，与$a_{ij}$是什么无关

例子

例如，对三阶行列式
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$
元素$a_{11}$的余子式和代数余子式分别为：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& -& -\\ |& a_{22}& a_{23}\\ |& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$
$==>$
$$\begin{gathered} M_{11}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|, \\ {A}_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=M_{}11=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right| \end{gathered}$$
元素$a_{12}$的余子式和代数余子式分别为：
$$\left|\begin{array}{ccc}-& a_{12}& -\\ a_{21}& |& a_{23}\\ a_{31}& |& a_{33}\end{array}\right|$$
$==>$
$$\begin{gathered} M_{12}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|, \\ {A}_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=-M_{12}=-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right| \end{gathered}$$

性质

行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，
即：
按行：
$$\begin{gathered} D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},i\in (1,2,...,n) \\ 或D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in} \end{gathered}$$
按列：
$$\begin{gathered} D=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij},j\in (1,2,...,n) \\ 或D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj} \end{gathered}$$