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线性代数核心思想及应用——线性空间篇（知识点总结及例题详解）

线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta$ 线性无关

$\beta$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示，则表示法唯一的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关

设 $A\in F^{m\times n}$ ，则对施行初等行变换不改变的列向量的线性关系（求极大线性无关组）

向量组的等价

称 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right )$ 等价，若 $\left ( 1 \right )$ 与 $\left ( 2 \right )$ 相互线性表示

等价具有对称、传递、反身性

替换定理：设向量组 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 线性无关，并且可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示，则 $\left ( i \right )r\leq s$ $\left ( ii \right )$ 用 $\left ( 1 \right )$ 去替换 $\left ( 2 \right )$ 中的r个向量，必要时重新排序得 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )$ 与 $\left (2 \right )$ 等价

逆否命题：设 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示且 $r\geq s$ ，则 $\left ( 1 \right )$ 线性相关

替换定理证明：

当 r = 1 时， $\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}$

不妨设 $k_{1}\neq 0$ ， $\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}$

$\left ( i \right )1\leq s$

$\left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

令 r-1 时定理得证

即有 $\left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )$ 可由 $\left ( 4 \right )$ 线性表示得 $\alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)$

故 $s\neq r-1\Rightarrow r\leq s$

不妨设 $k_{r}\neq 0$ ， $\beta _{r}$ 可由 $\alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right )$ 线性表示

故 $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示，则前者必线性相关

2 : n+1个n元向量组必线性相关

极大线性无关组

向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的部分向量组 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 称为一个极大线性无关组，如果 $\left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性无关 $\left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的任一向量都可由 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩

等价的向量组必等秩；反之不真

设两个向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 和 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 的秩都为r，并且 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 线性表示，则这两个向量组等价

如何求极大线性无关组

例：在 $F^{4}$ 中，求向量组 $\alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right )$ 的一个极大线性无关组，并用之表示其余向量

解：以 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ 为列作矩阵

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}$

对A施行初等行变换

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

于是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 就是所求的一个极大线性无关组，并且 $\alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}$

基、维数与坐标

数域上的线性空间中向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 称为的一个基，如果

$\left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性无关

$\left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

注：线性空间的一个基实际上就是中全体向量的一个极大线性无关组

基向量是有序的

基不唯一，基所含向量个数唯一

扩充基定理： $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一组线性无关的向量， $\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基，

则 $\left ( 1 \right )$ 可扩充为 $V^{F}$ 的一个基 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )$

设是数域上的n维线性空间， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 为的一个基，对 $\forall \alpha \in V$ 有 $\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n}$ ，称 $\left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )$ 为 $\alpha$ 在 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 下的坐标，其中 $k_{i}\in F,\; i= 1,...,n$

求向量关于基的坐标：设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $F^{n}$ 的一个基， $\beta \in F^{n}$ ， $A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right )$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 关于 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 的坐标

基变换与坐标变换

设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 是n维线性空间的两个基，并且有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.$

形式上记为 $\left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A$

则称为由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 到基 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 的过渡矩阵

基到基的过渡矩阵可逆

过渡矩阵求法 $A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )$ ，即为所求

子空间及其交与和

子空间

设是数域上线性空间的一个非空子集，如果对于的加法与数乘也构成上的线性空间，则称为的一个子空间

$V,\left \{ 0 \right \}$ 称为的平凡子空间，其余子空间称为真子空间

是上的一个线性空间， $\varnothing \neq W\subseteq V$ ，

是的子空间 $\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W$

定理 $W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}$

生成子空间

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}$

每个 $\alpha _{i}$ 称为生成元

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 是 $V^{F}$ 中包含 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的最小的子空间（线性包）

$dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 为 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的秩 $\mid \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 的一个极大线性无关组是 $L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 的一个基

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 等价

子空间的交与和

子空间的交：设 $V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}$ $V^{F}$ 的子空间 $\Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}$

证明： $\Rightarrow :$ 若 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间，对 $\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}$ ，有 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}$ ，

                 则 $\exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha$

                 $\alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}$ 则 $V_{2}\subseteq V_{1}$

            $\Leftarrow :$ 若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ,对 $\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}$

                 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}$

                 所以 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间

子空间的和： $V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

证明： $\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}$

$k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}$

性质1： $V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

则 $V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

性质2： $V^{F}$ 中包含 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的最小子空间是 $V_{1}+V_{2}$

子空间的和是子空间，但子空间的并未必是子空间。

XOY平面——二维线性空间， $V_{1}$ 是x轴， $V_{2}$ 是y轴

子空间的和——XOY平面子空间的并——x轴与y轴两条直线

子空间的维数公式： $dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )$

证明： $V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$

           $V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )$

           $V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )$

令 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0$

$V_{1}\ni$ $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )$ $\in V_{2}$

记 $p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}$ 为

$P\in V_{1}\cap V_{2}$     $P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}$

$p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0$

得 $p_{1},...,p_{s}$ 全为0，代入 $\left ( \ast \right )$ $k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t}$ 全为0

子空间的直和： $W= V_{1}+V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的和，若的每一个向量的表示唯一，则称为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的直和，记为 $V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}$

定理：（如下图）

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价 $V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价

零向量表示唯一零向量表示唯一

$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$ $V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$

$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$ $dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$

$V_{1}+V_{2}$ 是直和 $V_{1}+...+V_{s}$ 是直和

余子空间： $V= V_{1}\oplus V_{2}$ 称 $V_{2}$ 为 $V_{1}$ 的余子空间

余子空间存在但不唯一

线性空间的同构

$V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow$ $\left ( 1 \right )\sigma$ 是 $V^{F}\rightarrow W^{F}$ 的双射

$\left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )$

性质：

$\sigma \left ( 0 \right )= 0$

$\sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0$

$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $V^{F}$ 的一个基 $\Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基

$\sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}$ 上任意两个n维线性空间都同构进一步：两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 维数相等

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单片机病房呼叫系统设计摘要：一般来说，病房呼叫系统是方便于病人患者与医护人员灵活沟通的一种呼叫系统，是解决医护人员与病人患者之间信息反馈的一种手段。病床呼叫系统的好坏直接关系到病人患者的生命安危，像今年的新冠型肺炎，没有一个灵活可靠的医疗系统真的不行。本课题的任务是设计出基于STM32单片机的病床呼叫系统以及对它的各项功能进行控制的控制系统。系统设计包括矩阵键盘，LCD12864液晶显示器显示电路
高通 QCS8550 大模型性能深度解析：从算力基准到场景实测的全维度 Benchmark 伊利丹~怒风 Qualcomm 人工智能 AI编程 python arm 自然语言处理
前言在人工智能技术狂飙突进的时代，大模型正以前所未有的速度重塑各行业生态，从智能客服到多模态交互，从边缘推理到端侧部署，其应用场景不断拓展。而这一切革新的背后，离不开底层硬件的强力支撑。高通QCS8550作为面向下一代智能设备的旗舰级计算平台，凭借高达48TOPS的AI算力与先进的第七代高通AI引擎，在大模型性能表现上极具竞争力。其异构多核架构不仅能高效处理复杂的神经网络计算，还通过软硬件协同优化
高通手机跑AI系列之——3D姿势估计伊利丹~怒风 Qualcomm 智能手机 AI编程 arm python 人工智能
目录环境准备手机软件算法Demo代码功能分析关键模块解析示例代码代码效果环境准备手机测试手机型号：RedmiK60Pro处理器：第二代骁龙8移动--8gen2运行内存：8.0GB，LPDDR5X-8400，67.0GB/s摄像头：前置16MP+后置50MP+8MP+2MPAI算力：NPU48TopsINT8&&GPU1536ALUx2x680MHz=2.089TFLOPS提示：任意手机均可以，性能
高通手机跑AI系列之——姿态识别伊利丹~怒风 Qualcomm 智能手机人工智能 AI编程 python arm
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手机屏像素缺陷修复及相关液晶线路激光修复原理 syncon12 科技制造 3d
摘要手机屏像素缺陷严重影响显示效果，而液晶线路异常是导致像素缺陷的关键因素之一。激光修复技术凭借高精度与非接触特性，能够有效修复液晶线路，进而改善像素显示。本文分析手机屏像素缺陷类型，探究液晶线路激光修复原理、工艺及参数优化，为提升手机屏显示质量提供理论支撑。引言随着手机屏向高分辨率、高刷新率方向发展，像素密度不断提升，像素缺陷问题愈发凸显。液晶线路作为控制像素显示的核心结构，其断路、短路、信号传
iphone se 一代不完美越狱 14.6 视频壁纸教程(踩坑笔记) YANG_301 ios iphone
iphonese一代不完美越狱14.6加视频壁纸教程-踩坑笔记越狱流程1.爱思助手制作启动u盘坑点:2.越狱好后视频壁纸软件1.源2.软件安装越狱流程1.爱思助手制作启动u盘https://www.i4.cn/news_detail_42302.html此网址为具体流程,但要注意!!!坑点:下图中最后一排quickmode应被勾选(勾选后是×(´ཀ`」∠))进入options后不禁要勾选allow
矩阵题解——搜索二维矩阵 II【LeetCode】 chao_789 我的学习记录矩阵篇_刷题笔记矩阵算法线性代数 leetcode python
240.搜索二维矩阵II1.1核心思想问题描述：给定一个mxn的二维矩阵，矩阵的每一行从左到右递增，每一列从上到下递增。判断目标值target是否存在于矩阵中。解决思路：从矩阵的右上角（或左下角）开始搜索。如果当前元素等于target，返回True。如果当前元素小于target，则排除当前行（因为当前行的所有元素都小于target）。如果当前元素大于target，则排除当前列（因为当前列的所有元素
矩阵题解——螺旋矩阵 II【LeetCode】 chao_789 我的学习记录矩阵篇_刷题笔记算法 leetcode python 数据结构矩阵
59.螺旋矩阵II第一个算法：基于层数和偏移量的方法算法逻辑思路：初始化阶段：创建n×n的零矩阵，设置起始点(0,0)，计算需要循环的层数(n//2)，初始化计数器为1核心循环逻辑：通过偏移量控制每一层的边界外层循环：遍历每一层(offset从1到loop)内层四个循环：按顺时针方向填充当前层左→右：填充上边，范围[starty,n-offset)上→下：填充右边，范围[startx,n-offs
CG-05 角度传感器转动灵敏寿命长可长期用在灰尘等恶劣环境
产品概述本产品采用非接触原理360度传感，机械轴传动采用两个双密封式轴承，转动灵敏度高。连接轴采用不锈钢304制造，品质出色。该产品可取代早期塑料电阻产品，寿命长，能长期使用于灰尘等恶劣环境。功能特点◆检测精度高，系统采用低功耗节能设计，数字处理技术◆量程宽，稳定性好◆数据信息显示线性度好，信号传输距离长，抗外界干扰能力强适用范围角度传感器对角度有着极强的角度分辨率，对转动的位置进行稳定的信号输出
✨【Blender/Houdini 渲染必看】CPUⓥⓢGPU？3 分钟选对算力不踩坑！渲染101专业云渲染 blender houdini 分布式服务器 maya
核心问题速答Q：渲染该选CPU还是GPU？✅CPU：复杂场景/批量渲染/预算可控首选✅GPU：单帧速度/实时预览/急单交付必选维度1：硬件硬刚——CPU凭啥赢麻了？▫️多线程王者：16核/32核服务器矩阵，支持50-300台并行渲染▫️场景兼容性：粒子特效/全局光照/超复杂模型稳定输出秘密武器：CPU批量渲染100帧耗时=GPU单帧耗时，整体效率持平！⚙️维度2：动态计费逻辑——成本由什么决定？计
MCP-Proxy：开发多LLM & 多MCP 支持并安全访问MCP Server的秘密 IT古董技术杂谈安全 MCP MCP-Proxy
在构建多模型、多协议、可控可信的大模型接入平台时，MCP-Proxy扮演着关键中枢。它不仅要支持多个LLM接入，还要保障对后端MCPServer的安全访问、请求审计、能力切换与资源隔离。什么是MCP/MCP-Proxy？MCP（ModelCapabilityProtocol）是新一代模型能力调用协议，类似于OpenAI的API，但可支持：多厂商大模型（OpenAI、DeepSeek、Yi、Chat
英国留学生顺利拿到offer！博士学历+微软MOS国际认证加buff！全球认证考试中心 microsoft
在全球化职场竞争日益激烈的当下，英国留学生若想提升自身竞争力，考取高含金量的国际证书是一条有效途径。MicrosoftOfficeSpecialist（MOS）国际认证作为微软官方推出的办公软件专业认证，在全球168个国家和地区得到认可，每年吸引近百万人次报考，已成为众多外企筛选人才的重要标准。正值暑假，不少同学计划利用这段时间备考MOS，本文将结合实际经验，为大家提供一套系统的备考方案。一、为何
人脸识别算法赋能园区无人超市安防升级智驱力人工智能算法人工智能边缘计算人脸识别智慧园区智慧工地智慧煤矿
人脸识别算法赋能园区无人超市安防升级正文在园区无人超市的运营管理中，传统安防手段依赖人工巡检或基础监控设备，存在响应滞后、误报率高、环境适应性差等问题。本文从技术背景、实现路径、功能优势及应用场景四个维度，阐述如何通过人脸识别检测、人员入侵算法及疲劳检测算法的协同应用，构建高效、精准的智能安防体系。一、技术背景：视觉分析算法的核心支撑人脸识别算法基于深度学习的卷积神经网络（CNN）模型，通过提取面
三阶落地：腾讯云Serverless+Spring Cloud的微服务实战架构大熊计算机 #腾讯云架构腾讯云 serverless
云原生演进的关键挑战（1）传统微服务架构痛点资源利用率低（非峰值期资源闲置率>60%）运维复杂度高（需管理数百个容器实例）突发流量处理能力弱（扩容延迟导致P99延迟飙升）（2）Serverless的破局价值腾讯云SCF（ServerlessCloudFunction）提供：毫秒级计费粒度（成本下降40%~70%）百毫秒级弹性伸缩（支持每秒万级并发扩容）零基础设施运维同步调用异步事件用户请求API网
项目中枚举与注解的结合使用飞翔的马甲 java enum annotation
前言：版本兼容，一直是迭代开发头疼的事，最近新版本加上了支持新题型，如果新创建一份问卷包含了新题型，那旧版本客户端就不支持，如果新创建的问卷不包含新题型，那么新旧客户端都支持。这里面我们通过给问卷类型枚举增加自定义注解的方式完成。顺便巩固下枚举与注解。一、枚举 1.在创建枚举类的时候，该类已继承java.lang.Enum类，所以自定义枚举类无法继承别的类，但可以实现接口。
【Scala十七】Scala核心十一：下划线_的用法 bit1129 scala
下划线_在Scala中广泛应用，_的基本含义是作为占位符使用。_在使用时是出问题非常多的地方，本文将不断完善_的使用场景以及所表达的含义 1. 在高阶函数中使用 scala> val list = List(-3,8,7,9) list: List[Int] = List(-3, 8, 7, 9) scala> list.filter(_ > 7) r
web缓存基础：术语、http报头和缓存策略 dalan_123 Web
对于很多人来说，去访问某一个站点，若是该站点能够提供智能化的内容缓存来提高用户体验，那么最终该站点的访问者将络绎不绝。缓存或者对之前的请求临时存储，是http协议实现中最核心的内容分发策略之一。分发路径中的组件均可以缓存内容来加速后续的请求，这是受控于对该内容所声明的缓存策略。接下来将讨web内容缓存策略的基本概念，具体包括如如何选择缓存策略以保证互联网范围内的缓存能够正确处理的您的内容，并谈论下
crontab 问题周凡杨 linux crontab unix
一： 0481-079 Reached a symbol that is not expected. 背景： */5 * * * * /usr/IBMIHS/rsync.sh
让tomcat支持2级域名共享session g21121 session
tomcat默认情况下是不支持2级域名共享session的，所有有些情况下登陆后从主域名跳转到子域名会发生链接session不相同的情况，但是只需修改几处配置就可以了。打开tomcat下conf下context.xml文件找到Context标签,修改为如下内容如果你的域名是www.test.com <Context sessionCookiePath="/path&q
web报表工具FineReport常用函数的用法总结（数学和三角函数）老A不折腾 Web finereport 总结
ABS ABS(number):返回指定数字的绝对值。绝对值是指没有正负符号的数值。 Number:需要求出绝对值的任意实数。示例: ABS(-1.5)等于1.5。 ABS(0)等于0。 ABS(2.5)等于2.5。 ACOS ACOS(number):返回指定数值的反余弦值。反余弦值为一个角度，返回角度以弧度形式表示。 Number:需要返回角
linux 启动java进程 sh文件墙头上一根草 linux shell jar
#!/bin/bash #初始化服务器的进程PId变量 user_pid=0; robot_pid=0; loadlort_pid=0; gateway_pid=0; ######### #检查相关服务器是否启动成功 #说明： #使用JDK自带的JPS命令及grep命令组合，准确查找pid #jps 加 l 参数，表示显示java的完整包路径 #使用awk，分割出pid
我的spring学习笔记5-如何使用ApplicationContext替换BeanFactory aijuans Spring 3 系列
如何使用ApplicationContext替换BeanFactory？ package onlyfun.caterpillar.device; import org.springframework.beans.factory.BeanFactory; import org.springframework.beans.factory.xml.XmlBeanFactory; import
Linux 内存使用方法详细解析 annan211 linux 内存 Linux内存解析
来源 http://blog.jobbole.com/45748/ 我是一名程序员，那么我在这里以一个程序员的角度来讲解Linux内存的使用。一提到内存管理，我们头脑中闪出的两个概念，就是虚拟内存，与物理内存。这两个概念主要来自于linux内核的支持。 Linux在内存管理上份为两级，一级是线性区，类似于00c73000-00c88000，对应于虚拟内存，它实际上不占用
数据库的单表查询常用命令及使用方法(-) 百合不是茶 oracle 函数单表查询
创建数据库; --建表 create table bloguser(username varchar2(20),userage number(10),usersex char(2)); 创建bloguser表,里面有三个字段 &nbs
多线程基础知识 bijian1013 java 多线程 thread java多线程
一．进程和线程进程就是一个在内存中独立运行的程序，有自己的地址空间。如正在运行的写字板程序就是一个进程。 “多任务”：指操作系统能同时运行多个进程（程序）。如WINDOWS系统可以同时运行写字板程序、画图程序、WORD、Eclipse等。线程：是进程内部单一的一个顺序控制流。线程和进程 a. 每个进程都有独立的
fastjson简单使用实例 bijian1013 fastjson
一.简介阿里巴巴fastjson是一个Java语言编写的高性能功能完善的JSON库。它采用一种“假定有序快速匹配”的算法，把JSON Parse的性能提升到极致，是目前Java语言中最快的JSON库；包括“序列化”和“反序列化”两部分，它具备如下特征：
【RPC框架Burlap】Spring集成Burlap bit1129 spring
Burlap和Hessian同属于codehaus的RPC调用框架，但是Burlap已经几年不更新，所以Spring在4.0里已经将Burlap的支持置为Deprecated,所以在选择RPC框架时，不应该考虑Burlap了。这篇文章还是记录下Burlap的用法吧，主要是复制粘贴了Hessian与Spring集成一文，【RPC框架Hessian四】Hessian与Spring集成
【Mahout一】基于Mahout 命令参数含义 bit1129 Mahout
1. mahout seqdirectory $ mahout seqdirectory --input (-i) input Path to job input directory(原始文本文件). --output (-o) output The directory pathna
linux使用flock文件锁解决脚本重复执行问题 ronin47 linux lock　重复执行
linux的crontab命令，可以定时执行操作，最小周期是每分钟执行一次。关于crontab实现每秒执行可参考我之前的文章《linux crontab 实现每秒执行》现在有个问题，如果设定了任务每分钟执行一次，但有可能一分钟内任务并没有执行完成，这时系统会再执行任务。导致两个相同的任务在执行。例如： <? // test .php
java-74-数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 bylijinnan java
public class OcuppyMoreThanHalf { /** * Q74 数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 * two solutions: * 1.O(n) * see <beauty of coding>--每次删除两个不同的数字，不改变数组的特性 * 2.O(nlogn) * 排序。中间
linux 系统相关命令 candiio linux
系统参数 cat /proc/cpuinfo cpu相关参数 cat /proc/meminfo 内存相关参数 cat /proc/loadavg 负载情况性能参数 1）top M：按内存使用排序 P：按CPU占用排序 1：显示各CPU的使用情况 k：kill进程 o：更多排序规则回车：刷新数据 2）ulimit ulimit -a：显示本用户的系统限制参
[经营与资产]保持独立性和稳定性对于软件开发的重要意义 comsci 软件开发
一个软件的架构从诞生到成熟，中间要经过很多次的修正和改造如果在这个过程中，外界的其它行业的资本不断的介入这种软件架构的升级过程中那么软件开发者原有的设计思想和开发路线
在CentOS5.5上编译OpenJDK6 Cwind linux OpenJDK
几番周折终于在自己的CentOS5.5上编译成功了OpenJDK6，将编译过程和遇到的问题作一简要记录，备查。 0. OpenJDK介绍 OpenJDK是Sun（现Oracle）公司发布的基于GPL许可的Java平台的实现。其优点： 1、它的核心代码与同时期Sun（-> Oracle）的产品版基本上是一样的，血统纯正，不用担心性能问题，也基本上没什么兼容性问题；（代码上最主要的差异是
java乱码问题 dashuaifu java乱码问题 js中文乱码
swfupload上传文件参数值为中文传递到后台接收中文乱码在js中用setPostParams（{"tag" : encodeURI( document.getElementByIdx_x("filetag").value，"utf-8")}）; 然后在servlet中String t
cygwin很多命令显示command not found的解决办法 dcj3sjt126com cygwin
cygwin很多命令显示command not found的解决办法修改cygwin.BAT文件如下 @echo off D: set CYGWIN=tty notitle glob set PATH=%PATH%;d:\cygwin\bin;d:\cygwin\sbin;d:\cygwin\usr\bin;d:\cygwin\usr\sbin;d:\cygwin\us
[介绍]从 Yii 1.1 升级 dcj3sjt126com PHP yii2
2.0 版框架是完全重写的，在 1.1 和 2.0 两个版本之间存在相当多差异。因此从 1.1 版升级并不像小版本间的跨越那么简单，通过本指南你将会了解两个版本间主要的不同之处。如果你之前没有用过 Yii 1.1，可以跳过本章，直接从"入门篇"开始读起。请注意，Yii 2.0 引入了很多本章并没有涉及到的新功能。强烈建议你通读整部权威指南来了解所有新特性。这样有可能会发
Linux SSH免登录配置总结 eksliang ssh-keygen Linux SSH免登录认证 Linux SSH互信
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2187265 一、原理我们使用ssh-keygen在ServerA上生成私钥跟公钥，将生成的公钥拷贝到远程机器ServerB上后,就可以使用ssh命令无需密码登录到另外一台机器ServerB上。生成公钥与私钥有两种加密方式，第一种是
手势滑动销毁Activity gundumw100 android
老是效仿ios，做android的真悲催！有需求：需要手势滑动销毁一个Activity 怎么办尼？自己写？不用~，网上先问一下百度。结果： http://blog.csdn.net/xiaanming/article/details/20934541 首先将你需要的Activity继承SwipeBackActivity，它会在你的布局根目录新增一层SwipeBackLay
JavaScript变换表格边框颜色 ini JavaScript html Web html5 css
效果查看：http://hovertree.com/texiao/js/2.htm代码如下，保存到HTML文件也可以查看效果： <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title>表格边框变换颜色代码-何问起</title> </head> <body&
Kafka Rest : Confluent kane_xie kafka REST confluent
最近拿到一个kafka rest的需求，但kafka暂时还没有提供rest api（应该是有在开发中，毕竟rest这么火），上网搜了一下，找到一个Confluent Platform，本文简单介绍一下安装。这里插一句，给大家推荐一个九尾搜索，原名叫谷粉SOSO，不想fanqiang谷歌的可以用这个。以前在外企用谷歌用习惯了，出来之后用度娘搜技术问题，那匹配度简直感人。环境声明：Ubu
Calender不是单例 men4661273 单例 Calender
在我们使用Calender的时候，使用过Calendar.getInstance()来获取一个日期类的对象，这种方式跟单例的获取方式一样，那么它到底是不是单例呢，如果是单例的话，一个对象修改内容之后，另外一个线程中的数据不久乱套了吗？从试验以及源码中可以得出，Calendar不是单例。测试： Calendar c1 =
线程内存和主内存之间联系 qifeifei java thread
1， java多线程共享主内存中变量的时候，一共会经过几个阶段， lock:将主内存中的变量锁定，为一个线程所独占。 unclock:将lock加的锁定解除，此时其它的线程可以有机会访问此变量。 read:将主内存中的变量值读到工作内存当中。 load:将read读取的值保存到工作内存中的变量副本中。
schedule和scheduleAtFixedRate tangqi609567707 java timer schedule
原文地址：http://blog.csdn.net/weidan1121/article/details/527307 import java.util.Timer;import java.util.TimerTask;import java.util.Date; /** * @author vincent */public class TimerTest {
erlang 部署 wudixiaotie erlang
1.如果在启动节点的时候报这个错： {"init terminating in do_boot",{'cannot load',elf_format,get_files}} 则需要在reltool.config中加入 {app, hipe, [{incl_cond, exclude}]}, 2.当generate时，遇到： ERROR

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价	$V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价
零向量表示唯一	零向量表示唯一
$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$	$V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$
$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$	$dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$
$V_{1}+V_{2}$ 是直和	$V_{1}+...+V_{s}$ 是直和