矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

1. 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：
   
   1. 对调两行（对调第 i,j i , j 两行，记作 ri↔rj r i ↔ r j ）；
   2. 以数 k(≠0) k ( ≠ 0 ) 乘以某一行中的所有元素（第 i i 行乘以数k k ，记作 ri×k r i × k ）；
   3. 把某一行所有元素的 k k 倍加到另一行对应的元素上（第j j 行的 k k 倍加到第i i 行上，记作 ri+krj r i + k r j ）
      把定义中的“行”换成“列”即得矩阵的初等列变换(所用记号是把“ r r ”换成”c c ”).矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.矩阵的初等变换都是可逆的，上述三种初等行变换的逆变换分别为 rj←ri，ri×1k，ri+(−k)rj. r j ← r i ， r i × 1 k ， r i + ( − k ) r j .
2. 如果矩阵 A A 经有限次初等行变换变成矩阵B B ，则称矩阵 A A 与B B 行等价，记作 A∼rB A ∼ r B ；如果矩阵 A A 经过有限次初等列变换变成矩阵B B ，则称矩阵 A A 与B B 列等价，记作 A∼cB A ∼ c B ；如果矩阵 A A 经有限次初等变换变成矩阵B B ，称矩阵 A A 与B B 等价，记作 A∼B A ∼ B
3. 矩阵之间的等价关系具有下列性质：
   
   1. 反身性： A∼A A ∼ A ；
   2. 对称性：若 A∼B A ∼ B ，则 B∼A B ∼ A ；
   3. 传递性：若 A∼B，B∼C，则A∼C. A ∼ B ， B ∼ C ， 则 A ∼ C .
4. 矩阵 ⎛⎝⎜⎜⎜⎜10003−700−21004−100⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 3 − 2 4 0 − 7 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 称为行阶梯形矩阵.其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个阶梯只有一行，阶梯数即是非零行的行数，非零行的首位元素是非零数.
5. ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100−117−17002571700⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ( 1 0 − 11 7 25 7 0 1 − 1 7 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 称为行最简形矩阵.其特点是：在行阶梯形矩阵中非零行的首位元素为1，且其所在列其他元素全为零
6. 对于任一矩阵 Am×n， A m × n ， 总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.所以，要解线性方程组只需把线性方程组的增广矩阵化为行最简形矩阵.
7. 对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，如
   B→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100−117−17002571700⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜⎜1000010000000000⎞⎠⎟⎟⎟⎟=F. B → ( 1 0 − 11 7 25 7 0 1 − 1 7 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 ) → ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) = F .
   矩阵 F F 称为B B 的标准形.其特点是： F F 的左上角是一个单位阵，其余元素全为零.一般地，对于m×n m × n 矩阵 Am×n A m × n ，总可以经过初等变换把它化为标准形 F=(ErOOO)m×n. F = ( E r O O O ) m × n . 此标准形由 m,n,r m , n , r 三个数完全确定，其中 r r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与Am×n A m × n 等价的矩阵组成的一个集合称为一个等价类，标准形 F F 便是这个等价类中形状最简单的矩阵

初等矩阵

1. 对单位矩阵E E 施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
2. 三种初等变换对应三种初等矩阵：
   
   1. 对调两行或两列：将单位矩阵 E E 的第i i 行（列）与第 j j 行（列）互换，记为E(i,j) E ( i , j ) ，即
      E(i,j)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1...0...1......1...0...0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. E ( i , j ) = ( 1 . . . 0 . . . 1 . . . . . . 1 . . . 0 . . . 0 ) .
      设矩阵 A A 是m×n m × n 矩阵，可以验证：以一 m m 阶初等矩阵Em(i,j) E m ( i , j ) 左乘矩阵 A A 其结果相当于对矩阵A A 施行第一种初等行变换 (ri→rj) ( r i → r j ) ，以一 n n 阶初等矩阵，En(i,j) E n ( i , j ) 右乘矩阵 A A 其结果相当于对矩阵A A 施行第一种初等列变换 (ci→cj) ( c i → c j )
   2. 以数k(\not= 0)乘以某行或某列：将单位矩阵 E E 的第i i 行（列）乘以数 k k ，记为E(i(k)) E ( i ( k ) ) ，即
      E(i(k))=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜1...k...1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟. E ( i ( k ) ) = ( 1 . . . k . . . 1 ) .
      可以验证：以 Em(i(k)) E m ( i ( k ) ) 左乘矩阵 A A ，其结果相当于以数k k 乘以 A A 的第i i 行 (ri×k) ( r i × k ) ；以 En(i(k)) E n ( i ( k ) ) 右乘矩阵 A A ，其结果相当于以数k k 乘以 A A 的第i i 列 (ci×k) ( c i × k )
   3. 以数 k k 乘以某行（列）加到另一行（列）上：以数k k 乘以单位矩阵 E E 的第j j 行加到其第 i i 行上，记为E(ij(k)), E ( i j ( k ) ) , 即
      E(ij(k))=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1...1......k...1...1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. E ( i j ( k ) ) = ( 1 . . . 1 . . . k . . . . . . 1 . . . 1 ) .
      可以验证：以 Em(ij(k)) E m ( i j ( k ) ) 左乘矩阵 A A ，其结果相当于把A A 的第 j j 行乘以k k 加到第 i i 行上(ri+krj) ( r i + k r j ) ；以 En(ij(k)) E n ( i j ( k ) ) 右乘矩阵 A A ，其结果相当于把A A 的第 i i 列乘以k k 加到第 j j 列上(cj+kci). ( c j + k c i ) .
3. • 设 A A 是一个m×n m × n 矩阵，对 A A 施行一次初等行变换，相当于在A A 的左边乘以相应的 m m 阶初等矩阵；对A A 施行一次初等列变换相当于在 A A 的右边乘以相应的n n 阶初等矩阵.
     由初等变换的可逆性知，初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵
     E(i,j)−1=E(i,j)，E(i(k))−1=E(i(1k))，E(ij(k))−1=E(ij(−k)) E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) ， E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) ， E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) )
   • 方阵 A A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pl， P 1 , P 2 , . . . , P l ， 使 A=P1P2...Pl A = P 1 P 2 . . . P l
   • 方阵 A A 可逆的充分必要条件是A∼rE A ∼ r E
   • 设 A,B A , B 都是 m×n m × n 矩阵，矩阵 A A 与B B 等价的充分必要条件是存在 m m 阶可逆矩阵P P 及 n n 阶可逆矩阵Q Q ，使 PAQ=B P A Q = B

矩阵的秩

1. • 在 m×n m × n 矩阵 A A 中，任取k k 行 k k 列(1≤k≤m,1≤k≤n) ( 1 ≤ k ≤ m , 1 ≤ k ≤ n ) ，位于这些行列交叉处的 k2 k 2 个元素，不改变它们在 A A 中所处的位置而构成的k k 阶行列式，称为矩阵 A A 的一个k k 阶子式.一个 m×n m × n 矩阵 A A 共有Ckm⋅Ckn C m k ⋅ C n k 个 k k 阶子式
   • 设矩阵A A 为 m×n m × n 矩阵，如果存在一个 r r 阶子式不为零，且所有的r+1 r + 1 阶子式（如果存在）全为零，则称 r r 为矩阵A A 的秩，记作 R(A) R ( A ) ，即 R(A)=r R ( A ) = r .（零矩阵的秩等于0）.矩阵 A A 的秩就是A A 中不等于零的子式的最高阶数
   • 由于 n n 阶方阵A A ，当 |A|≠0 | A | ≠ 0 时， R(A)=n； R ( A ) = n ； 当 |A|=0 | A | = 0 时， R(A)<n R ( A ) < n .可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩阵；不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵
   • 若 A∼B A ∼ B ，则 R(A)=R(B) R ( A ) = R ( B )
   • 矩阵秩的基本性质：
     
     1. 设矩阵 A A 是m×n m × n 矩阵，则 0≤R(A)≤min{m,n} 0 ≤ R ( A ) ≤ min { m , n } ；
     2. R(AT)=R(A) R ( A T ) = R ( A ) ；
     3. 若 A∼B A ∼ B ，则 R(A)=R(B) R ( A ) = R ( B ) ；
     4. 若 P，Q P ， Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A) R ( P A Q ) = R ( A ) ；
     5. max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B) max { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) ；
        特别地，当 B=b B = b 为列向量时，有 R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1 R ( A ) ≤ R ( A , b ) ≤ R ( A ) + 1 .
     6. R(A+B)≤R(A)+R(B) R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) ；
     7. R(AB)≤min{R(A),R(B)} R ( A B ) ≤ min { R ( A ) , R ( B ) } ；
     8. 若 Am×nBn×l=0 A m × n B n × l = 0 ，则 R(A)+R(B)≤n R ( A ) + R ( B ) ≤ n ；

线性方程组的解

1. n n 元线性方程组Ax=b A x = b ：
   
   1. 无解的充分必要条件是 R(A)<R(A,b) R ( A ) < R ( A , b ) ；
   2. 有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n R ( A ) = R ( A , b ) = n ；
   3. 有无穷多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)<n R ( A ) = R ( A , b ) < n ；
2. n n 元齐次线性方程组Ax=0 A x = 0 ：
   
   1. 只有零解的充分必要条件是 R(A)=n R ( A ) = n ；
   2. 有非零解的充分必要条件是 R(A)<n R ( A ) < n ；
3. 矩阵方程 AX=B A X = B 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B) R ( A ) = R ( A , B ) .
4. 设 AB=C A B = C ，则 R(C)≤min{R(A),R(B)} R ( C ) ≤ min { R ( A ) , R ( B ) } .
5. 矩阵方程 Am×nXn×l=0 A m × n X n × l = 0 只有零解的充分必要条件是 R(A)=n. R ( A ) = n .