Lucas-Kanade算法总结
Lucas-Kanade算法广泛用于图像对齐、光流法、目标追踪、图像拼接和人脸检测等课题中。
一、核心思想
给定一个模板
和一个输入
，以及一个或多个变换
，求一个参数最佳的变换
，使得下式最小化
在求最优解的时候，该算法假设目前的变换参数
已知，并迭代的计算
的增量
，使得更新后的
能令上式比原来更小。则上式改写为：
二、算法流程
1.初始化参数向量
2.计算及其关于
导数，求得参数增量向量
3.更新，
4.若小于某个小量，即当前参数向量基本不变化了，那么停止迭代，否则继续2,3两步骤。
三、具体做法
对
做一阶泰勒级数展开，则目标函数变为：
对其求导，并令导数为0，得到下式：
对上式中的求解即可，得到的是的解析解：
其中，
四、Lucas-Kanade算法（前向加性算法）
迭代：
1) 利用
，将中各个像素点的坐标对应到中的相应的像素点的坐标，得到
。即和的大小尺寸（像素个数和长宽）相同。
2) 计算
，获得误差图像。
3) 计算中与经过变换对应的像素点的梯度图像
，即计算中各个点在中的梯度。利用，将中各个像素点的坐标对应到的梯度图像中各个点的坐标。
4) 计算在
设定下的Jacobian
。即代入当前参数，计算。如果
是二维坐标，即
，也就是说每行是对
中每个分量对于的每个参数分量的导数：
5) 计算最速梯度下降图
。即利用与中每个像素点相乘。
6) 利用上述提到的公式计算Hessian矩阵
7) 利用上面步骤计算得到的值，计算
8) 利用上述提到的公式计算参数向量的增量
9) 更新，
五、Baker-Matthews算法(逆向组成算法)
预处理：
1) 计算模板的梯度图像
2) 计算在
设定下的Jacobian
3) 计算最速梯度下降图
。即利用与中每个像素点相乘。
4) 利用公式计算Hessian矩阵
迭代：
5) 利用，将中各个像素点的坐标对应到中的相应的像素点的坐标，得到。即和的大小尺寸（像素个数和长宽）相同。
6) 计算，获得误差图像。
7) 利用上面步骤计算得到的值，计算
8) 利用上述提到的公式计算参数向量的增量
9) 更新，
。即将原有的矩阵与
矩阵的逆相乘。
六、参考文献和资料
[1]Matthews I, Baker S. Active appearance models revisited[J]. International Journal of Computer Vision, 2004, 60(2): 135-164.
[2]Cootes T F, Edwards G J, Taylor C J. Active appearance models[J]. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 2001, 23(6): 681-685.
[3]Baker S, Matthews I. Lucas-kanade 20 years on: A unifying framework[J]. International Journal of Computer Vision, 2004, 56(3): 221-255.
[4]利用L-K算法实现的图像对齐程序：http://www.codeproject.com/Articles/24809/Image-Alignment-Algorithms