zedkyx

线性代数核心思想及应用——线性空间篇（知识点总结及例题详解）

线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta$ 线性无关

$\beta$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示，则表示法唯一的充要条件是 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关

设 $A\in F^{m\times n}$ ，则对施行初等行变换不改变的列向量的线性关系（求极大线性无关组）

向量组的等价

称 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right )$ 等价，若 $\left ( 1 \right )$ 与 $\left ( 2 \right )$ 相互线性表示

等价具有对称、传递、反身性

替换定理：设向量组 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 线性无关，并且可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示，则 $\left ( i \right )r\leq s$ $\left ( ii \right )$ 用 $\left ( 1 \right )$ 去替换 $\left ( 2 \right )$ 中的r个向量，必要时重新排序得 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )$ 与 $\left (2 \right )$ 等价

逆否命题：设 $\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}$ 可由向量组 $\left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示且 $r\geq s$ ，则 $\left ( 1 \right )$ 线性相关

替换定理证明：

当 r = 1 时， $\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}$

不妨设 $k_{1}\neq 0$ ， $\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}$

$\left ( i \right )1\leq s$

$\left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

令 r-1 时定理得证

即有 $\left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

$\left ( 1 \right )$ 可由 $\left ( 4 \right )$ 线性表示得 $\alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)$

故 $s\neq r-1\Rightarrow r\leq s$

不妨设 $k_{r}\neq 0$ ， $\beta _{r}$ 可由 $\alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right )$ 线性表示

故 $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )$

推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示，则前者必线性相关

2 : n+1个n元向量组必线性相关

极大线性无关组

向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的部分向量组 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 称为一个极大线性无关组，如果 $\left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性无关 $\left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 中的任一向量都可由 $\beta _{1},...,\beta _{s}$ 线性表示

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩

等价的向量组必等秩；反之不真

设两个向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 和 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 的秩都为r，并且 $\alpha _{1},...,\alpha _{s}$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 线性表示，则这两个向量组等价

如何求极大线性无关组

例：在 $F^{4}$ 中，求向量组 $\alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right )$ 的一个极大线性无关组，并用之表示其余向量

解：以 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ 为列作矩阵

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}$

对A施行初等行变换

$A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

于是 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 就是所求的一个极大线性无关组，并且 $\alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}$

基、维数与坐标

数域上的线性空间中向量组 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 称为的一个基，如果

$\left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性无关

$\left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

注：线性空间的一个基实际上就是中全体向量的一个极大线性无关组

基向量是有序的

基不唯一，基所含向量个数唯一

扩充基定理： $\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一组线性无关的向量， $\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基，

则 $\left ( 1 \right )$ 可扩充为 $V^{F}$ 的一个基 $\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )$

设是数域上的n维线性空间， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 为的一个基，对 $\forall \alpha \in V$ 有 $\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n}$ ，称 $\left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )$ 为 $\alpha$ 在 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 下的坐标，其中 $k_{i}\in F,\; i= 1,...,n$

求向量关于基的坐标：设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $F^{n}$ 的一个基， $\beta \in F^{n}$ ， $A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right )$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 关于 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 的坐标

基变换与坐标变换

设 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 是n维线性空间的两个基，并且有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.$

形式上记为 $\left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A$

则称为由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 到基 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 的过渡矩阵

基到基的过渡矩阵可逆

过渡矩阵求法 $A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )$ ，即为所求

子空间及其交与和

子空间

设是数域上线性空间的一个非空子集，如果对于的加法与数乘也构成上的线性空间，则称为的一个子空间

$V,\left \{ 0 \right \}$ 称为的平凡子空间，其余子空间称为真子空间

是上的一个线性空间， $\varnothing \neq W\subseteq V$ ，

是的子空间 $\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W$

定理 $W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}$

生成子空间

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}$

每个 $\alpha _{i}$ 称为生成元

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 是 $V^{F}$ 中包含 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的最小的子空间（线性包）

$dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 为 $\alpha _{1} ,...,\alpha _{r}$ 的秩 $\mid \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 的一个极大线性无关组是 $L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )$ 的一个基

$L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 与 $\beta _{1},...,\beta _{t}$ 等价

子空间的交与和

子空间的交：设 $V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$\left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}$ $V^{F}$ 的子空间 $\Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}$

证明： $\Rightarrow :$ 若 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间，对 $\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2}$ ，有 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}$ ，

                 则 $\exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha$

                 $\alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}$ 则 $V_{2}\subseteq V_{1}$

            $\Leftarrow :$ 若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ,对 $\forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}$

                 $\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}$

                 所以 $V_{1}\cup V_{2}$ 是的子空间

子空间的和： $V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

证明： $\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}$

$k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}$

性质1： $V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

则 $V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )$

性质2： $V^{F}$ 中包含 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的最小子空间是 $V_{1}+V_{2}$

子空间的和是子空间，但子空间的并未必是子空间。

XOY平面——二维线性空间， $V_{1}$ 是x轴， $V_{2}$ 是y轴

子空间的和——XOY平面子空间的并——x轴与y轴两条直线

子空间的维数公式： $dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )$

证明： $V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )$

           $V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )$

           $V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )$

令 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0$

$V_{1}\ni$ $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )$ $\in V_{2}$

记 $p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}$ 为

$P\in V_{1}\cap V_{2}$     $P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}$

$p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0$

得 $p_{1},...,p_{s}$ 全为0，代入 $\left ( \ast \right )$ $k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t}$ 全为0

子空间的直和： $W= V_{1}+V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的和，若的每一个向量的表示唯一，则称为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的直和，记为 $V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}$

定理：（如下图）

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价 $V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价

零向量表示唯一零向量表示唯一

$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$ $V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$

$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$ $dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$

$V_{1}+V_{2}$ 是直和 $V_{1}+...+V_{s}$ 是直和

余子空间： $V= V_{1}\oplus V_{2}$ 称 $V_{2}$ 为 $V_{1}$ 的余子空间

余子空间存在但不唯一

线性空间的同构

$V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow$ $\left ( 1 \right )\sigma$ 是 $V^{F}\rightarrow W^{F}$ 的双射

$\left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )$

性质：

$\sigma \left ( 0 \right )= 0$

$\sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0$

$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 是 $V^{F}$ 的一个基 $\Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )$ 是 $V^{F}$ 的一个基

$\sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}$ 是 $V^{F}$ 的子空间

$dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}$ 上任意两个n维线性空间都同构进一步：两个有限维线性空间同构 $\Leftrightarrow$ 维数相等

231转序和321转序的姿态角与四元数的变换关系(文末附VC++代码和Matlab验证代码) 小亨GNC颐园 matlab VC++运载火箭 321转序 231转序导弹导航初始化
近程战术导弹的转序一般采用231的顺序，先偏航、后俯仰、再滚转。远程导弹、运载火箭、某些垂直发射拦截导弹的初制导段会采用321的转序，先俯仰、后偏航、再滚转。这两种转下的姿态角与四元数的转换关系如下：321转序//--------惯性坐标系到箭体系的四元数--------------------//doublesic_T=sin(Theta_T_rad/2.0);余下的VC++代码和Matlab代
工业相机和镜头选型标准金蝶软件小李 OpenCV与机器视觉 Halcon机器视觉 C#程序设计语言基础数码相机计算机视觉算法人工智能深度学习
工业相机和镜头选型标准包括以下几点：相机选型标准分辨率：根据目标物的大小和检测精度来确定。分辨率越高，能捕捉到的细节越丰富，但也会增加数据处理量和成本。帧率：根据目标物或相机的运动速度来选择。高帧率相机适用于快速运动物体的捕捉和分析。传感器类型：CCD或CMOS。CCD在成像质量、色彩还原和信噪比方面更具优势，适用于对成像质量要求很高的场景；CMOS图像采集速度快，功耗低，集成度高，制造成本低，适
Redis 性能优化 18招 ThinkerFuther redis redis 性能优化数据库
前言Redis在我们的日常开发工作中，使用频率非常高，已经变成了必不可少的技术之一。Redis的使用场景也很多。比如：保存用户登录态，做限流，做分布式锁，做缓存提升数据访问速度等等。那么问题来了，Redis的性能要如何优化？为了提升Redis的性能，这篇文章跟大家一起聊聊Redis性能优化的18招，希望对你会有所帮助。1.选择合适的数据结构Redis支持多种数据结构，如字符串、哈希、列表、集合和有
Redis性能优化：全网最全的一篇上海第一深情Alan #精通Redis redis 性能优化
硬件CPU选择高性能的多核CPU：Redis是单线程处理请求的，性能取决于单个核心的处理能力。选择高主频（3GHz以上）的CPU能有效提高Redis的单实例性能。然而，多个Redis实例可以并行运行在不同的CPU核心上，因此多核CPU仍然有助于提高整体的吞吐量。避免超线程（Hyper-Threading）：在高负载下，超线程技术可能会导致CPU争用和缓存冲突，从而影响性能。在BIOS中禁用超线程，
容器基础5-Helm 与 K8s 的关系旗浩QH Android系统虚拟化 kubernetes 容器云原生
一、Helm是什么？为什么需要它？K8s是强大的容器编排平台，但部署复杂应用时（如包含Web服务、数据库、缓存等多个组件的系统），需要编写大量YAML文件，管理成本高。Helm就是为简化K8s应用部署而生的工具，它被称为“K8s的包管理器”，类似Ubuntu的apt或Mac的brew。二、Helm如何工作？核心概念解析Chart（图表）Helm的基本单位，是一组YAML文件的集合，描述了一个或多个
什么是深度学习框架中的计算图？杰瑞学AI Computer knowledge NLP/LLMs AI/AGI 深度学习人工智能 pytorch
在深度学习框架中，计算图是核心的数据结构和抽象概念，它用来表示和定义深度学习模型的计算过程。我们可以把它想象成一个描述数学运算如何组合和执行的有向图。以下是计算图的关键要素和作用：节点：代表操作或变量。操作：数学运算，如加法(+)、乘法(*)、矩阵乘法(matmul)、激活函数(ReLU,sigmoid)、卷积(conv2d)、损失函数(cross_entropy)等。变量：通常是张量，即存储数据
微服务之-ServiceMesh gb4215287 java 微服务 service_mesh 架构
今年，ServiceMesh(服务网格)概念在社区里头非常火，有人提出2018年是ServiceMesh年，还有人提出ServiceMesh是下一代的微服务架构基础。作为架构师，如果你现在还不了解ServiceMesh的话，是否感觉有点落伍了？那么到底什么是ServiceMesh？它诞生的背景是什么？它解决什么问题？企业是否适合引入ServiceMesh？根据近年在一线互联网企业的实践和思考，从个
下一代防火墙 999感冒灵. 网络安全
一.防火墙是什么1.防火墙的定义：防火墙是一个位于内部网络与外部网络之间的安全系统（网络中不同区域之间），是按照一定的安全策略建立起来的硬件或软件系统，用于流量控制的系统（隔离），保护内部网络资源免受威胁（保护）。防火墙的主要用于防止黑客对安全区域网络的攻击，保护内部网络的安全运行。2.防火墙基本性质：①安全区域和接口：一台防火墙具有多个接口每个接口属于一个安全区域，每个区域具有唯一的名称，所以防
如何在YashanDB数据库中高效处理海量数据数据库
在现代数据库技术中，海量数据的管理和处理成为了一个普遍存在的挑战。随着数据规模的不断扩大，性能瓶颈、数据一致性问题以及易用性需求等问题日益凸显。这些挑战促使企业寻求更为高效的解决方案，以支撑海量数据的存储、分析与挖掘。YashanDB作为一款专为处理海量数据而设计的数据库，凭借其高可扩展性、高并发性能和高可用性，提供了一系列技术手段以应对这些挑战。本文旨在探讨如何在YashanDB中高效地管理和处
如何确保YashanDB数据库的性能稳定？数据库
在当今数据量激增的背景下，数据库的性能稳定性成为企业技术架构成功的关键因素之一。数据库面临的挑战包括性能瓶颈、数据一致性问题及并发访问的影响。为了应对这些问题，YashanDB作为一种新兴的数据库管理系统，提供了先进的架构和功能，旨在为高性能和高可用性提供保障。本文将详细探讨确保YashanDB数据库性能稳定性的方法，旨在为数据库管理员、系统架构师及IT技术负责人提供实用建议，实现企业数据处理的高
青年开发者董翔：在代码世界中探索创新边界程序猿全栈の董（董翔） javascript 开发语言开发者
引言：从兴趣萌芽到技术深耕当大多数00后还在适应大学生活时，2004年出生的董翔已在软件技术领域展现出超越同龄人的探索热情。作为软件技术专业大一学生，他以“技术创新解决实际问题”为核心理念，在前端开发、数据修复等领域构建了独特的研究体系。从高中时期自学编程的懵懂少年，到提出“同源数据互补修复机制”“框架质疑学习法”的青年研究者，董翔的成长轨迹折射出新一代技术人对知识的主动建构与实践突破。一、学术探
【华为od刷题（C++）】HJ35 蛇形矩阵（指针） m0_64866459 华为od c++链表
我的代码1：#includeusingnamespacestd;intmain(){introw;//row：定义了矩阵的行数（和列数，实际上是一个正方形矩阵）while(cin>>row){//这个循环会持续执行，直到输入流被结束//每次读取一个整数并赋值给row，程序就开始执行填充操作int**a=newint*[row];//动态地为一个二维数组（a）的行分配内存/*这里a是一个指向指针的指
opencv-python与opencv-contrib-python的区别联系剑心缘零碎小知识 python opencv
opencv-python包含基本的opencvopencv-contrib-python是高配版，带一些收费或者专利的算法，还有一些比较新的算法的高级版本,这些算法稳定之后会加入上面那个。官网对contrib模块的简介（点击链接跳转）参考链接
HarmonyOS5.0仓颉引擎与盘古大模型：个性化作业批改系统架构设计与实现 H老师带你学鸿蒙系统架构 HarmonyOS5.0 鸿蒙华为仓颉教育
人工智能与边缘计算的融合正在重塑教育评价体系。本文将展示如何基于HarmonyOS5.0仓颉并发引擎和盘古大模型，构建新一代智能作业批改系统。系统架构全景graphTDA[学生端设备]-->|提交作业|B[仓颉边缘处理]B-->C[盘古大模型分析]C-->D[个性化反馈生成]D-->E[学生终端]D-->F[教师仪表盘]subgraphHarmonyOS分布式系统B-->|设备协同|G[教室平板集
两步移动搜索法（2SFCA）python 我在北京coding python python 开发语言
实现两步移动搜索法（Two-StepFloatingCatchmentAreaMethod,2SFCA）是一种广泛应用于地理信息系统（GIS）领域的方法，用于评估设施的空间可达性。以下是基于Python和GeoPandas的一种实现方式。准备工作为了实现2SFCA方法，需要准备以下数据集：供给点：表示服务提供方的位置及其服务能力。需求点：表示潜在使用者的位置及其需求量。距离矩阵：描述供给点与需求点
反向传播神经网络极简入门自信哥
单个神经元神经网络是多个“神经元”（感知机）的带权级联，神经网络算法可以提供非线性的复杂模型，它有两个参数：权值矩阵{Wl}和偏置向量{bl}，不同于感知机的单一向量形式，{Wl}是复数个矩阵，{bl}是复数个向量，其中的元素分别属于单个层，而每个层的组成单元，就是神经元。神经元神经网络是由多个“神经元”（感知机）组成的，每个神经元图示如下：这其实就是一个单层感知机，其输入是由和+1组成的向量，其
MEMS定向短节相较于磁通门传感器的优势在哪里？ ericco123 MEMS 陀螺仪惯性技术制造科技
磁通门传感器得益于其的高精度和稳定性，在地质勘探、电流传感等静态磁场测量场合下被广泛应用。然而，磁通门传感器虽对静态磁场敏感，但在强交变磁场环境中极易受到干扰，从而影响数值精准度。此外，功耗高、响应慢等一系列问题也限制了应用场景。ER-Gyro-19完美解决了这些缺点带来的局限，具备与磁通门传感器兼容的电气接口与机械结构，实现原位替换，在一些磁通门传感器无法应用的场合，尤其是石油天然气测井领域也能
Transformer模型压缩：结构化剪枝与混合精度量化研究 pk_xz123456 仿真模型机器学习深度学习 transformer 剪枝深度学习
Transformer模型压缩：结构化剪枝与混合精度量化研究摘要本文针对Transformer模型在实际部署中面临的计算资源消耗大、内存占用高和推理延迟等问题，提出了一种结合结构化剪枝与混合精度量化的综合压缩方案。我们首先分析了Transformer模型的结构特点及其在计算效率方面的瓶颈，然后系统地研究了结构化剪枝和混合精度量化的理论基础与实现方法。通过实验验证，我们的方法在保持模型性能的同时显著
野火-鲁班猫2：USB WIFI hhqust #嵌入式硬件 linux
拿到了鲁班猫2开发板裸板之后，发现并没有板载WIFI和BT模块。虽然有两个以太网接口，但是无线网络连接还是感觉更好一些。恰好手头上有一个大约10年前的买的360USB随身Wifi。插到开发板一试，直接可用。1.节外生枝但故事并没有这样结束。考虑到这个360随身WIFI年事已高，且USB连接器上甚至出现了锈迹，我决定买个新的USBWIFI。USBWIFI这种在我印象里的小众电子产品还是有不少选择的，
资深php工程师必会必知架构深山技术宅 PHP 经验素养 php 架构开发语言
作为资深PHP工程师，必须掌握以下架构设计及核心组件，这些架构能力决定了系统能否支撑高并发、高可用及复杂业务场景：一、分层架构（基础但关键）经典三层模型HTTP请求SQL表示层业务逻辑层数据访问层数据库表示层：API网关（LaravelRoutes/SymfonyRouting）业务层：领域服务（DDD设计模式应用）数据层：Repository模式+Eloquent/DoctrineORM二、高性
ShaderGraph节点解析(124):绕轴旋转节点（Rotate About Axis Node）详解小李也疯狂 #unity ShaderGraph Unity
目录一、节点功能概述二、端口详解控制选项三、技术原理解析3.1数学基础：罗德里格斯旋转公式3.2旋转矩阵构造3.3生成代码解析1.弧度模式（Radians）2.度模式（Degrees）3.4旋转方向：右手定则四、应用场景与实战案例4.1角色骨骼旋转（动画驱动）场景：实现角色手臂绕肱骨（上臂骨）旋转，模拟弯曲动作4.2相机环绕效果（第三人称视角）场景：让相机绕目标物体（如角色）的Y轴旋转，实现环绕观
网络安全相关专业总结（非常详细）零基础入门到精通，收藏这一篇就够了网络安全工程师教学兼职副业黑客技术网络安全 web安全安全人工智能网络运维
一、网络工程专业专业内涵网络工程是指按计划进行的以工程化的思想、方式、方法，设计、研发和解决网络系统问题的工程，一般指计算机网络系统的开发与构建。该专业培养具备计算机科学与技术学科理论基础，掌握网络技术领域专业知识和基本技能，在计算机、网络及人工智能领域的工程实践和应用方面受到良好训练，具有深厚通信背景、可持续发展、能力较强的高水平工程技术人才。学生可在计算机软硬件系统、互联网、移动互联网及新一代
数据结构--单链表
数据结构基础（3）文章目录数据结构基础（3）单链表的定义：不带头结点的单链表：带头结点的单链表：单链表的插入操作：按位序插入（带头结点）：按位序插入（不带头结点）：指定结点的后插操作：指定结点的前插操作：按位序删除（带头结点）：按位查找：按值查找：求表的长度：单链表的建立--尾插法单链表的建立--头插法单链表的定义：带头结点不带头结点顺序表：优点：可随机存取，存储密度高缺点：要求大片连续空间，改变
“试验台铁地板:优越的选择高性能铁地板材料“
试验台铁地板的特点试验台铁地板通常采用高强度铸铁或合金材料制成，具有高稳定性、耐磨性和抗变形能力。其表面经过精密加工，确保平面度和平行度符合高精度测试需求。部分产品还会进行防锈处理，延长使用寿命。高性能铁地板的材料选择常见的材料包括HT250铸铁、球墨铸铁或特殊合金钢。HT250铸铁具有良好的吸震性和耐磨性，适合精密仪器测试；球墨铸铁强度更高，适用于重型设备试验台；特殊合金钢则用于极端环境下的高负
数据仓库技术及应用（Hive 产生背景与架构设计，存储模型与数据类型）娟恋无暇数据仓库笔记 hive
1.Hive产生背景传统Hadoop架构存在的一些问题：MapReduce编程必须掌握Java，门槛较高传统数据库开发、DBA、运维人员学习门槛高HDFS上没有Schema的概念，仅仅是一个纯文本文件Hive的产生：为了让用户从一个现有数据基础架构转移到Hadoop上现有数据基础架构大多基于关系型数据库和SQL查询Facebook诞生了Hive2.Hive是什么官网：https://hive.ap
【机器学习笔记Ⅰ】7 向量化巴伦是只猫机器学习机器学习笔记人工智能
向量化（Vectorization）详解向量化是将数据或操作转换为向量（或矩阵）形式，并利用并行计算高效处理的技术。它是机器学习和数值计算中的核心优化手段，能显著提升代码运行效率（尤其在Python中避免显式循环）。1.为什么需要向量化？(1)传统循环的缺陷低效：Python的for循环逐元素操作，速度慢。代码冗长：需手动处理每个元素。示例：计算两个数组的点积（非向量化）a=[1,2,3]b=[4
【Python】memory_profiler 宅男很神经 python 开发语言
1.1引用计数与垃圾回收：Python的“贴身管家”与“清洁工”Python，特别是其标准实现CPython，其内存管理的核心是建立在一个优雅而高效的组合机制之上的：以引用计数为主，分代垃圾回收为辅。1.引用计数（ReferenceCounting）：主要的内存管家这是CPython内存管理的基石。其原理极其简单：CPython中的每一个对象（一个整数、一个列表、一个自定义类的实例），其内部都维护
JavaScript基础语法之变量声明和数据类型 AA-代码批发V哥 JavaScript javascript
JavaScript基础语法之变量声明和数据类型一、变量声明1.1变量声明的本质1.2三种声明方式对比（var/let/const）1.2.1var：函数作用域的“老派选手”1.2.2let：块级作用域的“新生代”1.2.3const：常量声明的“守护者”二、数据类型2.1原始数据类型（PrimitiveTypes）2.1.1字符串（String）2.1.2数值（Number）2.1.3布尔（Bo
Android PNG/JPG图ARGB_8888/RGB_565‌解码形成Bitmap在物理内存占用大小的简单计算
AndroidPNG/JPG图ARGB_8888/RGB_565‌解码形成Bitmap在物理内存占用大小的简单计算Android的Bitmap是一个用于表示图像数据的核心类，代表一张图片在内存中的存储，Bitmap存储了图像的像素信息数据。Bitmap把图像理解为像素点组成的二维矩阵，每个像素点存储对应位置的一系列ARGB值（透明度+红绿蓝通道）。Bitmap在内存中占用大小的关键计算公式：‌内存
深入解析Spring Boot与Kafka集成：构建高效消息驱动应用
深入解析SpringBoot与Kafka集成：构建高效消息驱动应用引言在现代分布式系统中，消息队列技术扮演着至关重要的角色。ApacheKafka作为一款高性能、分布式的消息队列系统，被广泛应用于实时数据处理、日志收集、事件驱动架构等场景。本文将深入探讨如何在SpringBoot应用中集成Kafka，构建高效的消息驱动应用。1.Kafka简介ApacheKafka是一个分布式流处理平台，具有高吞吐
项目中枚举与注解的结合使用飞翔的马甲 java enum annotation
前言：版本兼容，一直是迭代开发头疼的事，最近新版本加上了支持新题型，如果新创建一份问卷包含了新题型，那旧版本客户端就不支持，如果新创建的问卷不包含新题型，那么新旧客户端都支持。这里面我们通过给问卷类型枚举增加自定义注解的方式完成。顺便巩固下枚举与注解。一、枚举 1.在创建枚举类的时候，该类已继承java.lang.Enum类，所以自定义枚举类无法继承别的类，但可以实现接口。
【Scala十七】Scala核心十一：下划线_的用法 bit1129 scala
下划线_在Scala中广泛应用，_的基本含义是作为占位符使用。_在使用时是出问题非常多的地方，本文将不断完善_的使用场景以及所表达的含义 1. 在高阶函数中使用 scala> val list = List(-3,8,7,9) list: List[Int] = List(-3, 8, 7, 9) scala> list.filter(_ > 7) r
web缓存基础：术语、http报头和缓存策略 dalan_123 Web
对于很多人来说，去访问某一个站点，若是该站点能够提供智能化的内容缓存来提高用户体验，那么最终该站点的访问者将络绎不绝。缓存或者对之前的请求临时存储，是http协议实现中最核心的内容分发策略之一。分发路径中的组件均可以缓存内容来加速后续的请求，这是受控于对该内容所声明的缓存策略。接下来将讨web内容缓存策略的基本概念，具体包括如如何选择缓存策略以保证互联网范围内的缓存能够正确处理的您的内容，并谈论下
crontab 问题周凡杨 linux crontab unix
一： 0481-079 Reached a symbol that is not expected. 背景： */5 * * * * /usr/IBMIHS/rsync.sh
让tomcat支持2级域名共享session g21121 session
tomcat默认情况下是不支持2级域名共享session的，所有有些情况下登陆后从主域名跳转到子域名会发生链接session不相同的情况，但是只需修改几处配置就可以了。打开tomcat下conf下context.xml文件找到Context标签,修改为如下内容如果你的域名是www.test.com <Context sessionCookiePath="/path&q
web报表工具FineReport常用函数的用法总结（数学和三角函数）老A不折腾 Web finereport 总结
ABS ABS(number):返回指定数字的绝对值。绝对值是指没有正负符号的数值。 Number:需要求出绝对值的任意实数。示例: ABS(-1.5)等于1.5。 ABS(0)等于0。 ABS(2.5)等于2.5。 ACOS ACOS(number):返回指定数值的反余弦值。反余弦值为一个角度，返回角度以弧度形式表示。 Number:需要返回角
linux 启动java进程 sh文件墙头上一根草 linux shell jar
#!/bin/bash #初始化服务器的进程PId变量 user_pid=0; robot_pid=0; loadlort_pid=0; gateway_pid=0; ######### #检查相关服务器是否启动成功 #说明： #使用JDK自带的JPS命令及grep命令组合，准确查找pid #jps 加 l 参数，表示显示java的完整包路径 #使用awk，分割出pid
我的spring学习笔记5-如何使用ApplicationContext替换BeanFactory aijuans Spring 3 系列
如何使用ApplicationContext替换BeanFactory？ package onlyfun.caterpillar.device; import org.springframework.beans.factory.BeanFactory; import org.springframework.beans.factory.xml.XmlBeanFactory; import
Linux 内存使用方法详细解析 annan211 linux 内存 Linux内存解析
来源 http://blog.jobbole.com/45748/ 我是一名程序员，那么我在这里以一个程序员的角度来讲解Linux内存的使用。一提到内存管理，我们头脑中闪出的两个概念，就是虚拟内存，与物理内存。这两个概念主要来自于linux内核的支持。 Linux在内存管理上份为两级，一级是线性区，类似于00c73000-00c88000，对应于虚拟内存，它实际上不占用
数据库的单表查询常用命令及使用方法(-) 百合不是茶 oracle 函数单表查询
创建数据库; --建表 create table bloguser(username varchar2(20),userage number(10),usersex char(2)); 创建bloguser表,里面有三个字段 &nbs
多线程基础知识 bijian1013 java 多线程 thread java多线程
一．进程和线程进程就是一个在内存中独立运行的程序，有自己的地址空间。如正在运行的写字板程序就是一个进程。 “多任务”：指操作系统能同时运行多个进程（程序）。如WINDOWS系统可以同时运行写字板程序、画图程序、WORD、Eclipse等。线程：是进程内部单一的一个顺序控制流。线程和进程 a. 每个进程都有独立的
fastjson简单使用实例 bijian1013 fastjson
一.简介阿里巴巴fastjson是一个Java语言编写的高性能功能完善的JSON库。它采用一种“假定有序快速匹配”的算法，把JSON Parse的性能提升到极致，是目前Java语言中最快的JSON库；包括“序列化”和“反序列化”两部分，它具备如下特征：
【RPC框架Burlap】Spring集成Burlap bit1129 spring
Burlap和Hessian同属于codehaus的RPC调用框架，但是Burlap已经几年不更新，所以Spring在4.0里已经将Burlap的支持置为Deprecated,所以在选择RPC框架时，不应该考虑Burlap了。这篇文章还是记录下Burlap的用法吧，主要是复制粘贴了Hessian与Spring集成一文，【RPC框架Hessian四】Hessian与Spring集成
【Mahout一】基于Mahout 命令参数含义 bit1129 Mahout
1. mahout seqdirectory $ mahout seqdirectory --input (-i) input Path to job input directory(原始文本文件). --output (-o) output The directory pathna
linux使用flock文件锁解决脚本重复执行问题 ronin47 linux lock　重复执行
linux的crontab命令，可以定时执行操作，最小周期是每分钟执行一次。关于crontab实现每秒执行可参考我之前的文章《linux crontab 实现每秒执行》现在有个问题，如果设定了任务每分钟执行一次，但有可能一分钟内任务并没有执行完成，这时系统会再执行任务。导致两个相同的任务在执行。例如： <? // test .php
java-74-数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 bylijinnan java
public class OcuppyMoreThanHalf { /** * Q74 数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 * two solutions: * 1.O(n) * see <beauty of coding>--每次删除两个不同的数字，不改变数组的特性 * 2.O(nlogn) * 排序。中间
linux 系统相关命令 candiio linux
系统参数 cat /proc/cpuinfo cpu相关参数 cat /proc/meminfo 内存相关参数 cat /proc/loadavg 负载情况性能参数 1）top M：按内存使用排序 P：按CPU占用排序 1：显示各CPU的使用情况 k：kill进程 o：更多排序规则回车：刷新数据 2）ulimit ulimit -a：显示本用户的系统限制参
[经营与资产]保持独立性和稳定性对于软件开发的重要意义 comsci 软件开发
一个软件的架构从诞生到成熟，中间要经过很多次的修正和改造如果在这个过程中，外界的其它行业的资本不断的介入这种软件架构的升级过程中那么软件开发者原有的设计思想和开发路线
在CentOS5.5上编译OpenJDK6 Cwind linux OpenJDK
几番周折终于在自己的CentOS5.5上编译成功了OpenJDK6，将编译过程和遇到的问题作一简要记录，备查。 0. OpenJDK介绍 OpenJDK是Sun（现Oracle）公司发布的基于GPL许可的Java平台的实现。其优点： 1、它的核心代码与同时期Sun（-> Oracle）的产品版基本上是一样的，血统纯正，不用担心性能问题，也基本上没什么兼容性问题；（代码上最主要的差异是
java乱码问题 dashuaifu java乱码问题 js中文乱码
swfupload上传文件参数值为中文传递到后台接收中文乱码在js中用setPostParams（{"tag" : encodeURI( document.getElementByIdx_x("filetag").value，"utf-8")}）; 然后在servlet中String t
cygwin很多命令显示command not found的解决办法 dcj3sjt126com cygwin
cygwin很多命令显示command not found的解决办法修改cygwin.BAT文件如下 @echo off D: set CYGWIN=tty notitle glob set PATH=%PATH%;d:\cygwin\bin;d:\cygwin\sbin;d:\cygwin\usr\bin;d:\cygwin\usr\sbin;d:\cygwin\us
[介绍]从 Yii 1.1 升级 dcj3sjt126com PHP yii2
2.0 版框架是完全重写的，在 1.1 和 2.0 两个版本之间存在相当多差异。因此从 1.1 版升级并不像小版本间的跨越那么简单，通过本指南你将会了解两个版本间主要的不同之处。如果你之前没有用过 Yii 1.1，可以跳过本章，直接从"入门篇"开始读起。请注意，Yii 2.0 引入了很多本章并没有涉及到的新功能。强烈建议你通读整部权威指南来了解所有新特性。这样有可能会发
Linux SSH免登录配置总结 eksliang ssh-keygen Linux SSH免登录认证 Linux SSH互信
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2187265 一、原理我们使用ssh-keygen在ServerA上生成私钥跟公钥，将生成的公钥拷贝到远程机器ServerB上后,就可以使用ssh命令无需密码登录到另外一台机器ServerB上。生成公钥与私钥有两种加密方式，第一种是
手势滑动销毁Activity gundumw100 android
老是效仿ios，做android的真悲催！有需求：需要手势滑动销毁一个Activity 怎么办尼？自己写？不用~，网上先问一下百度。结果： http://blog.csdn.net/xiaanming/article/details/20934541 首先将你需要的Activity继承SwipeBackActivity，它会在你的布局根目录新增一层SwipeBackLay
JavaScript变换表格边框颜色 ini JavaScript html Web html5 css
效果查看：http://hovertree.com/texiao/js/2.htm代码如下，保存到HTML文件也可以查看效果： <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title>表格边框变换颜色代码-何问起</title> </head> <body&
Kafka Rest : Confluent kane_xie kafka REST confluent
最近拿到一个kafka rest的需求，但kafka暂时还没有提供rest api（应该是有在开发中，毕竟rest这么火），上网搜了一下，找到一个Confluent Platform，本文简单介绍一下安装。这里插一句，给大家推荐一个九尾搜索，原名叫谷粉SOSO，不想fanqiang谷歌的可以用这个。以前在外企用谷歌用习惯了，出来之后用度娘搜技术问题，那匹配度简直感人。环境声明：Ubu
Calender不是单例 men4661273 单例 Calender
在我们使用Calender的时候，使用过Calendar.getInstance()来获取一个日期类的对象，这种方式跟单例的获取方式一样，那么它到底是不是单例呢，如果是单例的话，一个对象修改内容之后，另外一个线程中的数据不久乱套了吗？从试验以及源码中可以得出，Calendar不是单例。测试： Calendar c1 =
线程内存和主内存之间联系 qifeifei java thread
1， java多线程共享主内存中变量的时候，一共会经过几个阶段， lock:将主内存中的变量锁定，为一个线程所独占。 unclock:将lock加的锁定解除，此时其它的线程可以有机会访问此变量。 read:将主内存中的变量值读到工作内存当中。 load:将read读取的值保存到工作内存中的变量副本中。
schedule和scheduleAtFixedRate tangqi609567707 java timer schedule
原文地址：http://blog.csdn.net/weidan1121/article/details/527307 import java.util.Timer;import java.util.TimerTask;import java.util.Date; /** * @author vincent */public class TimerTest {
erlang 部署 wudixiaotie erlang
1.如果在启动节点的时候报这个错： {"init terminating in do_boot",{'cannot load',elf_format,get_files}} 则需要在reltool.config中加入 {app, hipe, [{incl_cond, exclude}]}, 2.当generate时，遇到： ERROR

$V_{1},V_{2}$ 是 $V^{F}$ 的子空间，则以下几条等价	$V_{i}$ 是 $V^{F}$ 的子空间 $\left ( i= 1,2,...,s \right )$ ，则以下几条等价
零向量表示唯一	零向量表示唯一
$V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}$	$V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}$
$dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}$	$dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}$
$V_{1}+V_{2}$ 是直和	$V_{1}+...+V_{s}$ 是直和