python进行敏感性分析（SALib库)
什么是敏感性分析
敏感性分析（sensitivity analysis）是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化对某一个或一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。每个输入的灵敏度用某个数值表示即敏感性指数（sensitivity index）
敏感性指数包括以下几种：
- 一阶指数：度量单个模型输入对输出方差的贡献
- 二阶指数：度量两个模型输入的相互作用对输出方差的贡献
- 总阶指数：度量模型输入对输出方差的贡献，包括一阶及更高阶
什么是SALib
SALib是一个基于python进行敏感性分析的开源库，SALib提供一个解耦的工作流，意味着它不直接与数学或计算模型交互，SALib 负责使用其中一个采样函数（sample functions）生成模型输入，并使用其中一个分析函数（analyze functions）计算模型输出的灵敏度指数。使用 SALib 进行敏感性分析遵循四个步骤：
- 确定模型输入（参数）及采样范围
- 运行采样函数生成模型输入
- 使用生成的输入评估模型，保存模型输出
- 基于模型输出运行分析函数计算敏感性指数
SALib提供了几种灵敏度分析函数，如Sobol，Morris和FAST。有许多因素决定了哪种方法适用于特定应用。但是无论选择哪种方法，都只需要用到两种函数：sample，analyze
案例1
对Ishigami function进行Sobol敏感性分析，因为Ishigami函数表现出很强的非线性和非单调性，所以常用来测试不确定性和敏感性分析方法
1.导入库
SALib的采样和分析存储在不同的模块中，例如导入saltelli采样函数和sobol分析函数，使用Ishigami作为测试函数，numpy用于存储模型输入和输出
from SALib.sample import saltelli
from SALib.analyze import sobol
from SALib.test_functions import Ishigami
import numpy as np
2.定义模型输入
Ishigami函数有三个输入： x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2, x 3 x_3 x3。每个变量取值[ π \pi π, − π -\pi −π]。定义一个参数的字典包括输入数量，输入名称，每个输入的边界
problem = {
'num_vars':3,
'names':['x1','x2','x3'],
'bounds':[[-3.14159265359, 3.14159265359],
[-3.14159265359, 3.14159265359],
[-3.14159265359, 3.14159265359]]
}
3.生成样本
使用saltelli生成样本
param_values = saltelli.sample(problem,1024)
param_values是一个numpy矩阵，其大小为(8192, 3)，saltelli会生成N*(2D+2)个样本，其中N=1024（传入参数），D=3（模型输入数量）。参数calc_second_order=False表示不包括二阶指数，采样数变为N*(D+2)
param_values
array([[-3.13238877, -0.77619428, -0.32827189],
[-0.08283496, -0.77619428, -0.32827189],
[-3.13238877, 0.3589515 , -0.32827189],
...,
[-0.93572828, 0.80073797, 0.99095159],
[-0.93572828, 0.81914574, 2.70901007],
[-0.93572828, 0.81914574, 0.99095159]])
param_values.shape
(8192, 3)
4.运行模型
SALib不直接参与数学或计算模型的评估，如果模型是用python书写，可以直接循环遍历每个样本输入和评估模型
Y = np.zeros([param_values.shape[0]])
for i,X in enumerate(param_values):
Y[i] = evaluate_model(X)
如果模型不是python书写，可以保存模型的输入输出
np.savetext('param_values.txt',param_values)
Y = np.loadtxt('outputs.txt',float)
本例中使用Ishigami函数评估样本数据
Y = Ishigami.evaluate(param_values)
Y
array([ 3.426362 , 3.3527401 , 0.85463176, ..., 2.72470174,
-1.40463805, 2.85339365])
5.分析
在得到模型的输出后可以计算敏感性指数。本例中使用sobol.analyze，会计算一阶，二阶和总阶指数
Si = sobol.analyze(problem,Y,print_to_console=True)
ST ST_conf
x1 0.555860 0.080045
x2 0.441898 0.034177
x3 0.244675 0.025569
S1 S1_conf
x1 0.316832 0.068707
x2 0.443763 0.046636
x3 0.012203 0.064176
S2 S2_con
(x1, x2) 0.009254 0.093058
(x1, x3) 0.238172 0.111655
(x2, x3) -0.004888 0.066105
Si是一个字典，关键词有"S1", “S2”, “ST”, “S1_conf”, “S2_conf”, and “ST_conf”。_conf存储相应的置信区间，置信水平在95%。可以使用print_to_console=True 打印所有的指数，或者直接取键值。
Si
{'S1': array([0.31683154, 0.44376306, 0.01220312]),
'S1_conf': array([0.06314249, 0.05230396, 0.05764901]),
'ST': array([0.55586009, 0.44189807, 0.24467539]),
'ST_conf': array([0.08582851, 0.04184123, 0.02424759]),
'S2': array([[ nan, 0.00925429, 0.23817211],
[ nan, nan, -0.0048877 ],
[ nan, nan, nan]]),
'S2_conf': array([[ nan, 0.08325501, 0.10813299],
[ nan, nan, 0.06117807],
[ nan, nan, nan]])}
print(Si['S1'])
[0.31683154 0.44376306 0.01220312]
可以看出x1和x2表现出了一阶灵敏性，但是x3没有一阶效应
如果总阶指数基本上比一阶指数大，则可能发生了高阶交互作用，可以查看二阶指数
print('x1-x2:',Si['S2'][0,1])
print('x1-x3:',Si['S2'][0,2])
print('x2-x3:',Si['S2'][1,2])
x1-x2: 0.00925429303490799
x1-x3: 0.2381721095685646
x2-x3: -0.004887704633467273
x1和x3之间有较强的交互，有时也会出现计算误差，如x2-x3指数为负，随着样本的增加，这些误差会缩小。
输出也可以变成Pandas DataFrame从而进行其它分析
total_si,first_si,second_si = Si.to_df()
second_si
6.绘图
为了方便起见，SALib提供了基本的绘图功能
Si.plot()
案例2
当你想要分析的模型依赖于不是敏感性分析的参数（如位置和时间），则可以单独对每个时间/位置进行分析。以抛物线函数为例
参数a，b将接受敏感性分析，但是x不会
首先导入需要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from SALib.sample import saltelli
from SALib.analyze import sobol
定义抛物线函数
def parabola(x,a,b):
return a + b*x**2
字典描述只包含a，b的问题
problem = {
'num_vars':2,
'names':['a','b'],
'bounds':[[0,1]]*2
}
采样，评估，分析。此例中选举100个x的取值，针对需要进行敏感性分析的a,b的每个样本（共384个）计算y值，因此y的大小为(384, 100)
param_values = saltelli.sample(problem,2**6)
print(param_values.shape)
(384, 2)
x = np.linspace(-1,1,100)
y = np.array([parabola(x,*params) for params in param_values])
print(x.shape)
print(y.shape)
(100,)
(384, 100)
print(y)
[[0.421875 0.40593913 0.39032847 ... 0.39032847 0.40593913 0.421875 ]
[1.21875 1.20281413 1.18720347 ... 1.18720347 1.20281413 1.21875 ]
[0.859375 0.82594091 0.79318915 ... 0.79318915 0.82594091 0.859375 ]
...
[0.640625 0.61531508 0.59052169 ... 0.59052169 0.61531508 0.640625 ]
[1.21875 1.19219021 1.16617246 ... 1.16617246 1.19219021 1.21875 ]
[1.1875 1.16219008 1.13739669 ... 1.13739669 1.16219008 1.1875 ]]
此例中的敏感性指数是一个长度为100的列表，每个元素是一个如上例中的字典
sobol_indices = [sobol.analyze(problem,Y) for Y in y.T]
sobol_indices[0]
{'S1': array([0.49526584, 0.49526584]),
'S1_conf': array([0.17061222, 0.21853518]),
'ST': array([0.49745084, 0.49672251]),
'ST_conf': array([0.15376801, 0.16325137]),
'S2': array([[ nan, 0.00436999],
[ nan, nan]]),
'S2_conf': array([[ nan, 0.39998034],
[ nan, nan]])}
len(sobol_indices)
100
接下来单独分析每个x对应的指数，提取一阶指数绘图
# 提取100个a,b一阶指数
S1s = np.array([s['S1'] for s in sobol_indices])
fig = plt.figure(figsize=(10,6),constrained_layout = True)
gs = fig.add_gridspec(2,2)
ax0 = fig.add_subplot(gs[:,0])
ax1 = fig.add_subplot(gs[0,1])
ax2 = fig.add_subplot(gs[1,1])
for i,ax in enumerate([ax1,ax2]):
ax.plot(x,S1s[:,i],
label=r'S1$_\mathregular{{{}}}$'.format(problem["names"][i]),
color = 'black')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('First-order Sobol index')
ax.set_ylim(0,1.04)
ax.yaxis.set_label_position("right")
ax.yaxis.tick_right()
ax.legend(loc='upper right')
ax0.plot(x,np.mean(y,axis=0),label="Mean", color='black')
prediction_interval = 95
ax0.fill_between(x,
np.percentile(y, 50 - prediction_interval/2., axis=0),
np.percentile(y, 50 + prediction_interval/2., axis=0),
alpha=0.5, color='black',
label=f"{prediction_interval} % prediction interval")
ax0.set_xlabel("x")
ax0.set_ylabel("y")
ax0.legend(title=r"$y=a+b\cdot x^2$",
loc='upper center')._legend_box.align = "left"
plt.show()
左图为每个x对应不同a,b取值下y的均值以及95%置信区间，右图为参数a,b的一阶指数。由图可知，在x=0时，y完全由参数a决定，参数b由于x而消失，x的绝对值越大，参数b对变化贡献越大，参数a相应越小