【概率论与数理统计】期末复习抱佛脚：公式总结与简单例题（完结）
不全。
截图来自猴博士的视频（B站搜猴博士即可）。
我的稍微完整一些的笔记（例题具体解答在这里面）：【猴博士】概率论与数理统计 笔记总结（完结）
多图预警。
文章目录
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- 第一章：随机事件和概率
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- 古典概型
- 几何概型
- 事件的概率
- 事件的独立性
- 条件概率
- 全概率公式
- 贝叶斯公式
- 第二章：离散型随机变量
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- 一维离散型求分布律
- 二维离散型求分布律
- 二维离散型求边缘分布律
- 一维离散型求分布函数
- 二维离散型求分布函数
- 一维离散型求期望、方差
- 二维离散型求期望、方差
- 第三章：连续型随机变量
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- 一维连续型求概率
- 二维连续型求概率
- 一、二维连续型：已知F,求f；已知f,求f
- 二维连续型求边缘分布函数
- 二维连续型求边缘密度函数
- 已知两个边缘密度函数求f(x,y)
- 条件概率密度函数
- F、f的性质
- 一维连续型求期望、方差
- 二维连续型求期望、方差
- 第四章：常见的分布
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- 均匀分布 U
- 泊松分布 P
- 指数分布 E
- 几何分布 Ge
- 超几何分布 H
- 正态分布 N
- 二项分布 B
- 第五章：随机变量的数字特征、极限定理
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- 协方差、相关系数
- 不相关、相互独立时的期望和方差
- 中心极限定理
- 第六章：数理统计基础
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- 统计量相关小题
- 三大分布的判定
- 总体服从正态分布的统计量小题
第一章：随机事件和概率
古典概型
有放回：
无放回：
几何概型
题干类型如下：
解法：
题干中两道例题的答案：
17/25
3/4
还有两道例题：
1/Π+1/2
9/32
事件的概率
例1：
答：
0.3；
例2：
答：
5/12
事件的独立性
例1：
答：
0.2.
条件概率
P ( M ∣ N ) = P ( M N ) P ( N ) P(M|N)=\frac{P(MN)}{P(N)} P(M∣N)=P(N)P(MN)
分母是竖线后的概率，分子是竖线前事件和竖线后事件同时发生的概率。
含义：N发生的条件下M发生，即MN同时发生的概率除以N发生的概率。
全概率公式
像是分类讨论，各论各的
例题：
答：
例题：
解：
贝叶斯公式
题干特征：多个对象；多个对象形成一个总体；在已知总体里某事发生的情况下，求抽的东西来自某个对象的概率。
例题：
解：
第二章：离散型随机变量
一维离散型求分布律
P之和为1.
ps：分布律的其他标志：
例题：
解：
二维离散型求分布律
二维离散型求边缘分布律
什么是X、Y的边缘分布率？其实就是X、Y的分布律。
例题：
解：
一维离散型求分布函数
F X ( x ) 表 示 的 是 P { X ≤ x } F_X(x)表示的是P \{X \le x\} FX(x)表示的是P{X≤x}
例题：
解：
二维离散型求分布函数
F ( x , y ) = F { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=F\{X \le x,Y \le y\} F(x,y)=F{X≤x,Y≤y}
什么叫做以左上角为起点，尽可能多做长方形：
若有2x2的分布律，则可以作4个长方形。
注意：左闭右开
注意：0 其他不要忘了。
一维离散型求期望、方差
二维离散型求期望、方差
做题步骤：
- 求边缘分布率
- 用一维的方法求
例题：
解：
第三章：连续型随机变量
一维连续型求概率
解法：求积分。
一些补充：这三个是一个意思
P { Y ≤ y } Y 的 分 布 函 数 F Y ( y ) P\{Y \le y\} \\Y的分布函数 \\F_Y(y) P{Y≤y}Y的分布函数FY(y)
例题：
例1、2：ln2.
例3：分类讨论+分部积分法。
或者把这个背下来：(-e-x)'=e-x
二维连续型求概率
解法：二重积分。
例题：
解：
注意范围即可。
一、二维连续型：已知F,求f；已知f,求f
啊，这个好难，我感觉不会考。
先放个完整笔记的链接：【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p17-20 一、二维连续型：已知F,求f；已知f,求f
二维连续型求边缘分布函数
F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) F_X(x)=F(x,+∞) \\F_Y(y)=F(+∞,y) FX(x)=F(x,+∞)FY(y)=F(+∞,y)
代入即可。
例题：
解：
二维连续型求边缘密度函数
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)=\displaystyle \int^{+∞}_{-∞}{f(x,y)dy} \\f_Y(y)=\displaystyle \int^{+∞}_{-∞}{f(x,y)dx} fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyfY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx
例题：
解：
例1：
例2：
已知两个边缘密度函数求f(x,y)
条件概率密度函数
例1：
解：套公式+注意x、y范围。
例2：
解：
F、f的性质
例题：
解：
例题：
解：
一维连续型求期望、方差
例题：
解：
二维连续型求期望、方差
有两种做法：
方法一是把二维降成一维，然后用上节课的方法做。
本节主要用方法二：求什么就乘什么，然后求其总体的二重积分。
第四章：常见的分布
均匀分布 U
泊松分布 P
指数分布 E
P { X 已 经 怎 样 后 ， 还 能 继 续 怎 样 } = P { X 还 能 怎 样 } 即 P { 已 经 A ， 还 想 B } = P { B } P\{X已经怎样后，还能继续怎样\}=P\{X还能怎样\} \\即P\{已经A，还想B\}=P\{B\} P{X已经怎样后，还能继续怎样}=P{X还能怎样}即P{已经A，还想B}=P{B}
几何分布 Ge
超几何分布 H
超几何分布感觉举例子更好理解：
正态分布 N
关于正态分布的很多例题详见链接：【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p33-35 超几何分布、正态分布、二项分布,这里就只放一些典型的。
例题：
解：
例题：
解：
二项分布 B
例题：
解：
第五章：随机变量的数字特征、极限定理
协方差、相关系数
计算相关的例题详见：【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p36-37 协方差、相关系数、不相关、相互独立时的期望和方差
个人认为主要是套公式，所以记住公式就好了，可以不用做例题。
不相关、相互独立时的期望和方差
例题：
答：
B。
中心极限定理
求独立同分布的X的和。
例题：
解：
注意设变量的格式。
第六章：数理统计基础
统计量相关小题
注意，S的分母是n-1
三大分布的判定
只有三种分布：
- X（卡方）分布——平方和
- t分布——分母是（平方和除以n）再开根号
- F分布：F(n,m)——分子是n个的平方和除以n，分母是m个的平方和除以m
注意，要服从标准正态分布.
若不服从，要标准化。
例题：
解：
例题：
解：
例题：
解：
总体服从正态分布的统计量小题
狂背公式：
本小节例题基本都是套公式，不赘述了，详见：【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p41-44 统计量相关小题、三大分布的判定、性质、总体服从正态分布的统计量小题