CSDN 编程竞赛第五期题解
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退役竞赛选手出来混个存在感，比赛链接，似乎 CSDN 要做成周赛了。
题目难度上比较简单，部分是原题，需要注意些细节。
赛途不允许切出屏幕和使用通讯软件，整体比较像笔试，偏向于考察应试技能，那么有原题也说得过去。
赛前出现长时间无法进入的情况，赛中编辑器和自助评测使用体验较差，例如代码模板对用户不友好（函数参数不一致、头文件配置不灵活等）、语法补全提示相关度忽高忽低、评测结果没有剔除 stderr 等。同天还有力扣周赛和百度之星初赛，它们所在平台在编辑和评测上的用户体验就好些。
题目分析
1. 寻因找祖
题意：求约数个数为 n n n 的最小正整数 x x x， n ≤ 1000 n \leq 1000 n≤1000。
思路：（比较古老的原题）
- 令 x = ∏ i = 1 t p i e i x = \prod_{i = 1}^{t}{{p_i}^{e_i}} x=∏i=1tpiei ( p i < p i + 1 , p i is prime ) (p_i < p_{i + 1}, p_i\text{ is prime}) (pi<pi+1,pi is prime)，则它的约数个数 σ ( x ) = ∏ i = 1 t ( e i + 1 ) \sigma(x) = \prod_{i = 1}^{t}{(e_i + 1)} σ(x)=∏i=1t(ei+1)，因此 e i e_i ei 的范围被限制在 ( e i + 1 ) ∣ n (e_i + 1) | n (ei+1)∣n。
- 如果两个数字的 { e i } \{e_i\} {ei} 集合一样，那么它们的约数个数相同。
- 对于一个固定的 { e i } \{e_i\} {ei} 集合，考虑其对应的数字 x x x，如果存在 e i < e i + 1 e_i < e_{i + 1} ei<ei+1，那么可以构造出一个更小的数字 x ′ = ∏ i = 1 t p i e ′ i x' = \prod_{i = 1}^{t}{{p_i}^{{e'}_i}} x′=∏i=1tpie′i 对应该集合，这里 e ′ i = e i + 1 {e'}_i = e_{i + 1} e′i=ei+1, e ′ i + 1 = e i {e'}_{i + 1} = e_i e′i+1=ei。
- 对于一个固定的 { e i } \{e_i\} {ei} 集合，最小的正整数 x x x 一定只用到最小的 t t t 个质数，且 e i ≥ e i + 1 e_i \geq e_{i + 1} ei≥ei+1，否则总能通过调整得到更小的正整数 x x x。
- 接下来可以暴力搜索（可以手动验证状态不多）或者 DP，但考虑到 n is prime n\text{ is prime} n is prime 时答案可能非常大（例如 2 996 2^{996} 2996），不如直接暴力搜索。
代码：Python3
class Solution:
def __init__(self) -> None:
self.pr = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31]
self.ans = 1
def dfs(self, dep, cur, rem, upp):
if rem == 1:
self.ans = min(self.ans, cur)
return
if dep >= len(self.pr):
return
for i in range(1, upp + 1):
if i * i > rem:
break
if rem % i > 0:
continue
if i > 1:
self.dfs(dep + 1, cur * (self.pr[dep] ** (i - 1)), rem // i, i)
j = rem // i
if i < j: # j > 1
self.dfs(dep + 1, cur * (self.pr[dep] ** (j - 1)), rem // j, j)
def solution(self, n):
self.ans = 10 ** 1000
self.dfs(0, 1, n, n)
return self.ans
2. 通货膨胀-x国货币
题意：构造一个最长的正整数序列 A = [ a 1 , a 2 , … , a m ] A = [a_1, a_2, \ldots, a_m] A=[a1,a2,…,am]，使得 a 1 = n a_1 = n a1=n, a i + 1 ∣ a i a_{i + 1} | a_i ai+1∣ai，输出 m m m 的最大值。数据范围好像是 n ≤ 1 0 9 n \leq 10^9 n≤109。
思路：（比较古老的原题）
- 贪心构造即可，使每个 a i a i + 1 \frac{a_i}{a_{i + 1}} ai+1ai 为质数不会使解更差。令 n = ∏ i = 1 t p i e i n = \prod_{i = 1}^{t}{{p_i}^{e_i}} n=∏i=1tpiei ( p i < p i + 1 , p i is prime ) (p_i < p_{i + 1}, p_i\text{ is prime}) (pi<pi+1,pi is prime)，则答案为 1 + ∑ i = 1 t e i 1 + \sum_{i = 1}^{t}{e_i} 1+∑i=1tei。
代码：C++
int solution(int n) {
typedef long long LL;
int result = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i) {
if((LL)i * i > n)
i = n;
for( ; n % i == 0; n /= i, ++result);
}
return result;
}
3. 莫名其妙的键盘
题意：初始有一个空串 S S S，每次操作可以向其末尾增加一个小写字母，如果增加的字符是元音字符，则在增加后需要将 S S S 反转，然后才视为此次操作结束。给定目标串 T T T，问有多少种操作方案能使 S S S 在操作结束后变成 T T T。数据范围好像是 ∣ T ∣ ≤ 100 |T| \leq 100 ∣T∣≤100。
思路：
- S S S 在任意时刻必须是 T T T 或 T T T 的反转串的一个区间，那么记录 S S S 变成每个区间的方案即可 DP 出最终答案，时间复杂度 O ( ∣ T ∣ 2 ) \mathcal{O}(|T|^2) O(∣T∣2)。
代码：C++
#include 4. 三而竭
题意：给定正整数 n n n 和 k k k，求最小的正整数 x x x 使得 ∑ i ≥ 0 ⌊ x k i ⌋ ≥ n \sum_{i \geq 0}{\left\lfloor\frac{x}{k^i}\right\rfloor} \geq n ∑i≥0⌊kix⌋≥n。数据范围好像是 n ≤ 1 0 9 n \leq 10^9 n≤109, 2 ≤ k ≤ 10 2 \leq k \leq 10 2≤k≤10。
思路：（比较古老的原题）
- 函数 f ( x ) = ∑ i ≥ 0 ⌊ x k i ⌋ f(x) = \sum_{i \geq 0}{\left\lfloor\frac{x}{k^i}\right\rfloor} f(x)=∑i≥0⌊kix⌋ 单调递增，且 f ( n ) ≥ n f(n) \geq n f(n)≥n，二分即可，时间复杂度 O ( log k n log 2 n ) \mathcal{O}(\log_k{n} \log_2{n}) O(logknlog2n)。
- 也可以做到 O ( log k n ) \mathcal{O}(\log_k{n}) O(logkn)，留给读者自行探索。感兴趣可以来做下我出的题目 「LibreOJ β Round #5」最小倍数，提交的代码是公开的。
代码：C++
int solution(std::vector<int>& vec){
int n = vec[0], k = vec[1];
int L = 1, R = n;
while(L < R) {
int M = (L + R) >> 1;
int ctr = 0, rem = M;
for( ; ctr < n && rem > 0; ctr += rem, rem /= k);
if(ctr < n) {
L = M + 1;
} else {
R = M;
}
}
return L;
}
后续
别看了哪有下期啊。