力扣小白刷题之279题完全平方数

题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如1，4，9，16，…），使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

思路一：BFS

参考：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/dong-tai-gui-hua-bfs-zhu-xing-jie-shi-python3-by-2/

可以将每个整数看成图中的一个节点，如果两个整数之差为一个平方数，那么这两个整数所在的节点就有一条边。
要求解最小的平方数数量，就是求解从节点 n 到节点 0 的最短路径。

使用BFS顺序遍历每一层，当节点差出现 0 时，此时一定是最短的路径。

第一层依次减去一个平方数得到第二层，第二场依次减去一个平方数得到第三层。直到某一层出现了 0，此时的层数就是我们要找的平方数和的最小个数。

如图中绿色所示，此时节点为 0，表示根节点可以由路径上的平方数 {1，1，9}构成，返回此时的路径长度 3，后续不再执行。
而图中的红色节点表示，此节点值在之前已经出现，不需要再计算，一定不会是最短路径，最短路径还未出现。

步骤

借助队列实现BFS(层次遍历)

1. 初始化队列queue = {n}，访问元组 visited = { }，初始化路径长度(层数) level = 0;
2. 循环条件，队列不为空：
   • level++，因为循环依次，意味着一层中的节点已经遍历完，所以路径长度需要加1
   • 定义当前层中的节点数 size = queue.size()，遍历当前层中的所有节点
     • cur 为队首元素
     • 遍历所有 小于 n 的平方数 s
     • next = cur - s
     • 如果 next == 0 ，返回当前的路径长度level
     • 如果 !visited.contains(next) is true，表示当前节点未出现过，将当前节点入队并在访问数组中加入。

BFS代码

代码优化

把visited数组从HashSet改成boolean数组marked，这样只需要boolean数组判断是否已经访问，节省了大量HashSet操作。

生成平方数序列的代码

思路2 ：动态规划

参考了：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/hua-jie-suan-fa-279-wan-quan-ping-fang-shu-by-guan/

还是需要一段创建平方数序列的代码
然后动态规划：

1. 首先创建 长度为 n + 1 的 dp 数组，每个位置的默认初始化值都为 0，dp[i] 表示 i 最少可以由几个完全平方数构成。

2. 如果 n 为 0 ，则结果为 0，会直接return dp[0] = 0

3. 对数组进行遍历，下标为 i，每次都将当前数字先更新为最大的结果，即 dp[i] = i。

4. 动态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)，i 表示当前数字，j * j 表示平方数

   公式推导：(参考了：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/pythonti-jie-xiang-xi-yi-dong-de-dpjie-da-by-xiao-/)

   因为 i = j * j + b，所以可以得出：

dp[i] = 1 + dp[i - j * j]

• 公式含义：
  1. 因为我们设定的 dp[i] 为和为 i 的完全平方数的最少个数，等于当前的这个平方数加上其余的平方数的个数，上面公式的中 1 代表的是个数 1，指的是 j * j 这当前的平方数，而dp[i - j * j] 指的则是剩余的平方数的个数
  2. 由于我们每次计算是先把以前的数的最小平方数目计算出来了，所以只需循环的更新最小的那个完全平方数就好。

5. 时间复杂度：O(n*sqrt(n))，sqrt为平方根
   空间复杂度：O(n)

代码

代码优化