海底积木赛题解

题解

把每一个字符分别对应一个数字

在这里假定B对应0，W对应1，R对应2

假定两个相邻积木的值为$d_1,d_2$

那他们上面的数字就为$(3-d_1-d_2+3)mod3$

故最下方的格子会将它的值向上传递，直到传到最上方

类似于一个递推的思想

每个格子对上方的格子都会有一个贡献值

于是可以计算出这个最下方每个格子对最上方格子的贡献值

如下图所示

问题转化为求每个格子的贡献值为多少，即最上方格子的系数为多少

通过对每个格子的分析图，不难看出，每个点对它上方的点的贡献值，就是它能只向上方走时，能到达这个点的路径条数

于是就变成了一道熟悉的递推题，对于一个二维图，求原点到某一点的路径条数

但这种题目还有另外一种解题方法，即用组合数学来求解，假设总共要走n步，要向左上方走m步，那么路径条数就为$C_n^m$

如果直接用逆元去求解组合数问题，会因为需要取模的数字过小（只有3），在求阶乘时严重改变了它原来的值，而导致出错

所以使用另一种求组合数的方法，Lucas定理，具体证明过程可以自行搜索或参考算阶

通过Lucas定理就可以将大的组合数转化为小的组合数，而求解小的组合数时，又可以用求逆元的方法，因为p=3，故p-2=1，所以可以直接省略快速幂的过程，返回$j{c}_n\ast j{c}_m\ast j{c}_{n-m}$的值

另外，从图中可以看出，当层数为偶数时，系数为相反数，所以需要进行一下特殊修改

注意：防止出错，0的阶乘在代码中定义为1