牛顿插值多项式 Python 循环和递归两种实现思路

这里不介绍牛顿插值多项式数学推导，只提供Python循环和递归实现的思路与代码，想要学习牛顿插值多项式的同学可以去看数值分析课本等。

这里提供循环和递归两种思路，因为我是先想的递归，完整的代码和思路都有，循环只有思路和部分关键代码。循环写在前面是因为循环更容易理解。

牛顿插值多项式由n阶差商和已知点的y值构成。

我们想要构造牛顿插值多项式，就要先构造差商表，有了差商表就有了所有差商，再结合y值就可以构造式子。

循环

第一个想到的方法是构造一个数组，利用循环计算每个n阶差商（比如一阶差商、二阶差商、三阶差商）。循环的内容是计算差商并填入数组中，因为差商计算有规律可循，直接对照差商表的位置（即每个数的角标）算即可。

这种方法是利用已知数据的差商表逆推计算规律，利用计算规律写代码通式。

构造差商表：

这里给出一个例子：

x	y	一阶差商	二阶差商	三阶差商	四阶差商
1	1
2	4	a1=3
3	7	a2=3	b1=0
4	8	a3=1	b2=-1	c1=
5	6	a4=-2	b3=	c2=	d1=

上表中已知五个点的x、y值，需要求a1、a2、a3、a4，b1、b2、b3，c1、c2，d1。（构造牛顿插值多项式时只需要a1、b1、c1、d1即可，但求b1需要用到a1、a2，求c1需要用到b1、b2，求d1需要用到c1、c2。不懂为什么的话就去看看数学式子吧٩(๑>₃<)۶ ）

我们要构建一个5*6的数组（也可以构建6*6的数组跟上表一样，5*6的数组不包括第一行表头），先算a1，a1=(4-1)/(2-1)，出现的数字按照先后顺序，4是第二个y值，1是第一个y值，2是第二个x值，1是第一个x值。

同理，a2=(7-4)/(3-2)，a3=(8-7)/(4-3)，a4=(6-8)/(5-4)

a的计算规律我们找到了，分子分母分开来看，分子是对应行y值-上一行y值，分母是对应行x值-上一行x值。

但b的计算规律也是这样吗？

由表找规律发现不一样，c的计算规律与a、b也不一样。我建议大家可以花时间找一找，规律与n阶差商的n有关。

找出来了吗，我这里直接说了：

某一个要求的值=（左边值-左上值）/（同行x值-（当前行-n行的x值））

如b1=(a2-a1)/(3-1),b3=(a4-a3)/(5-3)

规律都找到了，可以写代码通式了。

代码实现

这里我只给出部分核心代码，因为我没写。

x[i][j]=x[i][j-1]-x[i-1][j-1]/x[i][0]-x[i-n][0]

其中x为构建的数组x，x[i][j]代表要求的位置的数，n为n阶差商的n。

剩下的就是利用循环不断地算不同位置的数啦！你一定会吧！(>ω･* )ﾉ

构建牛顿插值多项式

根据数学公式可以构建，简单解释为：

多项式=从第一个y值开始，对角线上的数值分别连乘(x-比它高的行的x)

即P(x)=1+3*(x-1)+0*(x-1)(x-2)+()*(x-1)(x-2)(x-3)+*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

代码实现也是利用循环构造乘法和加法，这里我就不写了因为我没写。可以参考下面第二种方法里构造多项式的代码，也是利用循环构造乘法和加法，思路是一样的，聪明的你看看一定能自己写出来！

递归

递归的思路是根据数学公式来的，找数学公式的规律构造代码通式。

x	y	一阶差商	二阶差商	三阶差商	四阶差商
1	1
2	4	a1=3
3	7	a2=3	b1=0
4	8	a3=1	b2=-1	c1=
5	6	a4=-2	b3=	c2=	d1=

还是这个表，我列出几个算差商的数学公式：

 

简单来说分子和分母之间是交叉互补的关系（仅限表面数字互补，没有实际含义）

以下我们用k表示k阶差商里的阶数，点x的值放到一个列表里，列表x里的值角标为0、1、2...n

我们发现分母就是n-(n-1),分子是k-1阶差商相减，第一个差商是1、2...n-2、n的差商，第二个差商是1、2...n-2、n-1的差商。（第一个少n-1，第二个少n）

根据这个规律我们就可以构造递归式，代码如下：

#构建点坐标的x值列表和y值列表
x=[1,2,3,4,5]
y=[1,4,7,8,6]

#定义求差商得函数
def chashang(k,a,n):
    #k代表k阶差商,a代表倒数第二位角标，n代表最后一位角标。
    if k==1:
        cs=(y[n]-y[a])/(x[n]-x[a])
        return cs
    else:
        cs=(chashang(k-1,a-1,n)-chashang(k-1,a-1,a))/(x[n]-x[a])
        return cs

以上为关键阶差商求法（关键阶差商指对角线上的差商，如a1、b1、c1、d1），也可以把所有差商都保存下来，但没必要，因为构建多项式不需要所有差商，只需要关键阶差商，就没加保存数据代码。

这串代码只能求阶k与数角标n相等的情况，比如求(三阶012)，(四阶0123).不能差着求比如(三阶023)（这个在递归式里计算机自动求了，但没法直接利用函数先求）。如果想求三阶023这种非对角线差商，可以在代码里加一个保存数据的代码保存到数组里，这样所有差商都有了。

有了差商，再根据已知的y值就可以构造多项式了。

构造牛顿插值多项式

利用循环不断改变n与k的取值，就可以构造多项式里连乘和连加的效果，代码如下：

for n in range(len(x)):
    if n==0:
        ND=y[0]
        continue
    else:
        a=n-1
        k=n
        Niudun=chashang(k,a,n)
        for i in range(n):
            Niudun=Niudun*(b-x[i])
        ND=ND+Niudun

这样牛顿插值多项式就构造完成了，只需要一个获取想要预测的x值的代码就可以了！这里我用的

b=eval(input('请输入x坐标:'))

这个要放在循环构建多项式的前面，因为循环构建多项式的代码需要用到b这个参数。

最后我再放一个整体的代码供大家参考：

x=[1,2,3,4,5]
y=[1,4,7,8,6]


def chashang(k,a,n):
    #k代表k阶差商,a代表倒数第二位角标，n代表最后一位角标。
    if k==1:
        cs=(y[n]-y[a])/(x[n]-x[a])
        return cs
    else:
        cs=(chashang(k-1,a-1,n)-chashang(k-1,a-1,a))/(x[n]-x[a])
        return cs


#以上为关键阶求法，也可以把整个差商表保存下来，但没必要，就没加保存数据代码。


#以下为利用循环构建牛顿插值多项式


b=eval(input('请输入x坐标:'))

for n in range(len(x)):
    if n==0:
        ND=y[0]
        continue
    else:
        a=n-1
        k=n
        Niudun=chashang(k,a,n)
        for i in range(n):
            Niudun=Niudun*(b-x[i])
        ND=ND+Niudun
print(ND)