【数据结构与算法】——第五章：树与二叉树(1)

 ============================ 【说明】 ===================================================
  大家好，本专栏是 数据结构与算法， 该科目是计算机类专业必修课之一，比较重要也比较基础，有想从事算法研究的同学，这些内容是专/本科、甚至硕士期间较为基础的内容，适用范围较广：大学专业课学习、考研复习等。
  通过自己的理解进行整理，希望大家积极交流、探讨，多给意见。后面也会给大家更新其他一些知识。若有侵权，联系删除！共同维护网络知识权利！

1、定义

  前面主要讲的是一对一的线性结构，现在主要讨论关于一种一对多的数据结构—“树”。

  关于树的定义两点强调：
  1、n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根结点。
  2、m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

1.1 结点分类

  树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。
  度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点；
  度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。
  除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
  树的度是树内各结点的度的最大值。
  如下图所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度也为3。

1.2 结点之间的关系

  结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)。相应地，该结点称为孩子的双亲 (Parent)。
  为什么不是父或母，叫双亲呢？对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。
  同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
  结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。如下图，对于H来说，D、B、A都是它的祖先。
  以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I，如下图所示。

1.3 树的其他概念

  结点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树的根就在第l+ 1层。
  其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然下图中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、1、J也是。
  树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度，当前树的深度为4。

  如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树 。
  森林(Forest)是m (m≥0)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
  对比：

2、树的存储结构

  说到存储结构，就会想到我们前面章节讲过的顺序存储和链式存储两种结构。
  先来看看顺序存储结构，用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。这对于线性表来说是很自然的，对于树这样一多对的结构呢？
  思考：树中某个结点的孩子可以有多个，这就意味着，无论按何种顺序将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系，你想想看，数据元素挨个的存储，谁是谁的双亲，谁是谁的孩子呢？简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。
  不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。
  我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

2.1 双亲表示法

  我们都不可能是从石头里蹦出来的，孙悟空显然不能算是人，所以是人一定会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。
  我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器（指针）指示其双亲结点到链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。

  它的结点结构如下表示：

  其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。
  例：

注：由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1。这也就意味着，我们所有的结点都存有它双亲的位置。

  这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)，直到parent为**-1**时，表示找到了树结点的根。

2.2 孩子表示法

  换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。
  不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。
  方法一：
  一种是指针域的个数就等于树的度，前面讲过，树的度是树各个结点度的最大值。

  其中data是数据域。Child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
  例：树的度是3，所以我们的指针域的个数是3

  这种方法对于树中各结点的度相差很大时，显然是很浪费空间的，因为有很多的结点，它的指针域都是空的。不过如果树的各结点度相差很小时，那就意味着开辟的空间被充分利用了，这时存储结构的缺点反而变成了优点。

  既然很多指针域都可能为空，为什么不按需分配空间呢。于是我们有了第二种方案。
  方法二：
  每个结点指针域的个数等于该结点的度，我们专门取一个位置来存储 结点指针域的个数。

  这种方法克服了浪费空间的缺点，对空间利用率是很高了，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。

  能否有更好的方法，既可以减少空指针的浪费又能使结点结构相同。
  仔细观察，我们为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但每个结点的孩子有多少是不确定的，所以我们再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系。  

  这就是我们要讲的孩子表示法。具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

  其中，设计两种结点结构：
  一个是孩子链表的孩子结点。

  其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。
  另一个是表头数组的表头结点。

  其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。
  这样的结构对于我们要查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。
  但是，这也存在着问题，我们如何知道某个结点的双亲是谁呢？比较麻烦，需要整棵树遍历才行，难道就不可以把双亲表示法和孩子表示法综合一下吗？当然是可以。

2.3 孩子兄弟表示法

  刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢？ 当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

  其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。