【最全面详细解释】背包问题详解

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一、背包问题

背包问题：
一个背包最多可放重量为weight的物品，现在有n件物品的集合S,物品的重量分别为[w0,w1,w2,w3…w n-1].
问题是能够从这n件物品中取出若干件物品刚好装满这个背包，不考虑背包的容积，只考虑重量，检查这个问题是否有解，有解就输出Yes,没有则输出No.

二、解法一

1.思路

解题思路：
先假设weight>=0,n >=0, knap(weight,n)表示n件物品相对于总重量weight的背包问题。我们现在只考虑这个物品是否有解的情况下，通过考虑一件物品的
选或者不选，我们把问题划分成下面两种情况：

如果不选最后一件物品（其重量为w n-1），那么 knap(weight,n-1)的解就是 knap(weight,n)的解，如果找到了前面一个子问题的解，也就找到了后面的问题的解。

如果要选最后一件物品，那么knap(weight-Wn-1,n-1)有解的话，这个问题的解加上最后一个物品的重量就是knap(weight,n)的解，也是将一个问题转化成了一个稍小规模的问题。

注意：每件物品只有一件，用了就没有了。

我们利用这个函数knap()一个将问题转化为更小规模的问题。一直这样下去，我们可以归结为下面几种情况。

1、当weight已经等于0了，这说明问题有解。
2、在不断递归的情况下，weight小于0，这说明我们不断递归下去是没有解的。
3、重量weight还大于0，但是已经没有物品可用了，我们每次递归都有可能会确认某一个物品是不是可选的，也就是说每次递归物品都在被消耗，当物品被消耗完了，重量还大于0，这说明没有解。

def knap_rec(weight,wlist,n):
    if weight == 0:
        return True
    if weight < 0 or (weight > 0 and n < 1):
        return False
    if knap_rec(weight - wlist[n-1],wlist,n-1):
        # print("Item " + str(n) + ":",wlist[n-1])
        return True
    if knap_rec(weight,wlist,n-1):
        return True
    else:
        return False

weight = 16
wlist = [2,3,4,10,20,25]
n = 6
if __name__ =="__main__":
    if knap_rec(weight,wlist,n):
        print("YES")
    else:
        print("NO")

三、解法二

1.思路

第二个解题思路：
我们直接枚举所有的可能性，当枚举到符合条件的事件时，就跳出枚举循环。

这里我们要借用内置的combinations函数，

更多更详细的combinations用法参考大佬文章。Python使用combinations实现排列组合

from itertools import combinations

def func(weight,wlist,n):
    for i in range(1,n+1):
        datas = combinations(wlist,i)
        for data in datas:
            if sum(data) == weight:
                print("YES")
                return
    print("NO")
    return
func(weight,wlist,n)