matlab sym用法_MATLAB符号计算（一）

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01

符号对象

一、符号对象的建立

(1)sym函数

sym函数用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：

符号对象名=sym(A)

将由A来建立符号对象。其中，A可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式(不加单引号)，此时符号对象为一个符号常量；A也可以是一个变量名(加单引号)，这是符号对象为一个符号变量。

>> t=sym(2);>> t+1/2ans =5/2>> sin(sym(pi/3))ans =3^(1/2)/2>> sin(pi/3)ans =    0.8660>> a=5;>> b=8;>> x=sym('a');>> y=sym('b');>> w=(x+y)*(x-y)w =(a + b)*(a - b)>> s=(a+b)*(a-b)s =   -39>> eval(w)  %将符号表达式表示为数值结果ans =   -39

由上面的例子可以看出：

符号计算的结果是一个精确的数学表达式。

数值计算的结果是一个数值。

(2)syms命令

syms命令可以一次定义多个符号变量，一般其调用格式如下：

syms 符号变量名1 符号变量名2 ... 符号变量名n

其中变量名不能加单引号，相互之间空格隔开。

例如，要同时定义四个符号变量a、b、c、d，则可以输入如下命令：

>> syms a b c d

二、符号对象的运算

(1)四则运算

符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。例如：

>> syms x;>> f=2*x^2+3*x-5;>> g=x^2-x+7;>> f+gans =3*x^2 + 2*x + 2

(2)关系运算

6种关系运算符：<、<=、>、>=、==、~=。

对应的6个函数：lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()。

若参与运算的是符号表达式，其结果是一个符号关系表达式；若参与运算的是符号矩阵，其结果是由符号关系表达式组成的矩阵。

在进行符号对象的运算前，可用assume函数对符号对象设置值域，函数调用格式为：

assume(condition)

assume(expr,set)

第一种格式指定变量满足条件condition，第二种格式指定表达式expr属于集合set。

>> syms x;>> assume(x<0);>> abs(x)==x ans = -x == x

因为x<0，所以abs(x)的值为-x。

>> assume(x,'positive');>> abs(x)==x ans = x == x

因为x为正数，所以abs(x)的值为x。

(3)逻辑运算

3种逻辑运算：&(与)、|(或)、~(非)。

4个逻辑运算函数：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

>> syms x;>> y=x>0&x<10 y = 0 < x & x < 10 >> y=and(x>0,x<10) y = 0 < x & x < 10

(4)因式分解与展开运算

MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数调用格式为:

①factor(s)：对符号表达式s分解因式。

②expand(s)：对符号表达式s进行展开。

③collect(s)：对符号表达式s合并同类项。

④collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

>> syms a b;>> s=a^3-b^3;>> factor(s) ans = [ a - b, a^2 + a*b + b^2] >> factor(12) ans =      2     2     3

【例】梅森素数的验证问题

所谓梅森数，是指形如2^p-1一类整数，其中指数p是素数。将梅森数记为M_p。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。请验证M19、M23、M29、M31是否为梅森素数。

>> syms p;>> m=2^p-1;>> p=19;>> m19=eval(m) m19 =       524287 >> factor(m19) ans =       524287  %524287是梅森素数 >> p=23;>> m23=eval(m) m23 =      8388607 >> factor(m23) ans =           47      178481  %8388607不是梅森素数 m29 =    536870911 >> factor(m29) ans =          233        1103        2089  %536870911不是梅森素数 >> p=31;>> m31=eval(m) m31 =    2.1475e+09 >> factor(m31) ans =    2.1475e+09  %2.1475e+09是梅森素数

(5)其它运算

①提取有理分式的分子分母；[n,d]=numden(s)。

②提取符号表达式的系数：c=coeffs(s,x)。

③符号表达式化简：simplify(s)。

④符号多项式与多项式系数之间的转化：

符号多项式转化为多项式系数向量：p=sym2poly(s)。

多项式系数向量转化为符号多项式：s=poly2sym(p)。

【例】求方程ax²+bx+c=0的根。

>> syms a b c x;>> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2 + b*x + c >> g=coeffs(f,x) g = [ c, b, a] >> g=g(end:-1:1) g = [ a, b, c] >> roots(g) ans =  -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

(6)符号运算中变量的确定

①如果没有明确指定自变量，MATLAB将按照以下原则确定主变量并对其进行相应运算：

寻找除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字母。

若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII码大者优先。

②symvar()函数可以用于查找一个符号表达式中的符号变量，函数调用格式为：

symvar(s,n)

函数返回符号表达式s中的n个符号变量。因此，可以用symvar(s,1)查找表达式s的主变量。

三、符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以用在矩阵意义下进行。

注意：这些函数作用于符号矩阵，是分别作用于矩阵的每一个元素。

例如：建立符号矩阵并简化。

 

>> syms a b x y alp;>> m=[a^3-b^3,cos(alp)^2+sin(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78] m = [                    a^3 - b^3, cos(alp)^2 + sin(alp)^2][ (- 3*x^2 + 15*y*x)/(x - 5*y),                      78] >> simplify(m) ans = [ a^3 - b^3,  1][      -3*x, 78]

【例】当λ取何值时，以下齐次线性方程组有非零解。

对于其次线性方程Ax=0，当rank(A)或|A|=0时，齐次线性方程组有非零解。

syms lamda;A=[1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda];D=det(A);factor(D) 程序运行结果为：ans = [ -1, lamda, lamda - 2, lamda - 3]

从而得知，当λ=0、λ=2或λ=3时，原方程组有非零解。

02

符号微积分

一、符号函数的极限

求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为：

limit(f,x,a)

即求函数f关于变量x在a点的极限。

limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式：

limit(f,x,a,’right’)

limit(f,x,a,’left’)

【例】求下列极限。

>> syms a m x n;>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);>> limit(f,x,a) ans = a^(1/m - 1)/m >> g=(1+1/n)^n;>> limit(g,n,inf) ans = exp(1)  %即自然常数e

二、符号函数的导数

MATLAB中的求导函数为：

diff(f,x,n)

即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1。

【例】求下列函数的导数。

>> syms x y;>> f=sqrt(1+exp(x));>> diff(f) ans = exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2)) >> g=x*exp(y)/y^2;>> diff(g,x) ans = exp(y)/y^2 >> diff(g,y) ans = (x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^3

三、符号函数的积分

(1)不定积分

在MATLAB中，求不定积分的函数int()，其常用的调用格式为：

int(f,x)

即求函数f对变量x的不定积分。

【例】求下列不定积分。

>> syms x t;>> f=(3-x^2)^3;>> int(f) ans = - x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x >> g=5*x*t/(1+x^2);>> int(g,t) ans = (5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))

(2)定积分

在MATLAB中，定积分的计算也使用int()函数，但调用格式有区别：

int(f,x,a,b)

其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。

当函数f关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。

当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。

当a、b中有一个是符号表达式时，函数返回一个符号函数。

【例】求下列定积分

>> syms x t;>> int(abs(1-x),1,2) ans = 1/2 >> int(1/(1+x^2),-inf,inf) ans = pi >> int(4*x/t,t,2,sin(x)) ans = 4*x*(log(sin(x)) - log(2))

【例】河道水流量的估算问题

根据实际测量，得到河流某处宽600m，其横截面不同位置某一时刻的水深如下表所示。

x	0	50	100	150	200	250	300
h(x)	4.4	4.5	4.6	4.8	4.9	5.1	5.4
x	350	400	450	500	550	600
h(x)	5.2	5.5	5.2	4.9	4.8	4.7

①若此刻水流的流速为0.6m/s，试估计该河流此刻的流量。

②已知x方向[50,60]区间为坡式护岸的下部护脚部分，根据相关堤防设计规范，抛石护岸护脚坡度应缓于1:1.5(正切值)，请估计水流冲刷是否已破坏区域的护脚。

分析：

①先拟合出河床曲线，然后进行定积分，计算出河流横截面，即可估计流量。

②根据河床曲线，计算其导函数，并判断相应范围内导函数的取值是否大于1:1.5。

第①问：

xi=0:50:600;yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];p=polyfit(xi,yi,3);plot(xi,yi,'o',xi,polyval(p,xi));syms y x;y=poly2sym(p,x);s=int(y,x,0,600);  %计算横截面积v=s*0.6;  %计算水流量eval(v)

运行后结果为：

ans =    1.7874e+03

第②问：

xi=0:50:600;yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];yn=-yi;p=polyfit(xi,yn,3);plot(xi,yn,'o',xi,polyval(p,xi));syms y x yii;y=poly2sym(p,x);yii=diff(y,x);x=50:60;k=eval(yii);all(abs(k)<1/1.5)

运行结果为：

ans =   logical    1 

参考课程：中南大学《科学计算与MATLAB语言》

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