Python数据分析与机器学习29-支持向量机(SVM)

一. 支持向量机概述

1.1 要解决的问题

1. 什么样的决策边界才是最好的呢？
2. 特征数据本身如果就很难分，怎么办呢？
3. 计算复杂度怎么样？能实际应用吗？

目标：
基于上述问题对SVM进行推导

1.2 决策边界

选出来离雷区最远的（雷区就是边界上的点，要Large Margin）

1.3 距离的计算

1.4 数据标签定义

数据集：(X1,Y1)(X2,Y2)…(Xn,Yn)

Y为样本的类别：当X为正例时候Y = +1 当X为负例时候Y = -1

决策方程：

1.5 优化的目标及目标函数

1.5.1 优化目标

通俗解释：
找到一个条线（w和b），使得离该线最近的点（雷区）
能够最远

将点到直线的距离化简得：

由于

所以将绝对值展开原始依旧成立

1.5.2 目标函数

放缩变换：
对于决策方程（w,b）可以通过放缩使得其结果值|Y|>= 1
（之前我们认为恒大于0，现在严格了些）

优化目标：

由于

只需要考虑

目标函数搞定！

当前目标：

约束条件：

常规套路：
将求解极大值问题转换成极小值问题
因为通过求导(梯度下降)可以求出极小值，所以很多数学问题最终都是用来求最小值。
至于为什么要加一个1/2，因为使用对数，刚好和平方那个消除了。

如何求解：
应用拉格朗日乘子法求解

1.6 拉格朗日乘子法

这里我们就不讲解拉格朗日乘子法，直接使用。
带约束的优化问题：

原式转换：

我们的式子：

约束条件:

1.7 SVM求解

分别对w和b求偏导,分别得到两个条件（由于对偶性质）

对w/b求偏导：

带入原式：

1.8 SVM求解实例

支持向量：真正发挥作用的数据点，ɑ值不为0的点支持向量机

1.9 soft-margin

软间隔：
有时候数据中有一些噪音点，如果考虑它们咱们的线就不太好了

之前的方法要求要把两类点完全分得开，这个要求有点过于严格了，我们来放松一点！

为了解决该问题，引入松弛因子

新的目标函数：

当C趋近于很大时：意味着分类严格不能有错误
当C趋近于很小时：意味着可以有更大的错误容忍
C是我们需要指定的一个参数！

拉格朗日乘子法：

1.10 低维不可分问题

核变换：既然低维的时候不可分，那我给它映射到高维呢？

目标：找到一种变换的方法，也就是∅（x）

通过升级维度将我们的特征区分开，那么真正的情况我们是否升级了维度呢?
我们都知道，升级了维度，计算量呈指数型上升，别人的模型可能半个小时就跑出来，你的模型需要数天才可以跑出来，这样的话肯定是不行的。
核函数是在一个低维空间去完成高维样本内积的计算，计算量大大减少。

高斯核函数：

线性核函数:

高斯和函数:
不一定是圆形，也可以是其它

参考：

1. https://study.163.com/course/introduction.htm?courseId=1003590004#/courseDetail?tab=1