数学建模：线性规划及 Python 求解

线性规划模型形式

线性规划模型的一般形式为
$$\begin{array}{c}\max (\min )z=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j;(1)\\ \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le (\ge ,=)b_i,i=1,2,\cdots ,m,\\ x_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n.\end{array}(2)\end{array}$$

或矩阵形式
$$\begin{array}{cc}& \max (\min )z=c^{T}x;(1)\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}Ax\le (\ge ,=)b,\\ x\ge 0.\end{array}(2)\end{array}$$

其中，式 (1) 称为目标函数，式 (2) 称为约束条件。

线性规划问题的Python求解

1. scipy.optimize.linprog

标准型式:
$$\begin{array}{c}\min z=c^{T}x\\ \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ Lb\le x\le Ub\end{array}\end{array}$$

调用方式:

from scipy.optimize import linprog
res=linprog(c, A=None, b=None, Aeq=None, beq=None, bounds=None, method='simplex') 

c, A, b, Aeq, beq 分别为上述标准型式中的目标向量, 不等号约束, 与等号约束.
bounds 是决策向量的下界和上界所组成的 $n$ 个元素的元组. 如 $-\infty <x_1<+\infty$, $-3⩽x_2<+\infty$, 则 bounds=((None,None),(-3,None))

# Lb, Ub 转化为 bounds
bounds=tuple(zip(Lb, Ub))

默认每个决策变量下界为 $0$, 上界为 $+\infty$

返回值:

print(res.fun) #最优值 (目标函数最小值)
print(res.x ) #最优解

2. cvxopt.solvers

标准型:
$$\begin{array}{cc}& \min z=c^{T}x\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\end{array}\end{array}$$

调用方式:

import numpy as np
from cvxopt import matrix, solvers
sol=solvers.lp(c,A,b,Aeq,beq)
#c,A,b,Aeq,beq 为 cvxopt.matrix 矩阵
'''
可用 cvxopt.matrix(array,dims) 把array按照dims重新排成矩阵
    省略dims:   如果array为np.array, 则为其原本形式; 
                如果array为list, 则认为 list 中用逗号分隔开的为一"列"
'''

返回值:

print(sol['x']) #最优解
print(sol['primal objective']) #最优值

注:

• 在程序中虽然没有直接使用 NumPy 库中的函数，也要加载
• 数据如果全部为整型数据，也必须写成浮点型数据

3. cvxpy

调用方式:

import cvxpy as cp
import numpy as np
import pandas as pd
x=cp.Variable(shape=(), name=None, var_id=None, **kwargs)
#shape: 表示形状, 可以使用元组表示矩阵
#name: 变量名字, 可以使用字符串
#例如 x=cp.Variable((m,n)) # m*n 的矩阵
#或 x=cp.Variable(shape=(3,3), name='cov', symmetric=True)
'''数域
boolean 布尔型, integer 整数型
x=cp.Variable(shape=(1),boolean=True)
y=cp.Variable(shape=(1),integer=True)
neg 负数, nonneg 非负
x=cp.Variable(shape=(1),nonneg=True)
pos 正数, nonpos 非正
x=cp.Variable(shape=(1),nonpos=True)
complex 复数, imag 虚数 
'''
obj=cp.Minimize(f)  #构造目标函数
#可选 cp.Minimize, cp.Maximize
'''
cvxpy 的函数
使用 * 进行矩阵标量和向量标量乘法。
使用 @ 进行矩阵-矩阵和矩阵-向量乘法。
使用 cp.multiply 进行元素乘法
'''
con=[]  #构造约束条件的列表
prob=cp.Problem(obj,con)  #构造模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose=True) #求解模型, verbose=True 表明显示具体求解信息
#显示已安装的求解器: cp.installed_solvers()

返回值:

print(prob.value) # 最优值
print(x.value) # 最优解

示例:
$$\begin{array}{cc}& \min \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij},\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^n{x}_{ij}\le b,i=1,2,\cdots ,m,\\ \sum _{i=1}^m{x}_{ij}=beq,j=1,2,\cdots ,n,\\ \mathbf{L}\mathbf{b}\le \mathbf{X}\le \mathbf{U}\mathbf{b},\mathbf{X}=(x_{ij}),i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n.\end{array}\end{array}$$

import cvxpy as cp
import numpy as np
import pandas as pd
x=cp.Variable((m,n)) #构造m*n维变量
obj=cp.Minimize(cp.sum(cp.multiply(c,x)))  #构造目标函数
con=[cp.sum(x,axis=1,keepdims=True)<=b,cp.sum(x,axis=0,keepdims=True)==beq,Lb<=x<=Ub]  #构造约束条件
prob=cp.Problem(obj,con)  #构造模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose=True) #求解模型
print(prob.value) # 最优值
print(x.value) # 最优解