频谱分析过程中的混叠现象、栅栏现象和泄漏现象

一、混叠现象

信号x（t)经DFT计算出频谱X（k)，它是X（jw)周期化的采样值，如果连续信号x（t)不是带限信号，或者采样频率不满足采样定理，在连续信号离散化时，就会出现信号频谱的混叠。
要解决连续信号x（t）离散化过程中的频谱混叠，主要有两种方法：①对于带限连续信号，只需提高采样频率使之满足时域采样定理；②对于非带限连续信号，可根据实际信号对其进行抗混叠滤波（通过一个低通滤波器），使之成为带限信号。
工程实际中的连续信号一般都不是带限信号，连续信号在采样前通常都经过一个模拟低通滤波器（又称为抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减小混叠误差。低通滤波器的截止频率应该满足

使采样频率大于信号最高频率的2倍，或信号的最高频率小于奈奎斯特频率，以满足采样定理。

二、栅栏现象

栅栏现象，也称栅栏效应，对一函数实行采样，即是抽取采样点上的对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象均被栅栏挡住而视为零，这种现象称为栅栏效应。

DFT得到的频谱X（k）只能是非周期信号连续频谱X（jo）上的有限离散频点上的采样值。由于X（k）是离散序列，因而无法反映采样点之间的细节，就如同隔着百叶窗观察窗外的景色一样，这种现象称为栅栏现象。栅栏现象是利用DFT分析非周期信号连续频谱过程中无法克服的现象，有时频谱中的某些重要信息恰好就在取样点之间，将被错过而检测不到。为了改善栅栏现象，把被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，可在原记录序列后面补零以增加DFT的长度，即增加频域X（k）上的采样点数N，改变离散谱线的分布，就可能检测出原来看不到的频谱分量，如下图所示。在图中通过DTFT得到的信号频谱用灰色线表示，图中用垂直黑线画出了通过FFT得到的谱线，是DTFT频谱离散频点的采样值，可明显看到在两条谱线中间的一些频谱特性没有反映出来。

不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。减小栅栏效应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术（ZOOM），亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。 

三、泄露现象 

对于连续信号的采样序列进行DFT运算，由于时间长度取有限值，即将信号截断，使信号的带宽被扩展了，这种现象称为泄漏。下面讨论泄漏是如何产生的。
设有一个连续的单一频率信号

由傅里叶变换可知，正弦和余弦的傅里叶变换对为

由于窗函数是对称的，得到XT（a）是实函数。这时可以看到式（2-2-21）与式（2-2-17）的区别：在式（2-2-17）中，连续信号的傅里叶变换只在w。处有一个δ函数，但当连续信号被截断并离散化以后（用式（2-2-21）表示），信号的谱线已不限于一个δ函数，而是扩散了，即由于对连续信号截断（加窗）而出现泄漏现象，下图所示。

参考文献：MATLAB数字信号处理85个实用案例精讲——入门到进阶；宋知用（编著）