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线性代数核心思想及应用——线性空间篇（知识点总结及例题详解）

线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta$ 线性无关

$\beta$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示，则表示法唯一的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关

设 $A\in F^{m\times n}$ ，则对施行初等行变换不改变的列向量的线性关系（求极大线性无关组）

向量组的等价

称 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right )$ 等价，若 $\left ( 1 \right )$ 与 $\left ( 2 \right )$ 相互线性表示

等价具有对称、传递、反身性

替换定理：设向量组 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 线性无关，并且可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示，则 $\left ( i \right )r\leq s$ $\left ( ii \right )$ 用 $\left ( 1 \right )$ 去替换 $\left ( 2 \right )$ 中的r个向量，必要时重新排序得 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )$ 与 $\left (2 \right )$ 等价

逆否命题：设 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示且 $r\geq s$ ，则 $\left ( 1 \right )$ 线性相关

替换定理证明：

当 r = 1 时， $\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}$

不妨设 $k_{1}\neq 0$ ， $\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}$

$\left ( i \right )1\leq s$

$\left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

令 r-1 时定理得证

即有 $\left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )$ 可由 $\left ( 4 \right )$ 线性表示得 $\alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)$

故 $s\neq r-1\Rightarrow r\leq s$

不妨设 $k_{r}\neq 0$ ， $\beta _{r}$ 可由 $\alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right )$ 线性表示

故 $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示，则前者必线性相关

2 : n+1个n元向量组必线性相关

极大线性无关组

向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的部分向量组 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 称为一个极大线性无关组，如果 $\left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性无关 $\left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的任一向量都可由 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩

等价的向量组必等秩；反之不真

设两个向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 和 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 的秩都为r，并且 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 线性表示，则这两个向量组等价

如何求极大线性无关组

例：在 $F^{4}$ 中，求向量组 $\alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right )$ 的一个极大线性无关组，并用之表示其余向量

解：以 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ 为列作矩阵

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}$

对A施行初等行变换

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

于是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 就是所求的一个极大线性无关组，并且 $\alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}$

基、维数与坐标

数域上的线性空间中向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 称为的一个基，如果

$\left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性无关

$\left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

注：线性空间的一个基实际上就是中全体向量的一个极大线性无关组

基向量是有序的

基不唯一，基所含向量个数唯一

扩充基定理： $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一组线性无关的向量， $\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基，

则 $\left ( 1 \right )$ 可扩充为 $V^{F}$ 的一个基 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )$

设是数域上的n维线性空间， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 为的一个基，对 $\forall \alpha \in V$ 有 $\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n}$ ，称 $\left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )$ 为 $\alpha$ 在 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 下的坐标，其中 $k_{i}\in F,\; i= 1,...,n$

求向量关于基的坐标：设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $F^{n}$ 的一个基， $\beta \in F^{n}$ ， $A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right )$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 关于 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 的坐标

基变换与坐标变换

设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 是n维线性空间的两个基，并且有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.$

形式上记为 $\left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A$

则称为由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 到基 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 的过渡矩阵

基到基的过渡矩阵可逆

过渡矩阵求法 $A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )$ ，即为所求

子空间及其交与和

子空间

设是数域上线性空间的一个非空子集，如果对于的加法与数乘也构成上的线性空间，则称为的一个子空间

$V,\left \{ 0 \right \}$ 称为的平凡子空间，其余子空间称为真子空间

是上的一个线性空间， $\varnothing \neq W\subseteq V$ ，

是的子空间 $\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W$

定理 $W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}$

生成子空间

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}$

每个 $\alpha _{i}$ 称为生成元

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 是 $V^{F}$ 中包含 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的最小的子空间（线性包）

$dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 为 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的秩 $\mid \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 的一个极大线性无关组是 $L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 的一个基

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 等价

子空间的交与和

子空间的交：设 $V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}$ $V^{F}$ 的子空间 $\Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}$

证明： $\Rightarrow :$ 若 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间，对 $\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}$ ，有 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}$ ，

                 则 $\exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha$

                 $\alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}$ 则 $V_{2}\subseteq V_{1}$

            $\Leftarrow :$ 若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ,对 $\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}$

                 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}$

                 所以 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间

子空间的和： $V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

证明： $\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}$

$k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}$

性质1： $V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

则 $V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

性质2： $V^{F}$ 中包含 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的最小子空间是 $V_{1}+V_{2}$

子空间的和是子空间，但子空间的并未必是子空间。

XOY平面——二维线性空间， $V_{1}$ 是x轴， $V_{2}$ 是y轴

子空间的和——XOY平面子空间的并——x轴与y轴两条直线

子空间的维数公式： $dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )$

证明： $V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$

           $V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )$

           $V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )$

令 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0$

$V_{1}\ni$ $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )$ $\in V_{2}$

记 $p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}$ 为

$P\in V_{1}\cap V_{2}$     $P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}$

$p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0$

得 $p_{1},...,p_{s}$ 全为0，代入 $\left ( \ast \right )$ $k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t}$ 全为0

子空间的直和： $W= V_{1}+V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的和，若的每一个向量的表示唯一，则称为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的直和，记为 $V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}$

定理：（如下图）

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价 $V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价

零向量表示唯一零向量表示唯一

$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$ $V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$

$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$ $dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$

$V_{1}+V_{2}$ 是直和 $V_{1}+...+V_{s}$ 是直和

余子空间： $V= V_{1}\oplus V_{2}$ 称 $V_{2}$ 为 $V_{1}$ 的余子空间

余子空间存在但不唯一

线性空间的同构

$V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow$ $\left ( 1 \right )\sigma$ 是 $V^{F}\rightarrow W^{F}$ 的双射

$\left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )$

性质：

$\sigma \left ( 0 \right )= 0$

$\sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0$

$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $V^{F}$ 的一个基 $\Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基

$\sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}$ 上任意两个n维线性空间都同构进一步：两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 维数相等

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在TikTok的多账号管理中，矩阵系统是一种高效的管理方式，能够帮助运营者合理分配资源、优化内容策略，提高整体账号的协同效应。矩阵系统主要涉及多个账号的内容规划、互动管理、数据分析等方面，适用于个人创作者、团队以及机构化运营。1.TikTok矩阵系统的核心概念矩阵系统指的是通过系统化的方式运营多个TikTok账号，使其在内容、用户互动和数据分析等方面形成协同效应。与单账号运营相比，矩阵系统具备更高
知识篇 | 低代码开发（Low-Code Development）是个什么东东？ db_murphy 低代码
一、低代码的起源与历史背景低代码开发的核心理念可以追溯到上世纪80年代的第四代编程语言（4GL）和快速应用开发工具（RAD），例如PowerBuilder和VisualBasic。这些工具通过图形化界面简化了开发流程，但受限于本地化部署和封闭生态。2000年后，随着云计算和SaaS（软件即服务）的兴起，低代码开发进入新阶段。典型代表包括：Salesforce的Force.com（2005年）：首个
LeetCode 热门100题-矩阵置零 Rverdoser 算法
在LeetCode的热门100题中，有一道题目是“矩阵置零”（MatrixZeroes），题目编号为135。该题要求给定一个mxn的矩阵，如果一个元素为0，则将其所在行和列中所有元素都设为0。你需要实现一个高效的算法来完成这个任务。解题思路为了解决这个问题，我们可以采用以下策略：标记法：遍历矩阵，对于每个为0的元素，我们标记其所在行和列的第一个元素（通常是左上角元素）。再次遍历矩阵，如果某个元素所
Leetcode 378-有序矩阵中第 K 小的元素 Helene1900 leetcode 矩阵算法
给你一个nxn矩阵matrix，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第k小的元素。请注意，它是排序后的第k小元素，而不是第k个不同的元素。你必须找到一个内存复杂度优于O(n2)的解决方案。示例1：输入：matrix=[[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]],k=8输出：13解释：矩阵中的元素为[1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第8小元素是13示例2：输
Python和Java的区别? weixin_34088583 java python
Python和Java都是很火的编程语言，对于想学习编程的人员来说，常常被这个问题所困扰：我是该学Python还是Java呢？想要解决这个问题，还需结合自身实际情况和两种语言的特点进行分析，以下是Python和Java的区别。1.Python比Java简单，学习成本低，开发效率高；2.Java运行效率高于Python，尤其是纯Python开发的程序，效率极低；3.Java相关资料多，尤其是中文资料
python和java的优缺点-java有哪些python没有的优点? weixin_37988176
Java和Python都是目前最火的后台语言。Java的使用时间更久，更成熟，Python语言更年轻，更便捷。两者各有各的优势：Python的优势：1.学起来简单，开发效率高，同样的功能用Java开发可能需要写200条代码，但是用Python只需要30~50条;2.在大数据挖掘方面有突出优势，是大数据分析首选的编程语言，Python可以让开发人员轻松表达概念，程序员维护和更新代码库更容易;3.Py
用easyx和 Visual Studio键盘交互（基础版） 0白露 C visual studio c语言
#include#include#includeintmain(){initgraph(800,800);//设置画板：宽，高setbkcolor(WHITE);//设置背景色cleardevice();//用背景色填充画板setfillcolor(BLUE);//设置填充色intx=400,y=400,r=25;//设置默认的圆的位置fillcircle(x,y,r);//画出默认圆的位置whi
【C++设计模式】第五篇：原型模式（Prototype） JuicyActiveGilbert C++设计模式原型模式 c++设计模式
注意：复现代码时，确保VS2022使用C++17/20标准以支持现代特性。克隆对象的效率革命1.模式定义与用途核心思想原型模式：通过复制现有对象（原型）来创建新对象，而非通过new构造。关键用途：1.减少初始化开销：适用于创建成本高的对象（如数据库连接）。2.动态配置对象：运行时通过克隆生成预设配置的实例。经典场景游戏开发：批量生成相同属性的敌人或道具。文档编辑：复制带格式的文本段落。2.模式结构
神经网络ＶＳ决策树 Persistence is gold 神经网络决策树人工智能
神经网络（NeuralNetworks）和决策树（DecisionTrees）是两种不同的机器学习算法，各自具有独特的优点和适用场景。以下是它们的详细比较：神经网络优点:强大的学习能力:神经网络，尤其是深度神经网络，能够自动学习数据中的复杂特征，可以处理高维和非线性的问题。适用性广泛:神经网络适用于分类、回归、图像处理、语音识别、自然语言处理等多种任务。多层结构:通过增加隐藏层，神经网络可以逐层提
学习c语言的第十天流川飞学习 c语言
今天学习的是一维数组和二维数组，我对二维数组的理解是：在进行使用时理解为矩阵，在进行储存时和一维数组一样按顺序依次存放，所以要注意的是，定义二维数组时不能缺少列数的定义，因为列数可以区分出哪些数组为一行。今日学习时长：2h
飞书多维表格+DeepSeek R1：打工人必备的AI神器，效率暴涨1000%！[特殊字符] sherlock__cc 人工智能飞书
导语当飞书多维表格遇上国产最强推理大模型DeepSeekR1，会擦出怎样的火花？本文手把手教你用「零代码」实现批量文案改写、论文精读、视频脚本生成。一、颠覆认知的三大核心优势1.批量处理的工业级效率单次处理1000+条数据，告别传统API逐条调用支持跨表格数据联动（如从CRM系统自动抓取客户需求）实时监控处理进度，失败任务自动重试2.零代码的极简交互无需Python环境配置直接输入自然语言指令（如
Web3 的未来：去中心化如何重塑互联网清晨反侦测指纹浏览器社交媒体 web3 去中心化区块链互联网 facebook 多账号运营
Web3的未来：去中心化如何重塑互联网在这个信息爆炸的时代，我们正站在一个新的技术革命的门槛上——Web3。Web3不仅仅是一个技术术语，它代表了一种全新的互联网理念，即去中心化。这种理念正在逐步改变我们对互联网的使用方式和理解，重塑着数字世界的面貌。1.Web3的定义与核心Web3，也被称为Web3.0，是指基于区块链技术的下一代互联网。它的核心在于去中心化，即不再依赖于中心化的服务器或单一的控
ChatGLM3-6B：技术架构、核心原理、微调操作与场景应用详解 zhangjiaofa DeepSeek R1&AI人工智能大模型 ChatGLM
ChatGLM3-6B：技术架构、核心原理、微调操作与场景应用详解引言ChatGLM3-6B是ChatGLM系列的最新开源模型，继承了前两代模型的优秀特性，如对话流畅、部署门槛低等，并在多个方面进行了显著提升。本文将深入探讨ChatGLM3-6B的技术架构、核心原理、微调操作以及场景应用，帮助读者全面了解这一强大的语言模型。技术架构基础模型ChatGLM3-6B的基础模型ChatGLM3-6B-B
Java阻塞队列深度解析：高并发场景下的安全卫士没什么技术 java 阻塞队列
一、阻塞队列的核心价值在电商秒杀系统中，瞬时涌入的10万请求如果直接冲击数据库，必然导致系统崩溃。阻塞队列如同一个智能缓冲带，通过流量削峰和异步解耦两大核心能力，成为高并发系统的核心组件。二、Java阻塞队列实现类对比队列实现类数据结构锁机制适用场景吞吐量ArrayBlockingQueue数组单锁ReentrantLock固定容量场景中LinkedBlockingQueue链表双锁分离高吞吐量生
微电网智慧平台：推动能源革命，助力智能高效运营 Acreldingshan 能源云计算
方案背景能源是经济社会发展的基石。当前，全球能源格局深刻调整，新一轮能源革命蓬勃兴起，发展清洁能源、推动能源转型已成为全球共识。我国明确提出“双碳”目标，构建以新能源为主体的新型电力系统势在必行。微电网作为连接分布式能源与主电网的桥梁，是构建新型电力系统的重要组成部分。然而，传统微电网管理模式粗放，难以满足新型电力系统下安全、高效、灵活的运行需求。微电网智慧管理平台应运而生，为驱动能源变革、实现高
项目中枚举与注解的结合使用飞翔的马甲 java enum annotation
前言：版本兼容，一直是迭代开发头疼的事，最近新版本加上了支持新题型，如果新创建一份问卷包含了新题型，那旧版本客户端就不支持，如果新创建的问卷不包含新题型，那么新旧客户端都支持。这里面我们通过给问卷类型枚举增加自定义注解的方式完成。顺便巩固下枚举与注解。一、枚举 1.在创建枚举类的时候，该类已继承java.lang.Enum类，所以自定义枚举类无法继承别的类，但可以实现接口。
【Scala十七】Scala核心十一：下划线_的用法 bit1129 scala
下划线_在Scala中广泛应用，_的基本含义是作为占位符使用。_在使用时是出问题非常多的地方，本文将不断完善_的使用场景以及所表达的含义 1. 在高阶函数中使用 scala> val list = List(-3,8,7,9) list: List[Int] = List(-3, 8, 7, 9) scala> list.filter(_ > 7) r
web缓存基础：术语、http报头和缓存策略 dalan_123 Web
对于很多人来说，去访问某一个站点，若是该站点能够提供智能化的内容缓存来提高用户体验，那么最终该站点的访问者将络绎不绝。缓存或者对之前的请求临时存储，是http协议实现中最核心的内容分发策略之一。分发路径中的组件均可以缓存内容来加速后续的请求，这是受控于对该内容所声明的缓存策略。接下来将讨web内容缓存策略的基本概念，具体包括如如何选择缓存策略以保证互联网范围内的缓存能够正确处理的您的内容，并谈论下
crontab 问题周凡杨 linux crontab unix
一： 0481-079 Reached a symbol that is not expected. 背景： */5 * * * * /usr/IBMIHS/rsync.sh
让tomcat支持2级域名共享session g21121 session
tomcat默认情况下是不支持2级域名共享session的，所有有些情况下登陆后从主域名跳转到子域名会发生链接session不相同的情况，但是只需修改几处配置就可以了。打开tomcat下conf下context.xml文件找到Context标签,修改为如下内容如果你的域名是www.test.com <Context sessionCookiePath="/path&q
web报表工具FineReport常用函数的用法总结（数学和三角函数）老A不折腾 Web finereport 总结
ABS ABS(number):返回指定数字的绝对值。绝对值是指没有正负符号的数值。 Number:需要求出绝对值的任意实数。示例: ABS(-1.5)等于1.5。 ABS(0)等于0。 ABS(2.5)等于2.5。 ACOS ACOS(number):返回指定数值的反余弦值。反余弦值为一个角度，返回角度以弧度形式表示。 Number:需要返回角
linux 启动java进程 sh文件墙头上一根草 linux shell jar
#!/bin/bash #初始化服务器的进程PId变量 user_pid=0; robot_pid=0; loadlort_pid=0; gateway_pid=0; ######### #检查相关服务器是否启动成功 #说明： #使用JDK自带的JPS命令及grep命令组合，准确查找pid #jps 加 l 参数，表示显示java的完整包路径 #使用awk，分割出pid
我的spring学习笔记5-如何使用ApplicationContext替换BeanFactory aijuans Spring 3 系列
如何使用ApplicationContext替换BeanFactory？ package onlyfun.caterpillar.device; import org.springframework.beans.factory.BeanFactory; import org.springframework.beans.factory.xml.XmlBeanFactory; import
Linux 内存使用方法详细解析 annan211 linux 内存 Linux内存解析
来源 http://blog.jobbole.com/45748/ 我是一名程序员，那么我在这里以一个程序员的角度来讲解Linux内存的使用。一提到内存管理，我们头脑中闪出的两个概念，就是虚拟内存，与物理内存。这两个概念主要来自于linux内核的支持。 Linux在内存管理上份为两级，一级是线性区，类似于00c73000-00c88000，对应于虚拟内存，它实际上不占用
数据库的单表查询常用命令及使用方法(-) 百合不是茶 oracle 函数单表查询
创建数据库; --建表 create table bloguser(username varchar2(20),userage number(10),usersex char(2)); 创建bloguser表,里面有三个字段 &nbs
多线程基础知识 bijian1013 java 多线程 thread java多线程
一．进程和线程进程就是一个在内存中独立运行的程序，有自己的地址空间。如正在运行的写字板程序就是一个进程。 “多任务”：指操作系统能同时运行多个进程（程序）。如WINDOWS系统可以同时运行写字板程序、画图程序、WORD、Eclipse等。线程：是进程内部单一的一个顺序控制流。线程和进程 a. 每个进程都有独立的
fastjson简单使用实例 bijian1013 fastjson
一.简介阿里巴巴fastjson是一个Java语言编写的高性能功能完善的JSON库。它采用一种“假定有序快速匹配”的算法，把JSON Parse的性能提升到极致，是目前Java语言中最快的JSON库；包括“序列化”和“反序列化”两部分，它具备如下特征：
【RPC框架Burlap】Spring集成Burlap bit1129 spring
Burlap和Hessian同属于codehaus的RPC调用框架，但是Burlap已经几年不更新，所以Spring在4.0里已经将Burlap的支持置为Deprecated,所以在选择RPC框架时，不应该考虑Burlap了。这篇文章还是记录下Burlap的用法吧，主要是复制粘贴了Hessian与Spring集成一文，【RPC框架Hessian四】Hessian与Spring集成
【Mahout一】基于Mahout 命令参数含义 bit1129 Mahout
1. mahout seqdirectory $ mahout seqdirectory --input (-i) input Path to job input directory(原始文本文件). --output (-o) output The directory pathna
linux使用flock文件锁解决脚本重复执行问题 ronin47 linux lock　重复执行
linux的crontab命令，可以定时执行操作，最小周期是每分钟执行一次。关于crontab实现每秒执行可参考我之前的文章《linux crontab 实现每秒执行》现在有个问题，如果设定了任务每分钟执行一次，但有可能一分钟内任务并没有执行完成，这时系统会再执行任务。导致两个相同的任务在执行。例如： <? // test .php
java-74-数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 bylijinnan java
public class OcuppyMoreThanHalf { /** * Q74 数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 * two solutions: * 1.O(n) * see <beauty of coding>--每次删除两个不同的数字，不改变数组的特性 * 2.O(nlogn) * 排序。中间
linux 系统相关命令 candiio linux
系统参数 cat /proc/cpuinfo cpu相关参数 cat /proc/meminfo 内存相关参数 cat /proc/loadavg 负载情况性能参数 1）top M：按内存使用排序 P：按CPU占用排序 1：显示各CPU的使用情况 k：kill进程 o：更多排序规则回车：刷新数据 2）ulimit ulimit -a：显示本用户的系统限制参
[经营与资产]保持独立性和稳定性对于软件开发的重要意义 comsci 软件开发
一个软件的架构从诞生到成熟，中间要经过很多次的修正和改造如果在这个过程中，外界的其它行业的资本不断的介入这种软件架构的升级过程中那么软件开发者原有的设计思想和开发路线
在CentOS5.5上编译OpenJDK6 Cwind linux OpenJDK
几番周折终于在自己的CentOS5.5上编译成功了OpenJDK6，将编译过程和遇到的问题作一简要记录，备查。 0. OpenJDK介绍 OpenJDK是Sun（现Oracle）公司发布的基于GPL许可的Java平台的实现。其优点： 1、它的核心代码与同时期Sun（-> Oracle）的产品版基本上是一样的，血统纯正，不用担心性能问题，也基本上没什么兼容性问题；（代码上最主要的差异是
java乱码问题 dashuaifu java乱码问题 js中文乱码
swfupload上传文件参数值为中文传递到后台接收中文乱码在js中用setPostParams（{"tag" : encodeURI( document.getElementByIdx_x("filetag").value，"utf-8")}）; 然后在servlet中String t
cygwin很多命令显示command not found的解决办法 dcj3sjt126com cygwin
cygwin很多命令显示command not found的解决办法修改cygwin.BAT文件如下 @echo off D: set CYGWIN=tty notitle glob set PATH=%PATH%;d:\cygwin\bin;d:\cygwin\sbin;d:\cygwin\usr\bin;d:\cygwin\usr\sbin;d:\cygwin\us
[介绍]从 Yii 1.1 升级 dcj3sjt126com PHP yii2
2.0 版框架是完全重写的，在 1.1 和 2.0 两个版本之间存在相当多差异。因此从 1.1 版升级并不像小版本间的跨越那么简单，通过本指南你将会了解两个版本间主要的不同之处。如果你之前没有用过 Yii 1.1，可以跳过本章，直接从"入门篇"开始读起。请注意，Yii 2.0 引入了很多本章并没有涉及到的新功能。强烈建议你通读整部权威指南来了解所有新特性。这样有可能会发
Linux SSH免登录配置总结 eksliang ssh-keygen Linux SSH免登录认证 Linux SSH互信
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手势滑动销毁Activity gundumw100 android
老是效仿ios，做android的真悲催！有需求：需要手势滑动销毁一个Activity 怎么办尼？自己写？不用~，网上先问一下百度。结果： http://blog.csdn.net/xiaanming/article/details/20934541 首先将你需要的Activity继承SwipeBackActivity，它会在你的布局根目录新增一层SwipeBackLay
JavaScript变换表格边框颜色 ini JavaScript html Web html5 css
效果查看：http://hovertree.com/texiao/js/2.htm代码如下，保存到HTML文件也可以查看效果： <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title>表格边框变换颜色代码-何问起</title> </head> <body&
Kafka Rest : Confluent kane_xie kafka REST confluent
最近拿到一个kafka rest的需求，但kafka暂时还没有提供rest api（应该是有在开发中，毕竟rest这么火），上网搜了一下，找到一个Confluent Platform，本文简单介绍一下安装。这里插一句，给大家推荐一个九尾搜索，原名叫谷粉SOSO，不想fanqiang谷歌的可以用这个。以前在外企用谷歌用习惯了，出来之后用度娘搜技术问题，那匹配度简直感人。环境声明：Ubu
Calender不是单例 men4661273 单例 Calender
在我们使用Calender的时候，使用过Calendar.getInstance()来获取一个日期类的对象，这种方式跟单例的获取方式一样，那么它到底是不是单例呢，如果是单例的话，一个对象修改内容之后，另外一个线程中的数据不久乱套了吗？从试验以及源码中可以得出，Calendar不是单例。测试： Calendar c1 =
线程内存和主内存之间联系 qifeifei java thread
1， java多线程共享主内存中变量的时候，一共会经过几个阶段， lock:将主内存中的变量锁定，为一个线程所独占。 unclock:将lock加的锁定解除，此时其它的线程可以有机会访问此变量。 read:将主内存中的变量值读到工作内存当中。 load:将read读取的值保存到工作内存中的变量副本中。
schedule和scheduleAtFixedRate tangqi609567707 java timer schedule
原文地址：http://blog.csdn.net/weidan1121/article/details/527307 import java.util.Timer;import java.util.TimerTask;import java.util.Date; /** * @author vincent */public class TimerTest {
erlang 部署 wudixiaotie erlang
1.如果在启动节点的时候报这个错： {"init terminating in do_boot",{'cannot load',elf_format,get_files}} 则需要在reltool.config中加入 {app, hipe, [{incl_cond, exclude}]}, 2.当generate时，遇到： ERROR

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价	$V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价
零向量表示唯一	零向量表示唯一
$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$	$V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$
$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$	$dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$
$V_{1}+V_{2}$ 是直和	$V_{1}+...+V_{s}$ 是直和