HFKuAng
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3D中的旋转，四元数

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  1. 四元数
    1. 一 四元数
      1. 11 四元数的概念
      2. 12 旋转矩阵
      3. 12 欧拉角
      4. 13    旋转矩阵欧拉角和四元数之间的转化关系
      5. 14    线性插值与球面插值
    2. 二 参考
      1. 3      httpenwikipediaorgwikiQuaternion
      2. 转载httpwwwtwinklingstarcn2013534intro-to-quaternion

四元数

对于四元数的概念也许大家不太熟悉，这里介绍下四元数概念，四元数、矩阵和欧拉角之间的关系，四元数球面插值的概念。这还是从当年写的本科毕业论文中摘录下来的，相当的没有技术含量。四元数的代码实现，见下载页面。

一． 四元数

1.1 四元数的概念

四元数是由爱尔兰数学家威廉•卢云•哈密顿在1843年发现的数学概念，在图形学中有重要的应用。在3D程序中，通常用四元数来计算3D物体的旋转角度，与矩阵相比，四元数更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。 可以把四元数看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V或三个单独的分量（x,y,z）,则四元数可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,z）]。正规化四元数可以表示为：在三维中，可以用四元数表示绕着某个轴的旋转，如下公式所示：

α表示旋转的角度，cos(βx), cos(βy) 和cos(βz)表示定位旋转轴的方向余弦

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。上面这段话阐述了四元数的原理：三维空间内所有的旋转都可以用四个数来表示。在通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在电脑图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。

1.2 旋转矩阵

旋转矩阵（Rotation Matrix）与一个向量相乘，会改变向量的方向但不改变大小的效果。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

1.2 欧拉角

图1 欧拉角表示

设定 xyz-轴为参考系的参考轴，称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:（1）a 是 x-轴与交点线的夹角；（2）B是 z-轴与Z-轴的夹角；（3）r 是交点线与X-轴的夹角。 欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向，如图1所示。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。 设定刚体取向的旋转矩阵[R]是由三个基本旋转矩阵合成的，单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转。但是，当它们照次序相乘，最里面的(最右的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转，最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转，在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

1.3    旋转矩阵、欧拉角和四元数之间的转化关系

旋转矩阵、欧拉角、四元数都可以表示三维空间模型的旋转，三者间也可以相互转化。正规化四元数q0+iq1+jq2+kq3可以用矩阵形式表示：  欧拉角也可转化成矩阵形式，欧拉角φ, θ, ψ表示的顺时针旋转可以用下面的矩阵形式表示：  通过组合欧拉旋转（欧拉角分别是, θ, ψ）的四元数表达示，可以得到欧拉角到四元数的转化关系，如下面的公式所示：  同时可以得到，四元数到欧拉角的转换关系，如下面的公式所示：

arctan和arcsin的结果是[-π/2,π/2]，这并不能覆盖所有朝向，因此需要用atan2来代替arctan，从而产生所有可能的朝向，得到新的公式如下面所示：

1.4    线性插值与球面插值

在二维空间对向量进行线性插值，如图2所示，从而在向量间取得线性平滑的插值。得到等式P(t)=P0+(P1-P0)*t , 0 <= t <=1，通常还要将它标准化，转化为P(t)=P(t)/|P(t)|，这种方式的缺点便是在以 |P0| 为半径的圆的曲线轨迹上不是恒速变化的。

图2线性插值

四元数在球面插值（Spherical Linear Interpolation）中仍只用于描述旋转，它是关于单位四元数构成的球表面上的操作，并且这一插值过程适用于在由三维向量升维构成的单位四元数中进行，所以基本上一次的插值过程可以降维到三维空间解释。其次，当向量仅发生旋转时，要求其起点向量到终点向量位于同一个二维空间，所以，球面插值本质上是处于二维空间的弧形插值。并且我们总是使用单位四元数来描述角度插值，因此在二维空间，被插值向量的长度是单位长度的，起始和终止向量以及由其长度为半径构成的圆中向量所夹的弧形便是我们观察的插值轨迹。 如图3球面插值所示，将 P(t) 分解为 P0 以及 P1 向量上的两个分量，根据平行四边形法则，我们首先观察在 P0 上的分量的长度 a(t)，为了得到这个长度，作了 P0 末端到 A 以及 P(t) 末端到 B 的辅助线，根据相似三角形，各个边，得到比例关系a(t)/|P0|=sin(ang*(1-f))|P(t)|/(sin(ang)*|P0|),如果使用标准化的向量，简化为：a(t)=sin(ang*(1-f))/sin(ang)。使用同样的手段来计算另一个分量 b(t)=sin(ang*f)/sin(ang)，最后得到这样的一组公式：P(t)=a(t)*P0+b(t)*P1。

图3 球面插值

二． 参考

【1】      http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

【2】      http://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles

【3】      http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
转载：http://www.twinklingstar.cn/2013/534/intro-to-quaternion/

矩阵，欧拉角，四元素之间的相互转换

 

矩阵转四元素：

[cpp] view plaincopy
  1. FQuat::FQuat( const FMatrix& M )  
  2. {  
  3.     //const MeReal *const t = (MeReal *) tm;  
  4.     FLOAT   s;  
  5.   
  6.     // Check diagonal (trace)  
  7.     const FLOAT tr = M.M[0][0] + M.M[1][1] + M.M[2][2];  
  8.   
  9.     if (tr > 0.0f)   
  10.     {  
  11.         FLOAT InvS = appInvSqrt(tr + 1.f);  
  12.         this->W = 0.5f * (1.f / InvS);  
  13.         s = 0.5f * InvS;  
  14.   
  15.         this->X = (M.M[1][2] - M.M[2][1]) * s;  
  16.         this->Y = (M.M[2][0] - M.M[0][2]) * s;  
  17.         this->Z = (M.M[0][1] - M.M[1][0]) * s;  
  18.     }   
  19.     else   
  20.     {  
  21.         // diagonal is negative  
  22.         INT i = 0;  
  23.   
  24.         if (M.M[1][1] > M.M[0][0])  
  25.             i = 1;  
  26.   
  27.         if (M.M[2][2] > M.M[i][i])  
  28.             i = 2;  
  29.   
  30.         static const INT nxt[3] = { 1, 2, 0 };  
  31.         const INT j = nxt[i];  
  32.         const INT k = nxt[j];  
  33.   
  34.         s = M.M[i][i] - M.M[j][j] - M.M[k][k] + 1.0f;  
  35.   
  36.         FLOAT InvS = appInvSqrt(s);  
  37.   
  38.         FLOAT qt[4];  
  39.         qt[i] = 0.5f * (1.f / InvS);  
  40.   
  41.         s = 0.5f * InvS;  
  42.   
  43.         qt[3] = (M.M[j][k] - M.M[k][j]) * s;  
  44.         qt[j] = (M.M[i][j] + M.M[j][i]) * s;  
  45.         qt[k] = (M.M[i][k] + M.M[k][i]) * s;  
  46.   
  47.         this->X = qt[0];  
  48.         this->Y = qt[1];  
  49.         this->Z = qt[2];  
  50.         this->W = qt[3];  
  51.     }  
  52. }  
  53.   
  54.   
  55. //  
  56. // MSM: Fast float inverse square root using SSE.  
  57. // Accurate to within 1 LSB.  
  58. //  
  59. FORCEINLINE FLOAT appInvSqrt( FLOAT F )  
  60. {  
  61.     const FLOAT fThree = 3.0f;  
  62.     const FLOAT fOneHalf = 0.5f;  
  63.     FLOAT temp;  
  64.   
  65.     __asm  
  66.     {  
  67.         movss   xmm1,[F]  
  68.         rsqrtss xmm0,xmm1           // 1/sqrt estimate (12 bits)  
  69.   
  70.         // Newton-Raphson iteration (X1 = 0.5*X0*(3-(Y*X0)*X0))  
  71.         movss   xmm3,[fThree]  
  72.         movss   xmm2,xmm0  
  73.         mulss   xmm0,xmm1           // Y*X0  
  74.         mulss   xmm0,xmm2           // Y*X0*X0  
  75.         mulss   xmm2,[fOneHalf]     // 0.5*X0  
  76.         subss   xmm3,xmm0           // 3-Y*X0*X0  
  77.         mulss   xmm3,xmm2           // 0.5*X0*(3-Y*X0*X0)  
  78.         movss   [temp],xmm3  
  79.     }  
  80.   
  81.     return temp;  
  82. }  

矩阵转欧拉角

[cpp]  view plain copy
  1. FRotator FMatrix::Rotator() const  
  2. {  
  3.     const FVector       XAxis   = GetAxis( 0 );  
  4.     const FVector       YAxis   = GetAxis( 1 );  
  5.     const FVector       ZAxis   = GetAxis( 2 );  
  6.   
  7.     FRotator    Rotator = FRotator(   
  8.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Z, appSqrt(Square(XAxis.X)+Square(XAxis.Y)) ) * 32768.f / PI),   
  9.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Y, XAxis.X ) * 32768.f / PI),   
  10.                                     0   
  11.                                 );  
  12.       
  13.     const FVector       SYAxis  = FRotationMatrix( Rotator ).GetAxis(1);  
  14.     Rotator.Roll        = appRound(appAtan2( ZAxis | SYAxis, YAxis | SYAxis ) * 32768.f / PI);  
  15.     return Rotator;  
  16. }  
  17.   
  18. FRotator( INT InPitch, INT InYaw, INT InRoll )  
  19.     :   Pitch(InPitch), Yaw(InYaw), Roll(InRoll) {}  

 

欧拉角转矩阵

 

 

[cpp]  view plain copy
  1. FRotationMatrix(const FRotator& Rot)  
  2.     {  
  3.         const FLOAT SR  = GMath.SinTab(Rot.Roll);  
  4.         const FLOAT SP  = GMath.SinTab(Rot.Pitch);  
  5.         const FLOAT SY  = GMath.SinTab(Rot.Yaw);  
  6.         const FLOAT CR  = GMath.CosTab(Rot.Roll);  
  7.         const FLOAT CP  = GMath.CosTab(Rot.Pitch);  
  8.         const FLOAT CY  = GMath.CosTab(Rot.Yaw);  
  9.   
  10.         M[0][0] = CP * CY;  
  11.         M[0][1] = CP * SY;  
  12.         M[0][2] = SP;  
  13.         M[0][3] = 0.f;  
  14.   
  15.         M[1][0] = SR * SP * CY - CR * SY;  
  16.         M[1][1] = SR * SP * SY + CR * CY;  
  17.         M[1][2] = - SR * CP;  
  18.         M[1][3] = 0.f;  
  19.   
  20.         M[2][0] = -( CR * SP * CY + SR * SY );  
  21.         M[2][1] = CY * SR - CR * SP * SY;  
  22.         M[2][2] = CR * CP;  
  23.         M[2][3] = 0.f;  
  24.   
  25.         M[3][0] = 0.f;  
  26.         M[3][1] = 0.f;  
  27.         M[3][2] = 0.f;  
  28.         M[3][3] = 1.f;  
  29.     }  
  30. class FGlobalMath  
  31. {  
  32. public:  
  33.     // Constants.  
  34.     enum {ANGLE_SHIFT   = 2};       // Bits to right-shift to get lookup value.  
  35.     enum {ANGLE_BITS    = 14};      // Number of valid bits in angles.  
  36.     enum {NUM_ANGLES    = 16384};   // Number of angles that are in lookup table.  
  37.     enum {ANGLE_MASK    =  (((1<
  38.   
  39.     // Basic math functions.  
  40.     FORCEINLINE FLOAT SinTab( int i ) const  
  41.     {  
  42.         return TrigFLOAT[((i>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  43.     }  
  44.     FORCEINLINE FLOAT CosTab( int i ) const  
  45.     {  
  46.         return TrigFLOAT[(((i+16384)>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  47.     }  
  48.     FLOAT SinFloat( FLOAT F ) const  
  49.     {  
  50.         return SinTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  51.     }  
  52.     FLOAT CosFloat( FLOAT F ) const  
  53.     {  
  54.         return CosTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  55.     }  
  56.   
  57.     // Constructor.  
  58.     FGlobalMath();  
  59.   
  60. private:  
  61.     // Tables.  
  62.     FLOAT  TrigFLOAT        [NUM_ANGLES];  
  63. };  

 

四元素转矩阵

 

[cpp]  view plain copy
  1. FQuatRotationTranslationMatrix(const FQuat& Q, const FVector& Origin)  
  2. {  
  3.     const FLOAT x2 = Q.X + Q.X;  const FLOAT y2 = Q.Y + Q.Y;  const FLOAT z2 = Q.Z + Q.Z;  
  4.     const FLOAT xx = Q.X * x2;   const FLOAT xy = Q.X * y2;   const FLOAT xz = Q.X * z2;  
  5.     const FLOAT yy = Q.Y * y2;   const FLOAT yz = Q.Y * z2;   const FLOAT zz = Q.Z * z2;  
  6.     const FLOAT wx = Q.W * x2;   const FLOAT wy = Q.W * y2;   const FLOAT wz = Q.W * z2;  
  7.   
  8.     M[0][0] = 1.0f - (yy + zz); M[1][0] = xy - wz;              M[2][0] = xz + wy;          M[3][0] = Origin.X;  
  9.     M[0][1] = xy + wz;          M[1][1] = 1.0f - (xx + zz);     M[2][1] = yz - wx;          M[3][1] = Origin.Y;  
  10.     M[0][2] = xz - wy;          M[1][2] = yz + wx;              M[2][2] = 1.0f - (xx + yy); M[3][2] = Origin.Z;  
  11.     M[0][3] = 0.0f;             M[1][3] = 0.0f;                 M[2][3] = 0.0f;             M[3][3] = 1.0f;  
  12. }  
  13.   
  14. QuatRotationTranslationMatrix( *this, FVector(0.f) )  

 四元素与欧拉角的转换都是通过矩阵来做中间跳板！

 

从一个向量旋转到另一个向量的四元素：

[cpp]  view plain copy
  1. FQuat FQuatFindBetween(const FVector& vec1, const FVector& vec2)  
  2. {  
  3.     const FVector cross = vec1 ^ vec2;  
  4.     const FLOAT crossMag = cross.Size();  
  5.   
  6.     if(crossMag < KINDA_SMALL_NUMBER)  
  7.     {  
  8.         const FLOAT Dot = vec1 | vec2;  
  9.         if(Dot > -KINDA_SMALL_NUMBER)  
  10.         {  
  11.             return FQuat::Identity; // no rotation  
  12.         }  
  13.         else  
  14.         {  
  15.             // rotation by 180 degrees around a vector orthogonal to vec1 & vec2  
  16.             FVector Vec = vec1.SizeSquared() > vec2.SizeSquared() ? vec1 : vec2;  
  17.             Vec.Normalize();  
  18.   
  19.             FVector AxisA, AxisB;  
  20.             Vec.FindBestAxisVectors(AxisA, AxisB);  
  21.   
  22.             return FQuat(AxisA.X, AxisA.Y, AxisA.Z, 0.f); // (axis*sin(pi/2), cos(pi/2)) = (axis, 0)  
  23.         }  
  24.     }  
  25.   
  26.     FLOAT angle = appAsin(crossMag);  
  27.   
  28.     const FLOAT dot = vec1 | vec2;  
  29.     if(dot < 0.0f)  
  30.     {  
  31.         angle = PI - angle;  
  32.     }  
  33.   
  34.     const FLOAT sinHalfAng = appSin(0.5f * angle);  
  35.     const FLOAT cosHalfAng = appCos(0.5f * angle);  
  36.     const FVector axis = cross / crossMag;  
  37.   
  38.     return FQuat(  
  39.         sinHalfAng * axis.X,  
  40.         sinHalfAng * axis.Y,  
  41.         sinHalfAng * axis.Z,  
  42.         cosHalfAng );  
  43. }  
  44.   
  45. #define KINDA_SMALL_NUMBER  (1.e-4)  
  46.   
  47. FQuat( FLOAT InX, FLOAT InY, FLOAT InZ, FLOAT InA )  
  48.     :   X(InX), Y(InY), Z(InZ), W(InA)  
  49.     {}  

 


矩阵，欧拉角，四元素之间的相互转换

 

矩阵转四元素：

[cpp] view plaincopy
  1. FQuat::FQuat( const FMatrix& M )  
  2. {  
  3.     //const MeReal *const t = (MeReal *) tm;  
  4.     FLOAT   s;  
  5.   
  6.     // Check diagonal (trace)  
  7.     const FLOAT tr = M.M[0][0] + M.M[1][1] + M.M[2][2];  
  8.   
  9.     if (tr > 0.0f)   
  10.     {  
  11.         FLOAT InvS = appInvSqrt(tr + 1.f);  
  12.         this->W = 0.5f * (1.f / InvS);  
  13.         s = 0.5f * InvS;  
  14.   
  15.         this->X = (M.M[1][2] - M.M[2][1]) * s;  
  16.         this->Y = (M.M[2][0] - M.M[0][2]) * s;  
  17.         this->Z = (M.M[0][1] - M.M[1][0]) * s;  
  18.     }   
  19.     else   
  20.     {  
  21.         // diagonal is negative  
  22.         INT i = 0;  
  23.   
  24.         if (M.M[1][1] > M.M[0][0])  
  25.             i = 1;  
  26.   
  27.         if (M.M[2][2] > M.M[i][i])  
  28.             i = 2;  
  29.   
  30.         static const INT nxt[3] = { 1, 2, 0 };  
  31.         const INT j = nxt[i];  
  32.         const INT k = nxt[j];  
  33.   
  34.         s = M.M[i][i] - M.M[j][j] - M.M[k][k] + 1.0f;  
  35.   
  36.         FLOAT InvS = appInvSqrt(s);  
  37.   
  38.         FLOAT qt[4];  
  39.         qt[i] = 0.5f * (1.f / InvS);  
  40.   
  41.         s = 0.5f * InvS;  
  42.   
  43.         qt[3] = (M.M[j][k] - M.M[k][j]) * s;  
  44.         qt[j] = (M.M[i][j] + M.M[j][i]) * s;  
  45.         qt[k] = (M.M[i][k] + M.M[k][i]) * s;  
  46.   
  47.         this->X = qt[0];  
  48.         this->Y = qt[1];  
  49.         this->Z = qt[2];  
  50.         this->W = qt[3];  
  51.     }  
  52. }  
  53.   
  54.   
  55. //  
  56. // MSM: Fast float inverse square root using SSE.  
  57. // Accurate to within 1 LSB.  
  58. //  
  59. FORCEINLINE FLOAT appInvSqrt( FLOAT F )  
  60. {  
  61.     const FLOAT fThree = 3.0f;  
  62.     const FLOAT fOneHalf = 0.5f;  
  63.     FLOAT temp;  
  64.   
  65.     __asm  
  66.     {  
  67.         movss   xmm1,[F]  
  68.         rsqrtss xmm0,xmm1           // 1/sqrt estimate (12 bits)  
  69.   
  70.         // Newton-Raphson iteration (X1 = 0.5*X0*(3-(Y*X0)*X0))  
  71.         movss   xmm3,[fThree]  
  72.         movss   xmm2,xmm0  
  73.         mulss   xmm0,xmm1           // Y*X0  
  74.         mulss   xmm0,xmm2           // Y*X0*X0  
  75.         mulss   xmm2,[fOneHalf]     // 0.5*X0  
  76.         subss   xmm3,xmm0           // 3-Y*X0*X0  
  77.         mulss   xmm3,xmm2           // 0.5*X0*(3-Y*X0*X0)  
  78.         movss   [temp],xmm3  
  79.     }  
  80.   
  81.     return temp;  
  82. }  

矩阵转欧拉角

[cpp]  view plain copy
  1. FRotator FMatrix::Rotator() const  
  2. {  
  3.     const FVector       XAxis   = GetAxis( 0 );  
  4.     const FVector       YAxis   = GetAxis( 1 );  
  5.     const FVector       ZAxis   = GetAxis( 2 );  
  6.   
  7.     FRotator    Rotator = FRotator(   
  8.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Z, appSqrt(Square(XAxis.X)+Square(XAxis.Y)) ) * 32768.f / PI),   
  9.                                     appRound(appAtan2( XAxis.Y, XAxis.X ) * 32768.f / PI),   
  10.                                     0   
  11.                                 );  
  12.       
  13.     const FVector       SYAxis  = FRotationMatrix( Rotator ).GetAxis(1);  
  14.     Rotator.Roll        = appRound(appAtan2( ZAxis | SYAxis, YAxis | SYAxis ) * 32768.f / PI);  
  15.     return Rotator;  
  16. }  
  17.   
  18. FRotator( INT InPitch, INT InYaw, INT InRoll )  
  19.     :   Pitch(InPitch), Yaw(InYaw), Roll(InRoll) {}  

 

欧拉角转矩阵

 

 

[cpp]  view plain copy
  1. FRotationMatrix(const FRotator& Rot)  
  2.     {  
  3.         const FLOAT SR  = GMath.SinTab(Rot.Roll);  
  4.         const FLOAT SP  = GMath.SinTab(Rot.Pitch);  
  5.         const FLOAT SY  = GMath.SinTab(Rot.Yaw);  
  6.         const FLOAT CR  = GMath.CosTab(Rot.Roll);  
  7.         const FLOAT CP  = GMath.CosTab(Rot.Pitch);  
  8.         const FLOAT CY  = GMath.CosTab(Rot.Yaw);  
  9.   
  10.         M[0][0] = CP * CY;  
  11.         M[0][1] = CP * SY;  
  12.         M[0][2] = SP;  
  13.         M[0][3] = 0.f;  
  14.   
  15.         M[1][0] = SR * SP * CY - CR * SY;  
  16.         M[1][1] = SR * SP * SY + CR * CY;  
  17.         M[1][2] = - SR * CP;  
  18.         M[1][3] = 0.f;  
  19.   
  20.         M[2][0] = -( CR * SP * CY + SR * SY );  
  21.         M[2][1] = CY * SR - CR * SP * SY;  
  22.         M[2][2] = CR * CP;  
  23.         M[2][3] = 0.f;  
  24.   
  25.         M[3][0] = 0.f;  
  26.         M[3][1] = 0.f;  
  27.         M[3][2] = 0.f;  
  28.         M[3][3] = 1.f;  
  29.     }  
  30. class FGlobalMath  
  31. {  
  32. public:  
  33.     // Constants.  
  34.     enum {ANGLE_SHIFT   = 2};       // Bits to right-shift to get lookup value.  
  35.     enum {ANGLE_BITS    = 14};      // Number of valid bits in angles.  
  36.     enum {NUM_ANGLES    = 16384};   // Number of angles that are in lookup table.  
  37.     enum {ANGLE_MASK    =  (((1<
  38.   
  39.     // Basic math functions.  
  40.     FORCEINLINE FLOAT SinTab( int i ) const  
  41.     {  
  42.         return TrigFLOAT[((i>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  43.     }  
  44.     FORCEINLINE FLOAT CosTab( int i ) const  
  45.     {  
  46.         return TrigFLOAT[(((i+16384)>>ANGLE_SHIFT)&(NUM_ANGLES-1))];  
  47.     }  
  48.     FLOAT SinFloat( FLOAT F ) const  
  49.     {  
  50.         return SinTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  51.     }  
  52.     FLOAT CosFloat( FLOAT F ) const  
  53.     {  
  54.         return CosTab(appTrunc((F*65536.f)/(2.f*PI)));  
  55.     }  
  56.   
  57.     // Constructor.  
  58.     FGlobalMath();  
  59.   
  60. private:  
  61.     // Tables.  
  62.     FLOAT  TrigFLOAT        [NUM_ANGLES];  
  63. };  

 

四元素转矩阵

 

[cpp]  view plain copy
  1. FQuatRotationTranslationMatrix(const FQuat& Q, const FVector& Origin)  
  2. {  
  3.     const FLOAT x2 = Q.X + Q.X;  const FLOAT y2 = Q.Y + Q.Y;  const FLOAT z2 = Q.Z + Q.Z;  
  4.     const FLOAT xx = Q.X * x2;   const FLOAT xy = Q.X * y2;   const FLOAT xz = Q.X * z2;  
  5.     const FLOAT yy = Q.Y * y2;   const FLOAT yz = Q.Y * z2;   const FLOAT zz = Q.Z * z2;  
  6.     const FLOAT wx = Q.W * x2;   const FLOAT wy = Q.W * y2;   const FLOAT wz = Q.W * z2;  
  7.   
  8.     M[0][0] = 1.0f - (yy + zz); M[1][0] = xy - wz;              M[2][0] = xz + wy;          M[3][0] = Origin.X;  
  9.     M[0][1] = xy + wz;          M[1][1] = 1.0f - (xx + zz);     M[2][1] = yz - wx;          M[3][1] = Origin.Y;  
  10.     M[0][2] = xz - wy;          M[1][2] = yz + wx;              M[2][2] = 1.0f - (xx + yy); M[3][2] = Origin.Z;  
  11.     M[0][3] = 0.0f;             M[1][3] = 0.0f;                 M[2][3] = 0.0f;             M[3][3] = 1.0f;  
  12. }  
  13.   
  14. QuatRotationTranslationMatrix( *this, FVector(0.f) )  

 四元素与欧拉角的转换都是通过矩阵来做中间跳板！

 

从一个向量旋转到另一个向量的四元素：

[cpp]  view plain copy
  1. FQuat FQuatFindBetween(const FVector& vec1, const FVector& vec2)  
  2. {  
  3.     const FVector cross = vec1 ^ vec2;  
  4.     const FLOAT crossMag = cross.Size();  
  5.   
  6.     if(crossMag < KINDA_SMALL_NUMBER)  
  7.     {  
  8.         const FLOAT Dot = vec1 | vec2;  
  9.         if(Dot > -KINDA_SMALL_NUMBER)  
  10.         {  
  11.             return FQuat::Identity; // no rotation  
  12.         }  
  13.         else  
  14.         {  
  15.             // rotation by 180 degrees around a vector orthogonal to vec1 & vec2  
  16.             FVector Vec = vec1.SizeSquared() > vec2.SizeSquared() ? vec1 : vec2;  
  17.             Vec.Normalize();  
  18.   
  19.             FVector AxisA, AxisB;  
  20.             Vec.FindBestAxisVectors(AxisA, AxisB);  
  21.   
  22.             return FQuat(AxisA.X, AxisA.Y, AxisA.Z, 0.f); // (axis*sin(pi/2), cos(pi/2)) = (axis, 0)  
  23.         }  
  24.     }  
  25.   
  26.     FLOAT angle = appAsin(crossMag);  
  27.   
  28.     const FLOAT dot = vec1 | vec2;  
  29.     if(dot < 0.0f)  
  30.     {  
  31.         angle = PI - angle;  
  32.     }  
  33.   
  34.     const FLOAT sinHalfAng = appSin(0.5f * angle);  
  35.     const FLOAT cosHalfAng = appCos(0.5f * angle);  
  36.     const FVector axis = cross / crossMag;  
  37.   
  38.     return FQuat(  
  39.         sinHalfAng * axis.X,  
  40.         sinHalfAng * axis.Y,  
  41.         sinHalfAng * axis.Z,  
  42.         cosHalfAng );  
  43. }  
  44.   
  45. #define KINDA_SMALL_NUMBER  (1.e-4)  
  46.   
  47. FQuat( FLOAT InX, FLOAT InY, FLOAT InZ, FLOAT InA )  
  48.     :   X(InX), Y(InY), Z(InZ), W(InA)  
  49.     {}  

 

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    运算符总结在各种编程语言中，常用的运算符号有这三大类：算术运算符：+，-，*，/，%位运算符：&，|，^，>赋值运算符：=，+=，-=，*=，/=，%=比较运算符：>，=，<=，!=逻辑运算符：&&，||，!条件运算符：条件?成立执行:否则执行//又称三目运算符自操作运算符：++，--以上这些符号在各种编程语言都是通用的，自然也包括php，因此本篇不对这些内容展开细讲，而是记录两个特殊的，php特
  • php基础学习之分支结构和循环结构（不细讲，来对比一下和两大常用高级编程语言（C++/Java）的细微区别以便记忆） 晴友读钟 php基础学习php学习笔记
    分支结构常见分支结构编程语言常见分支结构有：if语句if-else语句if-elseif-else语句switch语句其中，除了if-elseif-else语句外，另外3中分支语句在php中和C++/Java是一模一样的！而if-elseif-else的唯一不同点就在，【elseif】这个关键字既可以合一起写（C++/Java不可以），也可以拆开写成【elseif】因此，看到php代码中的【els
  • 2020-8-22晨间日记 钝感力_
    事事有结果，日拱一卒，不期速成。今天三件事：1、长期坚持的事①早上6点起床跑步，30分钟；②英语单词复习40个新词10个每天；(第840个)②心理建设10分钟每天；③新闻(公众号人民日报)每天；④曾仕强《易经》1节每天；(第36讲，27卦)⑤读书1本每周《滚雪球》；2、现阶段重点①整理基金、股票费率及投资标的，书籍投资知识点，理财基础学习；②python；③周文王的《易经》第四部分正文解析；3、今
  • 【教程】C++语言基础学习笔记（六）——String字符串 EliasChang 【语言】C++c++学习笔记
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  • 【教程】C++语言基础学习笔记（八）——函数 EliasChang 【语言】C++c++学习笔记
    写在前面：如果文章对你有帮助，记得点赞关注加收藏一波，利于以后需要的时候复习，多谢支持！【C++语言基础学习】系列文章第一章《项目与程序结构》第二章《数据类型》第三章《运算符》第四章《流程控制》第五章《Vector向量》第六章《String字符串》第七章《Array数组》第八章《函数》第九章《指针》第十章《结构体》文章目录【C++语言基础学习】系列文章一、函数定义二、函数值传递三、函数常见样式一、
  • 【教程】C++语言基础学习笔记（四）——流程控制 EliasChang 【语言】C++学习笔记c++
    写在前面：如果文章对你有帮助，记得点赞关注加收藏一波，利于以后需要的时候复习，多谢支持！【C++语言基础学习】系列文章第一章《项目与程序结构》第二章《数据类型》第三章《运算符》第四章《流程控制》第五章《Vector向量》第六章《String字符串》第七章《Array数组》第八章《函数》第九章《指针》第十章《结构体》文章目录【C++语言基础学习】系列文章一、作用域和块二、语句分类（一）简单语句（二）
  • Dom 周华华 JavaScripthtml
    <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml&q
  • 【Spark九十六】RDD API之combineByKey bit1129 spark
    1. combineByKey函数的运行机制   RDD提供了很多针对元素类型为(K,V)的API，这些API封装在PairRDDFunctions类中，通过Scala隐式转换使用。这些API实现上是借助于combineByKey实现的。combineByKey函数本身也是RDD开放给Spark开发人员使用的API之一   首先看一下combineByKey的方法说明：
  • msyql设置密码报错：ERROR 1372 (HY000): 解决方法详解 daizj mysql设置密码
    MySql给用户设置权限同时指定访问密码时，会提示如下错误： ERROR 1372 (HY000): Password hash should be a 41-digit hexadecimal number；   问题原因：你输入的密码是明文。不允许这么输入。   解决办法：用select password('你想输入的密码');查询出你的密码对应的字符串， 然后
  • 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 周凡杨 学习 思索
    王国维在他的《人间词话》中曾经概括了为学的三种境界古今之成大事业、大学问者，罔不经过三种之境界。“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。”此第一境界也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”此第二境界也。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”此第三境界也。学习技术，这也是你必须经历的三种境界。第一层境界是说，学习的路是漫漫的，你必须做好充分的思想准备，如果半途而废还不如不要开始。这里，注
  • Hadoop(二)对话单的操作 朱辉辉33 hadoop
    Debug： 1、 A = LOAD '/user/hue/task.txt' USING PigStorage(' ') AS (col1,col2,col3); DUMP A; //输出结果前几行示例： (>ggsnPDPRecord(21),,) (-->recordType(0),,) (-->networkInitiation(1),,)
  • web报表工具FineReport常用函数的用法总结（日期和时间函数） 老A不折腾 finereport报表工具web开发
    web报表工具FineReport常用函数的用法总结（日期和时间函数）   说明：凡函数中以日期作为参数因子的，其中日期的形式都必须是yy/mm/dd。而且必须用英文环境下双引号(" ")引用。   DATE DATE(year,month,day):返回一个表示某一特定日期的系列数。 Year:代表年，可为一到四位数。 Month:代表月份。
  • c++ 宏定义中的##操作符 墙头上一根草 C++
    #与##在宏定义中的--宏展开 #include <stdio.h> #define f(a,b) a##b #define g(a)   #a #define h(a) g(a) int main() {       &nbs
  • 分析Spring源代码之，DI的实现 aijuans springDI现源代码
    (转) 分析Spring源代码之，DI的实现 2012/1/3 by tony                 接着上次的讲，以下这个sample [java]  view plain copy print
  • for循环的进化 alxw4616 JavaScript
    // for循环的进化 // 菜鸟 for (var i = 0; i < Things.length ; i++) { // Things[i] } // 老鸟 for (var i = 0, len = Things.length; i < len; i++) { // Things[i] } // 大师 for (var i = Things.le
  • 网络编程Socket和ServerSocket简单的使用 百合不是茶 网络编程基础IP地址端口
      网络编程;TCP/IP协议   网络:实现计算机之间的信息共享,数据资源的交换   协议:数据交换需要遵守的一种协议,按照约定的数据格式等写出去   端口:用于计算机之间的通信      每运行一个程序，系统会分配一个编号给该程序，作为和外界交换数据的唯一标识 0~65535   查看被使用的
  • JDK1.5 生产消费者 bijian1013 javathread生产消费者java多线程
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  • JAVA版身份证获取性别、出生日期及年龄 bijian1013 java性别出生日期年龄
            工作中需要根据身份证获取性别、出生日期及年龄，且要还要支持15位长度的身份证号码，网上搜索了一下，经过测试好像多少存在点问题，干脆自已写一个。 CertificateNo.java package com.bijian.study; import java.util.Calendar; import
  • 【Java范型六】范型与枚举 bit1129 java
    首先，枚举类型的定义不能带有类型参数，所以，不能把枚举类型定义为范型枚举类，例如下面的枚举类定义是有编译错的   public enum EnumGenerics<T> { //编译错，提示枚举不能带有范型参数 OK, ERROR; public <T> T get(T type) { return null;
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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他