Albert__Einstein

概率论与数理统计

1.随机事件

自然界的两类现象：

必然现象：结果事先可预知

随机现象：结果事先不可预知

随机事件：随机现象在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性称为统计规律性

随机试验：对随机现象所做的观察、测量等试验统称为随机试验，简称试验，用E表示，具有如下特点：

（1）可以在相同条件下重复进行；

（2）所有可能结果不止一个，且事先已知；

（3）每次试验总是出现可能结果之一，但出现哪一个，试验前不能确定.

基本事件（样本点）：随机试验的每一个可能结果，用e表示.

样本空间：基本事件或样本点的全体构成的集合，用S表示.

随机事件：样本空间S的某个子集A称为随机事件，简称事件A.

当且仅当A中某个样本点出现，称事件 A发生.

事件A可以用语言表示，也可以用集合表示.

必然事件：样本空间 S 包含所有的基本事件，故在每次试验中都发生，因此称为必然事件.

不可能事件：不包含任何基本事件，故在每次试验中不发生因此称为不可能事件.

2.时间关系与运算

事件的包含：

（1） A $\subset$ B : 事件A发生必导致事件B发生.

事件的相等

（2） $A=B < > \left\{\begin{matrix}A\supset B \\ A\subset B \end{matrix}\right.$

事件的积:

(3)A ∩B：事件A与B同时发生，简记AB;

互不相容事件（互斥事件）:

（4） $AB=\varnothing$ : A与B不能同时发生.

事件的和（并）

(5) A ∪B：事件A与B至少有一个发生，当 $AB=\varnothing$ : A ∪B =A+B.

事件的差:

6）A -B：A发生而B不发生.

对立事件（逆事件）

7） $\bar{A}$ : 由A不发生所构成的事件.

事件的运算性质；

交换律: A ∪B=B∪A ， AB=BA;

结合律:(A∪B)∪C=A∪( B∪C), (AB)C=A(BC)；

分配律: (A∪B)C=(AC)∪(BC)， (AB)∪C=(A∪C)(B∪C)；

对偶原则（德—摩根律）：

$\bar{A\cup B} = \bar{A}\bar{B}$ $\bar{AB} = \bar{A} \cup \bar{B}$

3.古典概率

概率:表示事件A发生可能性大小的数值，称为事件A的概率，记为P(A);概率是随机事件的函数.

古典概率的定义:

若试验的样本空间S满足：

只有有限个样本点 — 有限性，

每个样本点发生的可能性相等 — 等可能性.

称此试验为古典概型试验.

古典概率的计算公式:

在古典概型下，事件A的概率定义为：

$p(A)=\frac{A所含的样本点数}{S所含的样本点数}$

这里计算样本点数的主要工具是排列、组合.

加法原理

设完成一件事有m种方式

第一种方式有n1种方法，

第二种方式有n2种方法，

……

第m种方式有nm种方法，

则完成这件事总共有 n1 + n2 + … + nm 种方法 .

乘法原理

设完成一件事必须经过r个步骤，

第一个步骤有n1种方法，

第二个步骤有n2种方法，

第三个步骤有n3种方法，

……

第 r 个步骤有nr种方法.

则完成这件事总共有n 1 ×n2 × … × nr 种方法 .

排列和组合的区别

顺序不同是不同排列，组合不管顺序

元素无重复排列

(1)将n个不同元素按照一定次序排成一列，称为全排列,全排列的个数为

元素无重复排列

(2)从n个不同元素中任取 k个(1 ≤ k ≤ n) 元素排成一列，不同的排列总数为

$A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$

k = n时，则为全排列

$A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...2*1=n!$

元素允许重复的排列

(3)从n个不同元素中取k个(1 ≤ k ≤ n)排成一列, (元素允许重复)不同排列的总数为

$n*n...n=n^{k}$

组合

(1)组合:从n个不同元素中取 k (1 ≤ k ≤ n) 个元素组成一组,(无次序)称为一个组合,所有组合的个数为

$C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=C_{n}^{n-k}$

(2) n个不同元素分为k个(1 ≤ k ≤ n)不同组，每组元素个数分别为r1,r2,…,rk个的分法总数为

$C_{n}^{r1}\cdot C_{n}^{r2}\cdot C_{n}^{r3}\cdot \cdot \cdot =\frac{n!}{r1!r2!r3!\cdot \cdot \cdot rk!}$

其中 $r1+r2+r3+\cdot \cdot \cdot rk=n$

古典概率的性质

(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(2) P(S)=1;

(3) 若事件A、B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B);

推广：若 A1,A2,„,An 互斥，则： P(A1+ A2 ...+An )= P(A1 ) P(A2 ) +P(An ).

这是概率的加法公式或概率的有限可加性

(4) P( $\bar{A}$ ) =1 - P(A);

(5) P( $\O$ ) =0;

(6)若A $\subset$ B,则P（A）<= P（B),且 P（B - A）= P（B）- P（A）

(7) （一般概率加法公式）

P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

推广：

P(A B C) =P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) -P(AC)- P(BC)+ P(ABC)

4.几何概率

几何概率;

定义向一区域S(可以是直线区域、平面区域或空间区域)中掷一质点M，若M必落在S内，且落在S内任何区域A上的可能性只与A的度量(如长度，面积， „)成正比，而与A的位置和形状无关，则这个试验称为几何概型试验；定义M落在A中的概率P(A)为

$P(A)=\frac{L(A)}{L(S)}$

特点：样本空间满足

有无穷多个样本点 — 无限性，

每个样本点发生的可能性相等 — 等可能性.

几何概率的性质
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(2) P(S)=1;

(3) 若 A1,A2,„,An 互斥，则： P(A1 + A2 ..+ An ) = P(A1 ) +P(A2 ) ... + P(An )

古典概率的其它性质对几何概率也同样成立

5.统计概率

频率

定义设A为某一试验的事件，将试验在相同的条件下重复进行n次，用m表示 A出现的次数，则

$f_{n}(A)=\frac{m}{n}$

称为事件A的相对频率.

频率的稳定性

在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性

统计概率

定义在固定条件下，重复做n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率fn(A) 围绕着某一个常数 p 摆动；随着n的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称常数 p 为事件A的概率，即

P(A) = p

此定义适合于一切类型的试验.

当n充分大时，频率作为概率的近似值，即

$f_{n}(A)=\frac{m}{n}\approx p(A)$

足以满足实际需要.

频率的性质

(1) 0 <=fn (A) <= 1;

(2) fn (S) = 1;

(3) 若 A1,A2,…,Ak 互斥，则： fn (A1 + A2...+ Ak ) = fn (A1 )+fn (A2 ).. +fn (Ak)

统计概率的性质
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(2) P(S)=1;

(3) 若 A1,A2,…,An 互斥，则： P(A1+A2 ..+ An ) = P(A1 ) +P(A2 ).. P(An )

古典概率的其它性质对统计概率也同样成立..

6.概率的公理化定义

概率的公理化定义

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

设随机试验的样本空间为S，对每个事件A，定义P(A) ，且满足 :

公理1 P(A)≥ 0 —— 非负性 ;

公理2 P(S)=1—— 规范性 ;

公理3 若事件A1, A2 ,… 互不相容，则 P(A1 + A2+... )= P(A1 )+ P(A2 ) ——可列可加性; 称P(A)为事件A的概率.

7.条件概率、乘法公式

条件概率

定义: $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0$

性质：设P(B) > 0.

(1）非负性： P(A| B)>= 0；

(2）规范性： P(S | B) = 1；

(3）可列可加性：设A1 , A2 , ... 互不相容，则 P((A1 + A2+.. ) | B)= P(A1 | B)+ P(A2 | B)+...

（4） P( $\bar{A}$ | B) = 1 - P(A| B);

（5） P( $\o$ | B) = 0;

（6）P((A1 -A2) |B) =P(A1 | B) - P(A1A2|B); A1 $\supset$ A2 => P(A1 | B) >= P(A2 | B);

（7）P(A1 U A2 | B) = P(A1 | B)+P(A2 | B) - P(A1A2 | B).

条件概率具有概率的所有性质．

乘法定理

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} => P(AB)=P(A|B)P(B),P(B)>0$

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} => P(AB)=P(B|A)P(A),P(A)>0$

乘法定理

推广

$P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})....P(A_{N}|A_{1}A_{2}A_{3}..A_{n-1})$

$, P(A_{1}A_{2}A_{3}..A_{n-1})>0$

8.全概率公式

全概率公式

定理设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0 ，( i =1,2,…,n), 若对任一事件B, 有

(A1＋A2 ＋… ＋An) $\supset$ B ,则

$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$

9.贝叶斯公式

定理

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且 P(Ai)>0,(i=1,2,…,n)若对任一事件B, 有 (A1＋A2 ＋… ＋An) $\supset$ B ，且P (B) > 0, 则

$P(A_{i}|B)=\frac{P(A_{i})|P(B|A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(A_{j})|P(B|A_{j})},i=1,2....n$

$P(A_{i}|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_{i}B)}{\sum_{j=i}^{n}P(A_{j}B)}$

贝叶斯公式(Bayes)

定理设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且 P(Ai)>0,(i=1,2,…,n)若对任一事件B, 有 (A1＋A2 ＋… ＋An) $\supset$ B ，且P (B) > 0, 则

$P(A_{i}|B)=\frac{P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(A_{j})P(B|A_{j})},i=1, 2... n$

P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率

10.事件的独立性

两事件的独立性

A的发生并不影响B发生可能性的大小，这时称事件A、B独立. P(AB)=P(B)P(A|B) 由 P(B)=P(B|A) P(AB)=P(A)P(B).

定义设A ，B是两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则称A与B相互独立．

当P(A)>0，当P(B)>0时， P(AB)= P(A)P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)

A与B相互独立 A与B相互独立

三个事件的独立性

定义设三个事件A、B、C，若

P(AB)= P(A)P(B)

P(AC)= P(A)P(C)

P(BC)= P(B)P(C)

A、B、C两两独立、A、B、C相互独立

P(ABC)= P(A)P(B)P(C)

n个事件独立

定义设 $A_{i_{1}},A_{i_{2}},...,A_{i_{n}}$ 是n个事件，如果对任意k(1

$P(A_{i_{1}},A_{i_{2}}, ...A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})...P(A_{i_{k}})$

称 $A_{i_{1}},A_{i_{2}},...,A_{i_{n}}$ 相互独立

11.二项概率公式

n重伯努利试验

若一个试验只有两个结果: A和 A , 称试验为伯努利试验.

设P(A) = p (0 < p <1）, 则P(A ) = 1－p = q. 将伯努利试验重复、独立地进行n次, 称为n重伯努利试验

注意：

每次试验中 P(A)=p保持不变

各次试验的结果互不影响

二项概率公式

定理1 设每次试验中成功A的概率为p (0 < p < 1), 则在n重伯努利试验中A恰好发生k次的概率为

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^kq^{n-k}$

其中 p + q = 1, k = 0, 1, …, n.

二项概率的泊松(Poisson)逼近定理

定理2 如果n→∞, p→0使得np=λ 保持为正常数，则

$C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}\rightarrow \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$

对k=0,1,2, „一致地成立.

12.随机变量函数的分布

随机变量的概念

定义设随机试验的样本空间是S. 若对S中的每个样本点e, 都有唯一的实数值X(e)与之对应, 称X(e)为随机变量, 简记为X.

随机变量X是基本事件e的函数, 其定义域为S, 值域为某个实数集合.

随机变量X取某个值或某些值表示事件,且具有一定的概率.

随机变量通常用大写字母X, Y, Z或希腊字母ζ, η等表示.

随机变量的取值一般用小写字母x, y, z等表示.

随机变量:离散性、连续型

13.离散型随机变量

离散型随机变量

只能取有限个值或可列无穷多个值的随机变量X 称为离散型随机变量.

概率分布列

$P(X =x_{k} ) = p_{k} , k = 1, 2...$

为离散型随机变量X的概率分布列, 简称分布列或分布律.

分布列的性质

(1) $p(k)\geq 0,(k=1,2,3,...)$ ,

(2) $\sum_{k=1}^{\infty }p_{k}=1$

几个常用的离散型分布

两点分布(伯努利分布、 (0-1)分布)

定义若随机变量X的分布列是 $P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}, k = 0, 1 (0 < p < 1)$

称X服从两点分布或伯努利分布, 也称为 (0 – 1) 分布,记为X ~ B(1, p).

若 P(X=a)=1, 称X服从退化分布.

二项分布(Binomial)

定义若随机变量X的分布列是 $P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}$

称X服从参数为n, p的二项分布,记为 X～B(n, p)．

当n = 1时, $P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k},$ 为两点分布.

泊松分布(Poisson)

定义若随机变量X的分布列

$P(X=k)= \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },\lambda>0,k=0,1,2...$

称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记为X ~ P( $\lambda$ ).

几何分布(Geometric)

定义若随机变量X的分布列

$P(X =k) =q^{k-1}p, ( k=1, 2,...), \sum_{k=1}^{\infty }P(X=k)=\sum_{k-1}^{\infty} q ^{k-1} p=1,$

称X服从参数为p的几何分布,记为X ~G(p).

几何分布的应用在伯努利试验中,设每次试验成功的概率均为p(0

超几何分布

定义设有N件产品, 其中有M件次品. 今从中任取n件不同产品, 则这n件中所含的次品数X的分布列为

$P(X=k)=\frac{C_M^kC_{(N-M)}^{(n-k)}}{C_N^n}$

规定当i > m时, .

称X服从超几何分布.

二项分布用来描述有放回抽样. 超几何分布用来描述不放回抽样. 当总体N很大,

抽样数n较小时, 可用二项分布来逼近超几何分布.

14.随机变量的分布函数

分布函数:

定义设X为一随机变量, 称 $F(x) = P ( X \leq x ) ,-\infty <x < +\infty$ . 为X的分布函数,

记为F (x)或FX (x).

随机变量都有分布函数.

分布函数的几何意义

$F(x) =P(X \leqslant x) =P(x \in ( -\infty , x))$

利用分布函数计算概率

设随机变量X的分布函数为F(x), a

$P(a < X \leq b) = P(X \leq b) -P(X \leq a)=F(b) -F(a)$

$P(X =a)= P(X \leq a) -P(X = a)= F(a) - F(a^- )$

$P(X > b) = 1- P(X\leq b) = 1- F(b),$

$P(X \geq b) = 1- P(X<b) = 1- F(b^-),$

分布函数的性质

(i) $0 \leqslant F(x) \leq 1 ( -\infty < x < + \infty )$

(ii) $F(x1) \leq F(x2), x1 < x2$ ,即F(x)是单调非减的；

(iii) $F( -\infty ) = \lim_{x\rightarrow -\infty } F (x) = 0,F( +\infty ) = \lim_{x\rightarrow +\infty } F (x) = 1$

(iv) 即F(x)是右连续的.

15.连续型随机变量

连续型随机变量

定义设随机变量X的分布函数为F(x), 若存在一个非负的函数f(x), 对任何实数x, 有

$F (x) =\int_{-\infty }^{x} f (t)dt$

称X为连续型随机变量, 称f(x)为X的概率密度函数, 简称概率密度.也可记为.

由定义, 可得下面两个结论

(1)连续型随机变量的分布函数一定是连续的；

(2)对f(x)的连续点, 有

$\left.\begin{matrix} {F}'(x) = f (x)\\ F (x) =\int_{-\infty }^{x} f (t)dt\end{matrix}\right\}$ F(x)与f(x)可以互推.

概率密度的性质

(1) $f(x)\geq 0,$

(2) $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

这两条是判定函数 f (x) 是否为概率密度函数的充要条件.

$F(+\infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

(3) $P(x_1 < X \leq x_2 ) = F(x_2 )- F(x_1 ) = \int_{x_1}^{x_2} f (x)dx$

连续型随机变量取任一指定值的概率为0，即 P ( X = a ) = 0.这是因为

$0 \leq P(X = a)\leq P(a -\Delta x < X \leq a) = F(a)- F(a-\Delta x), \Delta x> 0.$

由F(x)连续得

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(F(a)-F(a-\Delta x))=0\Rightarrow P(X=a )=0$

不能推出 $(X =a)=\varnothing$

同理不能推出 $A =\varnothing$

不能推出

$P(a <X < b) = P(a< X\leq b)= P(a \leq X < b) = P(a \leq X \leq b).$

几种重要的连续型随机变量

均匀分布(Uniform)

定义若随机变量X的概率密度为

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & & \\ b-a,& a \leq x \leq b & \\ 0,&other & \end{matrix}\right.$

称X在区间[a, b]上服从均匀分布,记为X ~ U[a, b].

均匀的含义是等可能

若X ~ U[a, b], (x1, x2)为[a, b]中的任一子区间, 则

$p(x_1<X<x_2)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{1}{b-a}dx=\frac{x_2-x_1}{b-a}$

说明： X落在长度相等的各个子区间的可能性是相等的.属于几何概率.

若X~U[a,b],则 $P(a \leq X \leq b) =1$ .

概率密度的性质

若X ~ U[a, b] ，则X的分布函数

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, &x<a \\ \frac{x-a}{b-a},&a \leq x <b \\ 1 ,&x \geq b \end{matrix}\right.$

指数分布(Exponential)

定义若连续型随机变量X的概率密度

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{- \lambda x}, &x>0 \\ 0,& x \leq 0 \end{matrix}\right. (\lambda>0)$

称X服从参数为的指数分布.记为X ~ E( $\lambda$ ).

分布函数为:

$F (x) =\left\{\begin{matrix} 1-e^{- \lambda x}, & x>0\\ 0 ,&x \leq 0 \end{matrix}\right. \lambda > 0$

指数分布常用来近似地表示各种寿命的分布.

指数分布的无记忆性

$X \sim E( \lambda),\forall s> 0, t > 0,$

16.正态分布

正态分布(Normal)

定义若随机变量X的概率密度为

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{(x-u)^2}{2 \sigma^2}},(-\infty<x<+\infty)$

$\mu, \sigma$ 为常数, 且 $\sigma > 0$ , 称X 服从参数为 $\mu, \sigma$ 的正态分布或高斯(Gauss)分布, 也称X为正态变量, 记作 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ .

正态分布密度曲线特征

(1) 关于对称;

(2) 当时, f (x)取得最大值 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma}$ ;

(3) 当 $x\rightarrow \pm \infty$ 时, $f(x)\rightarrow 0$

(4)曲线在 $x=u\pm \sigma$ 处有拐点;

(5) $\mu$ 决定对称轴的位置. 当固定 $\sigma$ 值，改变 $\mu$ 值时, 的形状不变，只是沿着轴平移；

(6) $\sigma$ 决定离散程度. 当固定 $\mu$ 值，改变 $\sigma$ 值时, f(x)的对称轴不变，但形状改变. $\sigma$ 越大，图形越矮越胖， $\sigma$ 越小，图形越高越瘦.

正态变量X的分布函数

$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-u)^2}{2\sigma^2}}dt,-\infty <x< +\infty$

标准正态分布定义

若X~N(0,1) ，称X服从标准正态分布.

概率密度为

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty < x< +\infty$

分布函数为;

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt,-\infty < x< +\infty$

性质:

$\varphi (x)=\varphi (-x),\phi (-x)=1-\phi (x)$

一般的正态分布 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 的分布函数与标准正态分布的分布函数 $\phi (x)$ 间的关系为

$F (x)=\phi (\frac{x-u}{\sigma})$

即，若 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ ,则 $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

17.随机变量的函数分布

离散型随机变量函数的分布

连续型随机变量函数概率密度的两种求法

分布函数法

已知X的概率密度,分布函数,Y=g(X), 求Y概率密度,分两步：

(1)先求Y的分布函解出 $FY (y)=P(Y\leq y)=P{g(X)\leq y}$ ,解除X 表示成X的分布函数；

(2)求导数： $f_Y (y)= {F}'_Y (y)$ .

公式法

设X的概率密度, y =g(x)为(a,b)上严格单调可微函数 $(-\infty < a \leq b<+\infty)$ ,则Y g(X)的概率密度为

$f_Y ( y) =\left\{\begin{matrix} f_X(h(y))|{h}'(y)| & A <y<B \\ 0 & other \end{matrix}\right.$

其中h(y)为g(x)的反函数且A min{g(a), g(b)}, B max{g(a), g(b)}.

18.多维随机变量，分布函数、边缘分布函数

多维随机变量

定义若定义在同一样本空间S上的n个随机变量,称为 n 维随机变量或 n 维随机向量，简记为 .

二维随机变量(X,Y)的分布函数

二维随机变量（X, Y)

$F(x, y) = P(X \leq x,Y \leq y),(- \infty <x, y< +\infty)$

为X和Y的联合分布函数 $(X \leq x) \bigcap (Y \leq y)$ 两事件同时发生)

分布函数的性质

(1)对任意实数有 $0 \leq F(x, y) \leq 1$ ;

(2) $F (x_1 , y) \leq F (x_2 , y), x_1 \leq x_2 , y$ 任意； $F (x, y_1 ) \leq F (x, y_2 ), y_1 \leq y2 , x$ 任意.

即对每个自变量都是单调不减的；

(3)对任意有

$\\F( -\infty , y)= \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x, y) = 0, \\ F( x, -\infty )= \lim_{y \rightarrow -\infty} F(x, y) = 0, \\ F( -\infty , -\infty)= \lim_{x \rightarrow -\infty,y \rightarrow -\infty} F(x, y) = 0, \\ F( -\infty , +\infty)= \lim_{x \rightarrow +\infty,y \rightarrow +\infty} F(x, y) = 1$

(4);

(5)对任意实数 $x1 \leq x2 , y1 \leq y2$ ，有 $F(x_2 , y_2 ) -F(x_2 , y_1 ) - F(x_1 , y_2 ) +F(x_1 , y_1 ) \geq 0$ . 因为

$P(x_1 X \leq x_2 , y_1 < Y \leq y_2 )$

边缘分布函数

设二维随机变量的分布函数称与各自的分布函数和为的边缘分布函数或关于和的边缘分布函数. 即

$\\F_X (x)= P(X \leq x)= P(X \leq x,Y \leq +\infty )\\ = F(x,+\infty ) = \lim_{y \rightarrow +\infty} F(x, y),$

同理， $\\F_Y (y)= F(+\infty,y ) = \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x, y),$

19.二维离散型随机变量

二维离散型随机变量

定义1 若二维随机变量所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称为二维离散型随机变量.

定义2设的所有可能取值为,称 $P(X = x_i ,Y= y_j ) p_{ij} , (i, j= 1, 2,... )$ , 为的分布列或X和Y的联合分布列.

(X,Y)的分布列也可用列表法表示:

(X,Y)分布列的性质：

(1) $p_{ij} \geq 0(i,j= 1, 2, ... )$ ;

(2) $\sum _{i}\sum_jp_{ij}=1$

(3) $P((X,Y)\in G)=\sum _{(x_i,y_j)\in G}P(X=x_i,Y=y_j)=\sum _{(x_i,y_j)\in G}p_{jj}$

X,Y的边缘分布列

设离散型随机变量(X,Y)的分布列为

X的边缘分布列为: $P (X= x_i)=\sum_{j=1}^{+\infty} ( P (X = x_i ,Y = y_j ) )= \sum_{j=1}^{+\infty} p_{ij}= p_{i.}$

Y的边缘分布列为: $P (Y= y_i)=\sum_{i=1}^{+\infty} ( P (X = x_i ,Y = y_j ) )= \sum_{i=1}^{+\infty} p_{ij}= p_{.j}$

二维离散型随机变量( X, Y )的分布函数:

$F(x, y) =P(X \leq x,Y \leq y) = \sum_{x_i \leq x} \sum_{y_j \leq y} P(X= xi , Y = yj) = \sum_{x_i \leq x} \sum_{y_j \leq y} p_{ij}$

和式是对所有满足 $x_i \leq x, y_j \leq y$ 的求和.

20.二维连续性随机变量

二维连续型随机变量

二维连续型随机变量 X和Y的联合概率密度

定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x ,y) ，若存在非负函数f(x, y),使得对任意实数x, y有 $F (x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v)dudv$ 称(X, Y)为二维连续型随机变量，称f(x, y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X与 Y的联合概率密度.

概率密度的性质

(1) $f(x,y) \geq 0\\ \$

(2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dxdy=F ( +\infty , +\infty )=1$

(3) 设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y) 落在G中的概率为

$P((X,Y) \in G) ={\int \int} f (x, y)dxdy.$

(4) 在的连续点有

$f (x, y)=\frac{\partial ^2F(x,y)}{\partial x\partial y}$

边缘概率密度

设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为,称

$\\f_X (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f (x, y)dy \\ f_Y (y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f (x, y)dx\\$

为二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度.

二维均匀分布

设G是平面上的有界区域，其面积为 S(G).若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

$f (x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{S(G)} &(x,y) \in G \\ 0&others \end{matrix}\right.$

则称(X,Y)在G上服从均匀分布 $f (x, y) \geq 0$ ,且 $\int_{-\infty}^{+\infty} f (x, y)dxdy = 1.$

满足概率密度的两个基本性质.

二维正态分布

设二维随机变量(X,Y)的概率密度

$\\f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho ^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho ^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} \\(-\infty <x<+\infty,-\infty <y<+\infty,)$

其中 $\mu_1,\mu_2,\sigma_1>0,\sigma_2>0,|\rho|<1$ ,都是常数，称(X,Y) 服从参数为 $\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho$ 的二维正态分布，记为 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，即

$X ~ N( \mu_ 1 , \sigma_1^2 ), Y ~ N( \mu_ 2, \sigma_2^2 ).$

21.随机变量的独立性

随机变量的独立性

两事件A, B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A, B独立 .

设X, Y是两个随机变量，若对任意的实数x, y, 令 $A = (X \leq x), B= (Y\leq y)$ ,则

$\\P(X \leq x,Y\leq y)= P(X\leq x)P(Y\leq y), \\ F(x, y)= F_X (x)F_Y (y).$

定义设依次为的分布函数.若对任意实数成立

称X与Y相互独立.

X,Y为连续型随机变量时,X与Y独立的充要条件是

这里分别是的概率密度.

X,Y为离散型随机变量时,X与Y独立的充要条件是

$\\P(X = x_i ,Y = y_j )= P(X = x_i )P(Y = y_j ). \\ p_{ij} = p_{i.} p {.j} ,$

这里 $p_{ij} , p_{i.} , p_{.j}$ 分别是的分布列.

n维随机变量的一些概念

n维随机变量的分布函数

设为n维随机变量，为任意实数，则n元函数 $F (x_1 , x_2 , , x_n ) = P(X_1\leq x_1 , X_2\leq x_2 , ... , X_n \leq x_n )$ 称为的分布函数.

n维随机变量的概率密度

设为n维随机变量的分布函数.若存在非负函数, 对任意实数有 $F (x_1 , x_2 , , x_n )=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}...\int_{-\infty}^{x_n}f(t_1,t_2...t_n)dt_1dt_2...dt_n$ , 称为连续型随机变量，为n维随机变量的概率密度.

n维随机变量的相互独立

设为n维随机变量的分布函数.若对任意实数有 $F (x_1 , x_2 , , x_n )=F_{X_1}(x_1)F_{X_2}(x_2)...F_{X_n}(x_n)$ 则称是相互独立的. 对连续型随机变量，则相互独立的充要条件是 $f(x_1 , x_2 , , x_n )=f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)...f_{X_n}(x_n)$ .

22.二维随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

设二维离散型随机变量的分布列为 $P (X=x_i,Y=y_j)= p_{ij],ij=1,2,3,...$ ，则是一维离散型随机变量，用表示Z的取值,则Z的分布列 ,

$P(Z = z_k )= P{g(X,Y) = z_k }=\sum_{g(X,Y)=z_k} P(X = x_i ,Y = y_j ), k= 1, 2...$

连续型随机变量函数的分布

设是二维连续型随机变量，其概率密度为, ,求的概率密度或分布函数

分布函数法:

$\\F_Z (z)= P(Z \leq z) = P{g(X,Y) \leq z} ={\int \int} _{g( x ,y ) \leq z} f (x, y)dxdy , \\f_Z (z)= {F}'_Z (z).$

连续型随机变量Z=X+Y的分布

设X和Y的联合密度为 f (x,y), 则Z=X+Y的分布函数为

$\\F_Z (z) = P(Z \leq z)= P(X + Y \leq Z) \\= \iint_{x+y \leq z}^{}f (x, y)dxdy \\=\int _{-\infty}^{+\infty}(\int _{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy)dx \\=\int _{-\infty}^{+\infty}(\int _{-\infty}^{z}f(x,u-x)du)dx \\=\int _{-\infty}^{z}(\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,u-x)dx)du \\=\int _{-\infty}^{z}f_Z(u)du$

故Z=X+Y的概率密度为

$f_Z (z) = \int _{-\infty}^{+\infty} f (x, z - x)dx.$

由X和Y的对称性,又可写成

$f_Z (z) = \int _{-\infty}^{+\infty} f (x, z - x)dx.$

积公式当X与 Y 立时，称Z=X+Y的概率密度公式为卷积公式，即

$\\f_Z (z) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y ( z - x)dx. \\f_Z (z) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y ( y)dy.$

Max(X,Y)及min(X,Y)的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为和,求及的分布函数和.

分布函数为

$\\F_M (z) = P(M \leq z)= P(max(X,Y) \leq z) \\=P(X \leq z,Y \leq z)=P(X \leq z)P(Y \leq z) \\F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)$

的分布函数为

$\\F_N(z) = P(N \leq z)= P(min(X,Y) \leq z) \\=1-P(X>z,Y >z)=1-P(X>z)P(Y >z) \\F_n(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$

n个独立随机变量的最值分布

设是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FXi (xi ), i 1, 2, , n.

23.条件分布

24.随机变量的数学期望

25.随机变量的方差

26.协方差和相关系数

27.大数定律

28.中心极限定理

29.总体与样本

30.X2分布、T分布、F分布

31.统计量与抽样分布

32.点估计

33.区间估计

34.假设检验的基本概念

35.单个正态总体参数的显著性检验

36.两个正态总体参数的显著性检验

37.拟合优度检验（非参数检验）

38.单因素的方差分析

39.一元线性回归

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现象就是：程序运行一段时间，可能是几十分钟或者几个小时，然后后台日志里面就不出现下载页面的信息，一直显示上一分钟抓取了0个网页的信息。刚开始已经猜到是某些下载线程没有正常执行回调方法引起程序一直以为线程还未下载完成，但是水平有限研究源码未果。经过不停的google终于发现一个有价值的信息，是给twisted提出的一个bugfix 连接地址如下http://twistedmatrix.
利用预测分析技术来进行辅助医疗蓝儿唯美医疗
2014年，克利夫兰诊所（Cleveland Clinic）想要更有效地控制其手术中心做膝关节置换手术的费用。整个系统每年大约进行2600例此类手术，所以，即使降低很少一部分成本，都可以为诊所和病人节约大量的资金。为了找到适合的解决方案，供应商将视野投向了预测分析技术和工具，但其分析团队还必须花时间向医生解释基于数据的治疗方案意味着什么。克利夫兰诊所负责企业信息管理和分析的医疗
java 线程(一)：基础篇 DavidIsOK java 多线程线程
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Tomcat服务器框架之Servlet开发分析 aijuans servlet
最近使用Tomcat做web服务器，使用Servlet技术做开发时，对Tomcat的框架的简易分析：疑问：为什么我们在继承HttpServlet类之后，覆盖doGet(HttpServletRequest req, HttpServetResponse rep)方法后，该方法会自动被Tomcat服务器调用，doGet方法的参数有谁传递过来？怎样传递？分析之我见： doGet方法的
揭秘玖富的粉丝营销之谜与小米粉丝社区类似 aoyouzi 揭秘玖富的粉丝营销之谜
玖富旗下悟空理财凭借着一个微信公众号上线当天成交量即破百万，第七天成交量单日破了1000万;第23天时，累计成交量超1个亿……至今成立不到10个月，粉丝已经超过500万，月交易额突破10亿，而玖富平台目前的总用户数也已经超过了1800万，位居P2P平台第一位。很多互联网金融创业者慕名前来学习效仿，但是却鲜有成功者，玖富的粉丝营销对外至今仍然是个谜。　　近日，一直坚持微信粉丝营销
Java web的会话跟踪技术百合不是茶 url会话 Cookie会话 Seession会话 Java Web 隐藏域会话
会话跟踪主要是用在用户页面点击不同的页面时,需要用到的技术点会话:多次请求与响应的过程 1,url地址传递参数,实现页面跟踪技术格式:传一个参数的 url?名=值传两个参数的 url?名=值 &名=值关键代码
web.xml之Servlet配置 bijian1013 java web.xml Servlet配置
定义： <servlet> <servlet-name>myservlet</servlet-name> <servlet-class>com.myapp.controller.MyFirstServlet</servlet-class> <init-param> <param-name>
利用svnsync实现SVN同步备份 sunjing SVN 同步 E000022 svnsync 镜像
1. 在备份SVN服务器上建立版本库 svnadmin create test 2. 创建pre-revprop-change文件 cd test/hooks/ cp pre-revprop-change.tmpl pre-revprop-change 3. 修改pre-revprop-
【分布式数据一致性三】MongoDB读写一致性 bit1129 mongodb
本系列文章结合MongoDB，探讨分布式数据库的数据一致性，这个系列文章包括：数据一致性概述与CAP 最终一致性(Eventually Consistency) 网络分裂(Network Partition)问题多数据中心(Multi Data Center) 多个写者(Multi Writer)最终一致性一致性图表(Consistency Chart) 数据
Anychart图表组件-Flash图转IMG普通图的方法白糖_ Flash
问题背景：项目使用的是Anychart图表组件，渲染出来的图是Flash的，往往一个页面有时候会有多个flash图，而需求是让我们做一个打印预览和打印功能，让多个Flash图在一个页面上打印出来。那么我们打印预览的思路是获取页面的body元素，然后在打印预览界面通过$("body").append(html)的形式显示预览效果，结果让人大跌眼镜：Flash是
Window 80端口被占用 WHY? bozch 端口占用 window
平时在启动一些可能使用80端口软件的时候，会提示80端口已经被其他软件占用，那一般又会有那些软件占用这些端口呢？下面坐下总结： 1、web服务器是最经常见的占用80端口的，例如：tomcat , apache , IIS , Php等等； 2
编程之美-数组的最大值和最小值-分治法（两种形式） bylijinnan 编程之美
import java.util.Arrays; public class MinMaxInArray { /** * 编程之美数组的最大值和最小值分治法 * 两种形式 */ public static void main(String[] args) { int[] t={11,23,34,4,6,7,8,1,2,23}; int[]
Perl正则表达式 chenbowen00 正则表达式 perl
首先我们应该知道 Perl 程序中，正则表达式有三种存在形式，他们分别是：匹配：m/<regexp>;/ （还可以简写为 /<regexp>;/ ，略去 m）替换：s/<pattern>;/<replacement>;/ 转化：tr/<pattern>;/<replacemnt>;
[宇宙与天文]行星议会是否具有本行星大气层以外的权力呢? comsci
举个例子: 地球,地球上由200多个国家选举出一个代表地球联合体的议会,那么现在地球联合体遇到一个问题,地球这颗星球上面的矿产资源快要采掘完了....那么地球议会全体投票,一致通过一项带有法律性质的议案,既批准地球上的国家用各种技术手段在地球以外开采矿产资源和其它资源........ &
Oracle Profile 使用详解 daizj oracle profile 资源限制
Oracle Profile 使用详解转一、目的： Oracle系统中的profile可以用来对用户所能使用的数据库资源进行限制，使用Create Profile命令创建一个Profile，用它来实现对数据库资源的限制使用，如果把该profile分配给用户，则该用户所能使用的数据库资源都在该profile的限制之内。二、条件：创建profile必须要有CREATE PROFIL
How HipChat Stores And Indexes Billions Of Messages Using ElasticSearch & Redis dengkane elasticsearch Lucene
This article is from an interview with Zuhaib Siddique, a production engineer at HipChat, makers of group chat and IM for teams. HipChat started in an unusual space, one you might not
循环小示例，菲波拉契序列，循环解一元二次方程以及switch示例程序 dcj3sjt126com c 算法
# include <stdio.h> int main(void) { int n; int i; int f1, f2, f3; f1 = 1; f2 = 1; printf("请输入您需要求的想的序列："); scanf("%d", &n); for (i=3; i<n; i
macbook的lamp环境 dcj3sjt126com lamp
sudo vim /etc/apache2/httpd.conf /Library/WebServer/Documents 是默认的网站根目录重启Mac上的Apache服务这个命令很早以前就查过了，但是每次使用的时候还是要在网上查：停止服务：sudo /usr/sbin/apachectl stop 开启服务：s
java ArrayList源码下 shuizhaosi888 ArrayList源码
版本 jdk-7u71-windows-x64 JavaSE7 ArrayList源码上：http://flyouwith.iteye.com/blog/2166890 /** * 从这个列表中移除所有c中包含元素 */ public boolean removeAll(Collection<?> c) {
Spring Security（08）——intercept-url配置 234390216 Spring Security intercept-url 访问权限访问协议请求方法
intercept-url配置目录 1.1 指定拦截的url 1.2 指定访问权限 1.3 指定访问协议 1.4 指定请求方法 1.1 &n
Linux环境下的oracle安装 jayung oracle
linux系统下的oracle安装本文档是Linux(redhat6.x、centos6.x、redhat7.x) 64位操作系统安装Oracle 11g(Oracle Database 11g Enterprise Edition Release 11.2.0.4.0 - 64bit Production)，本文基于各种网络资料精心整理而成，共享给有需要的朋友。如有问题可联系：QQ：52-7
hotspot虚拟机 leichenlei java HotSpot jvm 虚拟机文档
JVM参数 http://docs.oracle.com/javase/6/docs/technotes/guides/vm/index.html JVM工具 http://docs.oracle.com/javase/6/docs/technotes/tools/index.html JVM垃圾回收 http://www.oracle.com
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快速开发Android应用 rensanning android
Android应用开发过程中，经常会遇到很多常见的类似问题，解决这些问题需要花时间，其实很多问题已经有了成熟的解决方案，比如很多第三方的开源lib，参考 Android Libraries 和 Android UI/UX Libraries。编码越少，Bug越少，效率自然会高。但可能由于根本没听说过、听说过但没用过、特殊原因不能用、自己已经有了解决方案等等原因，这些成熟的解决
理解Java中的弱引用 tomcat_oracle java 工作面试
　不久之前，我面试了一些求职Java高级开发工程师的应聘者。我常常会面试他们说，“你能给我介绍一些Java中得弱引用吗？”，如果面试者这样说，“嗯，是不是垃圾回收有关的？”，我就会基本满意了，我并不期待回答是一篇诘究本末的论文描述。　　然而事与愿违，我很吃惊的发现，在将近20多个有着平均5年开发经验和高学历背景的应聘者中，居然只有两个人知道弱引用的存在，但是在这两个人之中只有一个人真正了
标签输出html标签" target="_blank">关于标签输出html标签 xshdch jsp
http://back-888888.iteye.com/blog/1181202 关于<c:out value=""/>标签的使用，其中有一个属性是escapeXml默认是true(将html标签当做转移字符，直接显示不在浏览器上面进行解析)，当设置escapeXml属性值为false的时候就是不过滤xml，这样就能在浏览器上解析html标签， &nb