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线性代数核心思想及应用——线性空间篇（知识点总结及例题详解）

线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta$ 线性无关

$\beta$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示，则表示法唯一的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关

设 $A\in F^{m\times n}$ ，则对施行初等行变换不改变的列向量的线性关系（求极大线性无关组）

向量组的等价

称 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right )$ 等价，若 $\left ( 1 \right )$ 与 $\left ( 2 \right )$ 相互线性表示

等价具有对称、传递、反身性

替换定理：设向量组 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 线性无关，并且可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示，则 $\left ( i \right )r\leq s$ $\left ( ii \right )$ 用 $\left ( 1 \right )$ 去替换 $\left ( 2 \right )$ 中的r个向量，必要时重新排序得 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )$ 与 $\left (2 \right )$ 等价

逆否命题：设 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示且 $r\geq s$ ，则 $\left ( 1 \right )$ 线性相关

替换定理证明：

当 r = 1 时， $\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}$

不妨设 $k_{1}\neq 0$ ， $\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}$

$\left ( i \right )1\leq s$

$\left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

令 r-1 时定理得证

即有 $\left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )$ 可由 $\left ( 4 \right )$ 线性表示得 $\alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)$

故 $s\neq r-1\Rightarrow r\leq s$

不妨设 $k_{r}\neq 0$ ， $\beta _{r}$ 可由 $\alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right )$ 线性表示

故 $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示，则前者必线性相关

2 : n+1个n元向量组必线性相关

极大线性无关组

向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的部分向量组 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 称为一个极大线性无关组，如果 $\left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性无关 $\left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的任一向量都可由 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩

等价的向量组必等秩；反之不真

设两个向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 和 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 的秩都为r，并且 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 线性表示，则这两个向量组等价

如何求极大线性无关组

例：在 $F^{4}$ 中，求向量组 $\alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right )$ 的一个极大线性无关组，并用之表示其余向量

解：以 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ 为列作矩阵

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}$

对A施行初等行变换

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

于是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 就是所求的一个极大线性无关组，并且 $\alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}$

基、维数与坐标

数域上的线性空间中向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 称为的一个基，如果

$\left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性无关

$\left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

注：线性空间的一个基实际上就是中全体向量的一个极大线性无关组

基向量是有序的

基不唯一，基所含向量个数唯一

扩充基定理： $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一组线性无关的向量， $\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基，

则 $\left ( 1 \right )$ 可扩充为 $V^{F}$ 的一个基 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )$

设是数域上的n维线性空间， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 为的一个基，对 $\forall \alpha \in V$ 有 $\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n}$ ，称 $\left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )$ 为 $\alpha$ 在 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 下的坐标，其中 $k_{i}\in F,\; i= 1,...,n$

求向量关于基的坐标：设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $F^{n}$ 的一个基， $\beta \in F^{n}$ ， $A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right )$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 关于 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 的坐标

基变换与坐标变换

设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 是n维线性空间的两个基，并且有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.$

形式上记为 $\left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A$

则称为由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 到基 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 的过渡矩阵

基到基的过渡矩阵可逆

过渡矩阵求法 $A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )$ ，即为所求

子空间及其交与和

子空间

设是数域上线性空间的一个非空子集，如果对于的加法与数乘也构成上的线性空间，则称为的一个子空间

$V,\left \{ 0 \right \}$ 称为的平凡子空间，其余子空间称为真子空间

是上的一个线性空间， $\varnothing \neq W\subseteq V$ ，

是的子空间 $\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W$

定理 $W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}$

生成子空间

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}$

每个 $\alpha _{i}$ 称为生成元

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 是 $V^{F}$ 中包含 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的最小的子空间（线性包）

$dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 为 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的秩 $\mid \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 的一个极大线性无关组是 $L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 的一个基

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 等价

子空间的交与和

子空间的交：设 $V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}$ $V^{F}$ 的子空间 $\Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}$

证明： $\Rightarrow :$ 若 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间，对 $\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}$ ，有 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}$ ，

                 则 $\exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha$

                 $\alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}$ 则 $V_{2}\subseteq V_{1}$

            $\Leftarrow :$ 若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ,对 $\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}$

                 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}$

                 所以 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间

子空间的和： $V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

证明： $\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}$

$k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}$

性质1： $V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

则 $V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

性质2： $V^{F}$ 中包含 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的最小子空间是 $V_{1}+V_{2}$

子空间的和是子空间，但子空间的并未必是子空间。

XOY平面——二维线性空间， $V_{1}$ 是x轴， $V_{2}$ 是y轴

子空间的和——XOY平面子空间的并——x轴与y轴两条直线

子空间的维数公式： $dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )$

证明： $V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$

           $V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )$

           $V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )$

令 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0$

$V_{1}\ni$ $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )$ $\in V_{2}$

记 $p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}$ 为

$P\in V_{1}\cap V_{2}$     $P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}$

$p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0$

得 $p_{1},...,p_{s}$ 全为0，代入 $\left ( \ast \right )$ $k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t}$ 全为0

子空间的直和： $W= V_{1}+V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的和，若的每一个向量的表示唯一，则称为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的直和，记为 $V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}$

定理：（如下图）

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价 $V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价

零向量表示唯一零向量表示唯一

$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$ $V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$

$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$ $dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$

$V_{1}+V_{2}$ 是直和 $V_{1}+...+V_{s}$ 是直和

余子空间： $V= V_{1}\oplus V_{2}$ 称 $V_{2}$ 为 $V_{1}$ 的余子空间

余子空间存在但不唯一

线性空间的同构

$V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow$ $\left ( 1 \right )\sigma$ 是 $V^{F}\rightarrow W^{F}$ 的双射

$\left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )$

性质：

$\sigma \left ( 0 \right )= 0$

$\sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0$

$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $V^{F}$ 的一个基 $\Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基

$\sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}$ 上任意两个n维线性空间都同构进一步：两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 维数相等

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每个人的心中都有一株妙莲花。这是禅家语。禅家总是站在理性的高处，以超越红尘的洒脱来参悟人生和自省生命。那么，凡俗中人呢？生如夏花之绚丽，死如秋叶之静美。这是诗人语。多少人在赞美：姑娘好像花一样！又有多少人在咏歌：花儿与少年。的确，人生如花。花一样的生命，理应自诞生之日起，就一瓣一瓣地绽放她的美丽与清香，使这个原本死寂荒凉的世界五彩缤纷，充满快乐。事实上，人类自诞生起，就一代一代地做着这方面的努力，
红手套节马小媛为中国城市环卫者公益发声：今天我手红疏狂君
#红手套节#公益活动，线头公益以及同多方资源的共同努力我们邀请到了线头公益大使马小媛马小媛，1993年5月3日出生于江苏省南京市，中国内地新生代女演员。2015年马小媛参演网剧《余罪》，饰演警校校花安嘉璐的闺蜜。2016年马小媛主演系列电影《丽人保镖》中女一号林欢馨，正式出道。此后，马小媛陆续接演了电视剧《警花与警犬2》，在网剧《你美丽李美丽》中担任女主角李美丽。拂晓，当你还在睡梦中时，这座城跟你
推荐算法_隐语义-梯度下降 _feivirus_ 算法机器学习和数学推荐算法机器学习隐语义
importnumpyasnp1.模型实现"""inputrate_matrix:M行N列的评分矩阵，值为P*Q.P:初始化用户特征矩阵M*K.Q:初始化物品特征矩阵K*N.latent_feature_cnt:隐特征的向量个数max_iteration:最大迭代次数alpha:步长lamda:正则化系数output分解之后的P和Q"""defLFM_grad_desc(rate_matrix,l
Java面试题精选：消息队列(二) 芒果不是芒 Java面试题精选 java kafka
一、Kafka的特性1.消息持久化：消息存储在磁盘，所以消息不会丢失2.高吞吐量：可以轻松实现单机百万级别的并发3.扩展性：扩展性强，还是动态扩展4.多客户端支持：支持多种语言（Java、C、C++、GO、）5.KafkaStreams（一个天生的流处理）:在双十一或者销售大屏就会用到这种流处理。使用KafkaStreams可以快速的把销售额统计出来6.安全机制：Kafka进行生产或者消费的时候会
张芝华49天共修 - 草稿李娟AINI
祈禱、靜心、源代碼編程、觀想發願四根支柱，運用靈性能量的助力，讓夢想和渴望在最大向度中輕鬆實現。共修群指定书籍:1.能断金刚麦克格西2.新世界：灵性的觉醒埃克哈特·托尔3.爱是一切的答案芭芭拉迪安吉莉思4.完美的爱,不完美的关系约翰•威尔伍德5.爱的业力法则麦克格西6.漫画《金刚经》蔡志忠7.蔡志忠典藏国学漫画系列(套装共6册)作业:全部在共修群里完成，并请保存好自己的作业。l一周三次共修觉察作业
京券东券优惠券领取网站-点击进入高省爱氧惠
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5分钟说透AppStore审核原理，让你拥有上架新思路！ Q仔本人噢
在AppStore上架是越来越难了!相信非常多公司的技术人员都为此困扰，然而外包团队水平又层次不齐，容易遇坑，实在是内忧外患。是什么原因导致审核机制频繁调整？又是什么原因使得审核变得越发严格？那么接下来听小Q分解，马上给各位带来解答!首先看一下近一年的上下架的情况：近一年上架情况近一年下架情况通过数据我们发现越是马甲包产量权重高的分类里被下架的app数量越多，苹果此举可谓是上有政策，下有对策。通过
MongoDB知识概括 GeorgeLin98 持久层 mongodb
MongoDB知识概括MongoDB相关概念单机部署基本常用命令索引-IndexSpirngDataMongoDB集成副本集分片集群安全认证MongoDB相关概念业务应用场景：传统的关系型数据库（如MySQL），在数据操作的“三高”需求以及应对Web2.0的网站需求面前，显得力不从心。解释：“三高”需求：①Highperformance-对数据库高并发读写的需求。②HugeStorage-对海量数
高中抓住这两招，帮你实现从学渣到学霸的逆袭以读攻独
富兰克林曾说：“宝贝放错了地方便是废物。”一句话戳中了“位置”的重要性。大多数人，最初对位置的明显感受，似乎就来源于上高中时的座位：成绩好的，坐前排，那里安静，学习氛围浓，受关注度高；成绩差的坐后面，嘈杂，充斥着汗味、食品味、香水味，也经常被点名。所以，位置不仅代表了分数，也给你打上了“学渣”或“学霸”的标签。在《逆袭》这本书中，就真实地讲述一个参加了2014年高考的高中生，用三年的奋斗史，从班级
手机上有什么兼职可以做？网上兼职一单一结手机就可以做？优惠券高省
建议上班族和全职宝妈把空闲时间拿出来一点做做副业，什么也不耽搁还能多一笔收入！推荐大家一定要试一试！！！只要有手机就可以做，下面小编就为大家推荐用手机就可以做的三类网上兼职工作。一，高省APP高省APP佣金更高，模式更好，终端用户不流失。【高省】是一个自用省钱佣金高，分享推广赚钱多的平台，百度有几百万篇报道，也期待你的加入。万方导师高省邀请码005500，注册送双皇冠会员，送万元推广大礼包，教你如
黄景瑜工作人员怒怼营销号！肖战事件就是他的前车之鉴板凳吃瓜小分队
无论社会怎样浮躁，我们自己也不可以浮躁。战胜浮躁的关键是明白自己真正的需要，保持一颗平常心，不要盲目攀比，不要羡慕别人，更不要唯利是图。一辈子很短，我们不能总是望着别人的精彩，羡慕着别人的人生，而忘记了经营自己生活，要知道，通过努力，你也能成为让人仰望的明星。如今，随着娱乐产业越来越成熟，每年的新星也是扎堆冒出。在我看来，与前几年不同的是，如今的新生代质量明显好过从前。“更专业了，更有礼貌了”也是
2019年8月6日星期二晴李佳晨宝宝
今天我写完作业以后，我玩儿了一会儿我的拼装玩具，拼装玩具是我的世界的游戏里面的乐高，我拿出乐高把它拼成上次的迷宫，然后又给他升级了一下，我拆出上面一些部分的零件加大了游戏的难度，然后我又做了一个小牛圈。这个小牛圈里面住的是猪和牛，还有羊，给那里摆了一块草地，他们想吃东西直接在草地上吃，然后我把牛圈建了一个遮阳伞，防止天气太热把它们晒死。然后这样我的小牛就万无一失了，我再看看加大难度后的迷宫，实在是
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matlab delsat = setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)))；语句含义黄卷青灯77 matlab 开发语言 setdiff
这行MATLAB代码用于计算在范围1:69中不包含在Eph矩阵第30行的唯一值集合中的所有元素。具体解释如下：delsat=setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)));解释Eph(30,:)Eph(30,:)提取矩阵Eph的第30行的所有列元素。这是一个行向量，包含了第30行的所有值。unique(Eph(30,:))unique函数返回Eph(30,:)中的唯一元素。这意味着
天猫返利网哪个最好?天猫返利网站有哪些? 优惠券高省
关于哪个返利网站好用，今天汐儿给大家介绍以下十大网站，可以作为参考：1、高省网【高省APP】（邀请码：668666）全网佣金最高。手机应用商店搜索“高省”即可免费下载安装，填写高省邀请码：668666，直升2皇冠，享更高佣金及分红奖励。高省APP全网佣金最高，手机应用商店搜索“高省”即可下载，高省邀请码：668666，此码注册，直升2皇冠，佣金更高！送万元推广大礼包，教你如何1年做到百万团队。其实
【树一线性代数】005入门 Owlet_woodBird 算法
Index本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376分析实现总结本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:t
项目中枚举与注解的结合使用飞翔的马甲 java enum annotation
前言：版本兼容，一直是迭代开发头疼的事，最近新版本加上了支持新题型，如果新创建一份问卷包含了新题型，那旧版本客户端就不支持，如果新创建的问卷不包含新题型，那么新旧客户端都支持。这里面我们通过给问卷类型枚举增加自定义注解的方式完成。顺便巩固下枚举与注解。一、枚举 1.在创建枚举类的时候，该类已继承java.lang.Enum类，所以自定义枚举类无法继承别的类，但可以实现接口。
【Scala十七】Scala核心十一：下划线_的用法 bit1129 scala
下划线_在Scala中广泛应用，_的基本含义是作为占位符使用。_在使用时是出问题非常多的地方，本文将不断完善_的使用场景以及所表达的含义 1. 在高阶函数中使用 scala> val list = List(-3,8,7,9) list: List[Int] = List(-3, 8, 7, 9) scala> list.filter(_ > 7) r
web缓存基础：术语、http报头和缓存策略 dalan_123 Web
对于很多人来说，去访问某一个站点，若是该站点能够提供智能化的内容缓存来提高用户体验，那么最终该站点的访问者将络绎不绝。缓存或者对之前的请求临时存储，是http协议实现中最核心的内容分发策略之一。分发路径中的组件均可以缓存内容来加速后续的请求，这是受控于对该内容所声明的缓存策略。接下来将讨web内容缓存策略的基本概念，具体包括如如何选择缓存策略以保证互联网范围内的缓存能够正确处理的您的内容，并谈论下
crontab 问题周凡杨 linux crontab unix
一： 0481-079 Reached a symbol that is not expected. 背景： */5 * * * * /usr/IBMIHS/rsync.sh
让tomcat支持2级域名共享session g21121 session
tomcat默认情况下是不支持2级域名共享session的，所有有些情况下登陆后从主域名跳转到子域名会发生链接session不相同的情况，但是只需修改几处配置就可以了。打开tomcat下conf下context.xml文件找到Context标签,修改为如下内容如果你的域名是www.test.com <Context sessionCookiePath="/path&q
web报表工具FineReport常用函数的用法总结（数学和三角函数）老A不折腾 Web finereport 总结
ABS ABS(number):返回指定数字的绝对值。绝对值是指没有正负符号的数值。 Number:需要求出绝对值的任意实数。示例: ABS(-1.5)等于1.5。 ABS(0)等于0。 ABS(2.5)等于2.5。 ACOS ACOS(number):返回指定数值的反余弦值。反余弦值为一个角度，返回角度以弧度形式表示。 Number:需要返回角
linux 启动java进程 sh文件墙头上一根草 linux shell jar
#!/bin/bash #初始化服务器的进程PId变量 user_pid=0; robot_pid=0; loadlort_pid=0; gateway_pid=0; ######### #检查相关服务器是否启动成功 #说明： #使用JDK自带的JPS命令及grep命令组合，准确查找pid #jps 加 l 参数，表示显示java的完整包路径 #使用awk，分割出pid
我的spring学习笔记5-如何使用ApplicationContext替换BeanFactory aijuans Spring 3 系列
如何使用ApplicationContext替换BeanFactory？ package onlyfun.caterpillar.device; import org.springframework.beans.factory.BeanFactory; import org.springframework.beans.factory.xml.XmlBeanFactory; import
Linux 内存使用方法详细解析 annan211 linux 内存 Linux内存解析
来源 http://blog.jobbole.com/45748/ 我是一名程序员，那么我在这里以一个程序员的角度来讲解Linux内存的使用。一提到内存管理，我们头脑中闪出的两个概念，就是虚拟内存，与物理内存。这两个概念主要来自于linux内核的支持。 Linux在内存管理上份为两级，一级是线性区，类似于00c73000-00c88000，对应于虚拟内存，它实际上不占用
数据库的单表查询常用命令及使用方法(-) 百合不是茶 oracle 函数单表查询
创建数据库; --建表 create table bloguser(username varchar2(20),userage number(10),usersex char(2)); 创建bloguser表,里面有三个字段 &nbs
多线程基础知识 bijian1013 java 多线程 thread java多线程
一．进程和线程进程就是一个在内存中独立运行的程序，有自己的地址空间。如正在运行的写字板程序就是一个进程。 “多任务”：指操作系统能同时运行多个进程（程序）。如WINDOWS系统可以同时运行写字板程序、画图程序、WORD、Eclipse等。线程：是进程内部单一的一个顺序控制流。线程和进程 a. 每个进程都有独立的
fastjson简单使用实例 bijian1013 fastjson
一.简介阿里巴巴fastjson是一个Java语言编写的高性能功能完善的JSON库。它采用一种“假定有序快速匹配”的算法，把JSON Parse的性能提升到极致，是目前Java语言中最快的JSON库；包括“序列化”和“反序列化”两部分，它具备如下特征：
【RPC框架Burlap】Spring集成Burlap bit1129 spring
Burlap和Hessian同属于codehaus的RPC调用框架，但是Burlap已经几年不更新，所以Spring在4.0里已经将Burlap的支持置为Deprecated,所以在选择RPC框架时，不应该考虑Burlap了。这篇文章还是记录下Burlap的用法吧，主要是复制粘贴了Hessian与Spring集成一文，【RPC框架Hessian四】Hessian与Spring集成
【Mahout一】基于Mahout 命令参数含义 bit1129 Mahout
1. mahout seqdirectory $ mahout seqdirectory --input (-i) input Path to job input directory(原始文本文件). --output (-o) output The directory pathna
linux使用flock文件锁解决脚本重复执行问题 ronin47 linux lock　重复执行
linux的crontab命令，可以定时执行操作，最小周期是每分钟执行一次。关于crontab实现每秒执行可参考我之前的文章《linux crontab 实现每秒执行》现在有个问题，如果设定了任务每分钟执行一次，但有可能一分钟内任务并没有执行完成，这时系统会再执行任务。导致两个相同的任务在执行。例如： <? // test .php
java-74-数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 bylijinnan java
public class OcuppyMoreThanHalf { /** * Q74 数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 * two solutions: * 1.O(n) * see <beauty of coding>--每次删除两个不同的数字，不改变数组的特性 * 2.O(nlogn) * 排序。中间
linux 系统相关命令 candiio linux
系统参数 cat /proc/cpuinfo cpu相关参数 cat /proc/meminfo 内存相关参数 cat /proc/loadavg 负载情况性能参数 1）top M：按内存使用排序 P：按CPU占用排序 1：显示各CPU的使用情况 k：kill进程 o：更多排序规则回车：刷新数据 2）ulimit ulimit -a：显示本用户的系统限制参
[经营与资产]保持独立性和稳定性对于软件开发的重要意义 comsci 软件开发
一个软件的架构从诞生到成熟，中间要经过很多次的修正和改造如果在这个过程中，外界的其它行业的资本不断的介入这种软件架构的升级过程中那么软件开发者原有的设计思想和开发路线
在CentOS5.5上编译OpenJDK6 Cwind linux OpenJDK
几番周折终于在自己的CentOS5.5上编译成功了OpenJDK6，将编译过程和遇到的问题作一简要记录，备查。 0. OpenJDK介绍 OpenJDK是Sun（现Oracle）公司发布的基于GPL许可的Java平台的实现。其优点： 1、它的核心代码与同时期Sun（-> Oracle）的产品版基本上是一样的，血统纯正，不用担心性能问题，也基本上没什么兼容性问题；（代码上最主要的差异是
java乱码问题 dashuaifu java乱码问题 js中文乱码
swfupload上传文件参数值为中文传递到后台接收中文乱码在js中用setPostParams（{"tag" : encodeURI( document.getElementByIdx_x("filetag").value，"utf-8")}）; 然后在servlet中String t
cygwin很多命令显示command not found的解决办法 dcj3sjt126com cygwin
cygwin很多命令显示command not found的解决办法修改cygwin.BAT文件如下 @echo off D: set CYGWIN=tty notitle glob set PATH=%PATH%;d:\cygwin\bin;d:\cygwin\sbin;d:\cygwin\usr\bin;d:\cygwin\usr\sbin;d:\cygwin\us
[介绍]从 Yii 1.1 升级 dcj3sjt126com PHP yii2
2.0 版框架是完全重写的，在 1.1 和 2.0 两个版本之间存在相当多差异。因此从 1.1 版升级并不像小版本间的跨越那么简单，通过本指南你将会了解两个版本间主要的不同之处。如果你之前没有用过 Yii 1.1，可以跳过本章，直接从"入门篇"开始读起。请注意，Yii 2.0 引入了很多本章并没有涉及到的新功能。强烈建议你通读整部权威指南来了解所有新特性。这样有可能会发
Linux SSH免登录配置总结 eksliang ssh-keygen Linux SSH免登录认证 Linux SSH互信
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手势滑动销毁Activity gundumw100 android
老是效仿ios，做android的真悲催！有需求：需要手势滑动销毁一个Activity 怎么办尼？自己写？不用~，网上先问一下百度。结果： http://blog.csdn.net/xiaanming/article/details/20934541 首先将你需要的Activity继承SwipeBackActivity，它会在你的布局根目录新增一层SwipeBackLay
JavaScript变换表格边框颜色 ini JavaScript html Web html5 css
效果查看：http://hovertree.com/texiao/js/2.htm代码如下，保存到HTML文件也可以查看效果： <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title>表格边框变换颜色代码-何问起</title> </head> <body&
Kafka Rest : Confluent kane_xie kafka REST confluent
最近拿到一个kafka rest的需求，但kafka暂时还没有提供rest api（应该是有在开发中，毕竟rest这么火），上网搜了一下，找到一个Confluent Platform，本文简单介绍一下安装。这里插一句，给大家推荐一个九尾搜索，原名叫谷粉SOSO，不想fanqiang谷歌的可以用这个。以前在外企用谷歌用习惯了，出来之后用度娘搜技术问题，那匹配度简直感人。环境声明：Ubu
Calender不是单例 men4661273 单例 Calender
在我们使用Calender的时候，使用过Calendar.getInstance()来获取一个日期类的对象，这种方式跟单例的获取方式一样，那么它到底是不是单例呢，如果是单例的话，一个对象修改内容之后，另外一个线程中的数据不久乱套了吗？从试验以及源码中可以得出，Calendar不是单例。测试： Calendar c1 =
线程内存和主内存之间联系 qifeifei java thread
1， java多线程共享主内存中变量的时候，一共会经过几个阶段， lock:将主内存中的变量锁定，为一个线程所独占。 unclock:将lock加的锁定解除，此时其它的线程可以有机会访问此变量。 read:将主内存中的变量值读到工作内存当中。 load:将read读取的值保存到工作内存中的变量副本中。
schedule和scheduleAtFixedRate tangqi609567707 java timer schedule
原文地址：http://blog.csdn.net/weidan1121/article/details/527307 import java.util.Timer;import java.util.TimerTask;import java.util.Date; /** * @author vincent */public class TimerTest {
erlang 部署 wudixiaotie erlang
1.如果在启动节点的时候报这个错： {"init terminating in do_boot",{'cannot load',elf_format,get_files}} 则需要在reltool.config中加入 {app, hipe, [{incl_cond, exclude}]}, 2.当generate时，遇到： ERROR

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价	$V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价
零向量表示唯一	零向量表示唯一
$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$	$V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$
$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$	$dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$
$V_{1}+V_{2}$ 是直和	$V_{1}+...+V_{s}$ 是直和