【概率论基础进阶】数理统计的基本概念-常用统计分布

${\chi }^2$分布

定义：设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立且均服从标准正态分布$N(0,1)$，则称随机变量
$${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$$
服从自由度为$n$的${\chi }^2$分布，记作${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$

$n$个相互独立标准正态随机变量的平方和${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$称为${\chi }^2(n)$的典型模式

性质

设${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，对给定$\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件
$$P\left\{{\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n)\right\}={\int }_{{\chi }_{\alpha }^2(n)}^{+\infty }f(x)dx=\alpha$$
的点${\chi }_{\alpha }^2(n)$为${\chi }^2(n)$分布的上$\alpha$分位点，如下图所示

对不同的$\alpha$和$n$，${\chi }_{\alpha }^2$通常通过查表求得

设${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则$E({\chi }^2)=n,D({\chi }^2)=2n$
设${\chi }_1^2\sim {\chi }^2(n_1),{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_2)$，且${\chi }_1^2$和${\chi }_2^2$相互独立，则${\chi }_1^2+{\chi }_2^2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$

例1：已知${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则$E({\chi }^4)=()$

$$E({\chi }^4)=D({\chi }^2)+[E({\chi }^2){]}^2=2n+n^2$$

$t$分布

定义：设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$，则称随机变量服从自由度为$n$的$t$分布，记作$T\sim t(n)$

满足$X,Y$独立，$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$三条件的$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$称为$t(n)$的典型模式

性质

$t$分布的概率密度$f(x)$是偶函数，即
$$f(x)=f(-x)$$
且当$n$充分大时，$t(n)$分布近似于$N(0,1)$分布

设$T\sim t(n)$，对给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件
$$P\left\{T>t_{\alpha }(n)\right\}={\int }_{t_{\alpha }(n)}^{+\infty }f(x)dx=\alpha$$
的点$t_{\alpha }(n)$为$t(n)$分布的上$\alpha$分位点

由于$t(n)$分布的概率密度为偶函数，可知$t$分布的双侧$\alpha$分位点$t_{\alpha /2}(n)$，有
$$P\left\{|T|>t_{\alpha /2}(n)\right\}=\alpha$$

如图，由对称性可知
$$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$$

$F$分布

定义：设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$，则称随机变量
$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$$
服从自由度为$(n_1,n_2)$的$F$分布，记作$F\sim F(n_1,n_2)$，其中$n_1$和$n_2$分别称为第一自由度和第二自由度

满足$X,Y$独立，$X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$三条件的$\begin{array}{r}F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\end{array}$称为$F(n_1,n_2)$的典型模式

性质

设$F\sim F(n_1,n_2)$，对给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，称满足条件
$$P\left\{F>F_{\alpha }(n_1,n_2)\right\}={\int }_{F_{\alpha }(n_1,n_2)}^{+\infty }f(x)dx=\alpha$$
的点$F_{\alpha }(n_1,n_2)$为$F(n_1,n_2)$分布的上$\alpha$分位点

如果$F\sim F(n_1,n_2)$，则$\begin{array}{r}\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)\end{array}$，且有
$$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$
证明：
$$\begin{array}{rl}1-\alpha & =P\left\{F>F_{1-\alpha }(n_1,n_2)\right\}\\ & =P\left\{\frac{1}{F}<\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)}\right\}\\ & =1-P\left\{\frac{1}{F}\ge \frac{1}{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)}\right\}\\ & =1-P\left\{\frac{1}{F}>\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)}\right\}\end{array}$$
有$\begin{array}{r}P\left\{\frac{1}{F}>\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)}\right\}=\alpha \end{array}$，又根据$F$分布的性质，有
$$P\left\{\frac{1}{F}>F_{\alpha }(n_2,n_1)\right\}=\alpha$$
因此$\begin{array}{r}\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)}=F_{\alpha }(n_2,n_1)\end{array}$

正态总体的抽验分布

一个正态总体

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体的样本，样本均值为$\bar{X}$，样本方差为$S^2$，则有：

• $\begin{array}{r}\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}),U=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)\end{array}$
• $\bar{X}$与$S^2$相互独立，且$\begin{array}{r}{\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)\end{array}$
• $\begin{array}{r}T=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}/\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2(n-1)}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\end{array}$
• $\begin{array}{r}{\chi }^2=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)\end{array}$

两个正态总体

$X\sim N(\mu ,{\sigma }_1^2)$和$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}$和$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}$是分别来自总体 $X$和$Y$的样本且相互独立，样本均值分别为$\bar{X}$和$\bar{Y}$，样本方差分别为$S_1^2$和$S_2^2$，则有

• $\begin{array}{r}\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}\right),U=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)\end{array}$
• 如果${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，则
  $$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$
  其中$\begin{array}{r}{S}_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\end{array}$
• $\begin{array}{r}F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\end{array}$

若$X$与$Y$相互独立$X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$，则
$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)$$
称为自由度为$n_1,n_2$的$F$分布

例1：设总体$X$的概率密度$\begin{array}{r}f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|},-\infty <x<+\infty ,X_1,X_2,\cdots ,X_n\end{array}$为总体$X$的简单随机样本，其样本方差为$S^2$，则$E(S^2)=()$

$$\begin{array}{rl}E(S^2)& =D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2\\ EX& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx=0\\ E(X^2)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-|x|}dx\\ & =2{\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{-x}dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-x}dx=2\end{array}$$
因此$E(S^2)=2$

例2：$X_1,X_2,X_3,X_4$为来自总体$N(1,{\sigma }^2)(\sigma >0)$的简单随机样本，证明统计量$\begin{array}{r}\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}\sim t(1)\end{array}$

$$\begin{array}{rl}{X}_1-X_2\sim N(0,2{\sigma }^2)& \Rightarrow \frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)\\ X_3+X_4-2\sim N(0,2{\sigma }^2)& \Rightarrow \frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)\\ & \Rightarrow {\left(\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(1)\end{array}$$
$X_1-X_2$与$X_3+X_4-2$相互独立，$\begin{array}{r}\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }\end{array}$与$\begin{array}{r}{\left(\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma }\right)}^2\end{array}$也相互独立，综上所述，记
$$\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}=\frac{\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }}{\sqrt{{\left(\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma }\right)}^2/1}}=\frac{X}{\sqrt{Y/1}}$$
其中$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(1)$，且$X$与$Y$相互独立，因此$\begin{array}{r}\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}\sim t(1)\end{array}$

例3：设总体$X$和$Y$均服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2),\sigma >0,X_1,X_2,\cdots ,X_n$和$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$分别是来自总体$X$和$Y$的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为$S_X^2$和$S_Y^2$，则统计量$\begin{array}{r}T=\frac{n-1}{{\sigma }^2}(S_X^2+S_Y^2)\end{array}$服从的分布及参数为（）

$$\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}_X^2\sim {\chi }^2(n-1),\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}_Y^2\sim {\chi }^2(n-1)$$
又因为它们相互独立，故
$$\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}_X^2+\frac{n-1}{{\sigma }^2}{S}_Y^2=\frac{n-1}{{\sigma }^2}(S_X^2+S_Y^2)\sim {\chi }^2(2n-2)$$

例9：设随机变量$X\sim t(n),Y\sim F(1,n)$，给定$\alpha (0<\alpha <0.5)$，常数$c$满足$P\left\{X>c\right\}=a$，则$P\left\{Y>c^2\right\}=()$

$$X=\frac{X_1}{\sqrt{Y_1/n}},其中X_1\sim N(0,1);Y_1\sim {\chi }^2(n);二者相互独立$$
因为$t$分布的密度函数是偶函数，所以对给定的$\alpha$，常数$c$满足$P\left\{X>c\right\}=P\left\{X<-c\right\}=a$。又有
$$X^2=\frac{X_1^2}{Y_1/n},其中X_1^2\sim {\chi }^2(1);Y_1^2\sim {\chi }^2(n);二者相互独立$$
因此$X^2\sim F(1,n)$，因此有
$$P\left\{Y>c^2\right\}=P\left\{X^2>c^2\right\}=P\left\{X>c\right\}+P\left\{X<-c\right\}=2\alpha$$

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记