连续时间随机游走（Continuous-time random walk, CTRW）

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在数学中，连续时间随机游走（Continuous-time random walk, CTRW）是随机游走的推广，其中游荡粒子在跳跃之间等待随机时间。 这是一个随机跳跃过程，跳跃长度和等待时间分布任意。更一般地说，它可以看作是马尔可夫更新过程（Markov renewal process）的一个特例。

CTRW 由 Montroll 和 Weiss 引入，作为物理扩散过程的推广，以有效描述异常扩散（anomalous diffusion），即超扩散和亚扩散情况（super- and sub-diffusive cases）。 CTRW 的等效公式由广义主方程给出。已经建立了 CTRW 和具有分数时间导数的扩散方程之间的联系。类似地，时空分数扩散方程可以被认为是具有连续分布跳跃的 CTRW 或格上 CTRW 的连续近似。

1. 表达式

考虑由下式定义的随机过程 $X(t)$：

$$X(t)=X_0+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_i$$

其增量 $\Delta X_i$ 是 iid（Independent and identically distributed random variables） 随机变量，取值域为 $\Omega$，$N(t)$ 是区间 $(0,t)$ 内的跳跃次数。在时间 $t$ 取值 $X$ 的过程的概率由下式给出

$$P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_n(X)$$

这里 $P_n(X)$ 是过程在 $n$ 次跳跃后取值 $X$ 的概率，并且 $P(n,t)$ 是在时间 $t$ 之后 $n$ 次跳跃的概率。

2. Montroll-Weiss 公式

我们用 $\tau$ 表示 $N(t)$ 的两次跳跃之间的等待时间，用 $\psi (\tau )$ 表示它的分布。$\psi (\tau )$ 的拉普拉斯变换定义为：

$$\tilde{\psi }(s)={\int }_0^{\infty }\mathrm{d}\tau e^{-\tau s}\psi (\tau )$$

类似地，跳跃分布 $f(\Delta X)$ 的特征函数由其傅里叶变换给出：

$$\hat{f}(k)={\int }_{\Omega }\mathrm{d}(\Delta X)e^{ik\Delta X}f(\Delta X)$$

可以证明概率 $P(X,t)$ 的拉普拉斯-傅里叶变换由下式给出：

$$\hat{\tilde{P}}(k,s)=\frac{1-\tilde{\psi }(s)}{s}\frac{1}{1-\tilde{\psi }(s)\hat{f}(k)}$$

上式称为 Montroll-Weiss 公式。

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• 参考文献

wiki: Continuous-time random walk

wiki: Stochastic process