【二叉树】
佬们，今天向大家分享的是二叉树的一些知识点以及相关的简单习题，如果哪儿有什么不对的地方欢迎指出哦。
目录
1 树的概念及结构
1.1 树的概念（了解）
1.2 树的表示
1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
2 二叉树概念及结构
2.1 二叉树的概念
2.2 现实中的二叉树
2.3数据结构中的二叉树
2.4特殊的二叉树
2.5 二叉树的存储结构
2.6 二叉树的链式结构
2.61 二叉树的前中后序遍历
2.62 二叉树的层序遍历
3 二叉树相关题练习
1 树的概念及结构
1.1 树的概念（了解）
- 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它 叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集 合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
- 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以 有0个或多个后继 。因此，树是递归定义的
接下来我们看一个图：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图： A 的为 6 。叶节点或终端节点：度为 0 的节点称为叶节点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点 。非终端节点或分支节点：度不为 0 的节点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点 。双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B的父节点 。孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点 。兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点 。树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6 。节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推。树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为 4 。节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先 。子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙 。森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的多颗树的集合称为森林。
1.2 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子 兄弟表示法 。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};图形展示：
1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）
2 二叉树概念及结构
2.1 二叉树的概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。特点：1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
2.2 现实中的二叉树
2.3数据结构中的二叉树
2.4特殊的二叉树
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K ，且结点总数是 (2^k) -1 ，则它就是满二叉树。2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号 从 1 至 n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
顺序结构是用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。（这篇博客重点讲解二叉树的链式结构，堆会在后面单独出一篇博客讲解）
2.6 二叉树的链式结构
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩 子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都 是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}2.61 二叉树的前中后序遍历
二叉树一般不进行增删查改操作，（堆的话可以，这里就不多说了）一般就进行前中后序，以及求树的高度等。
1. NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
在进行前序遍历之前我们的自己构建一个二叉树：
BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (A)
{
A->left = NULL;
A->right = NULL;
A->val = 'A';
}
BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (B)
{
B->left = NULL;
B->right = NULL;
B->val = 'B';
}
BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (C)
{
C->left = NULL;
C->right = NULL;
C->val = 'C';
}
BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (D)
{
D->left = NULL;
D->right = NULL;
D->val = 'D';
}
BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (E)
{
E->left = NULL;
E->right = NULL;
E->val = 'E';
}
BTNode* F = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (F)
{
F->left = NULL;
F->right = NULL;
F->val = 'F';
}
BTNode* G = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (G)
{
G->left = NULL;
G->right = NULL;
G->val = 'G';
}
BTNode* H = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (H)
{
H->left = NULL;
H->right = NULL;
H->val = 'H';
}
A->left = B;
A->right = C;
B->left = D;
B->right = E;
E->right = H;
C->left = F;
C->right = G;
前序遍历的代码：
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%c ", root->val);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
这里我们用了分治的思想来处理问题，先访问根（打印结点上的数据），然后访问左子树，访问右子树，不断递归下去，直到访问到NULL。
来看看结果：
同理，中序遍历和后序遍历也是一样的方法：
2. LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
具体代码：
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%c ", root->val);
InOrder(root->right);
}结果展示：
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
具体代码：
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%c ", root->val);
InOrder(root->right);
}结果展示：
求结点的个数：
具体代码：
int NodeSize(BTNode* root)
{
return root == NULL ? 0 : NodeSize(root->left) + NodeSize(root->right) + 1;
}这种方法求解节点的个数是比较简洁的，你也可以用count计数，但是要传入地址，还有尽量不要用全局变量，这样做可能会有隐患。如果不太理解上面递归是怎样实现的，最好画递归图来帮助理解。
求叶子结点的个数：
具体代码：
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}大体思路与求结点总数类似，都是采用了分治的思想。
求二叉树的最大深度：
具体代码：
int maxDepth(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
return 0;
}
int maxLeft=maxDepth(root->left);
int maxRight=maxDepth(root->right);
return maxLeft>maxRight?maxLeft+1:maxRight+1;
}注意这里求的是最大深度，不是结点个数，只需要统计出最大值就好了。
2.62 二叉树的层序遍历
层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然 后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问 树的结点的过程就是层序遍历。
二叉树的层序遍历这里我们用队列来实现：
具体思路：
先让根入队列，然后再让根出队列，当左子树不为NULL时让左子树入队列，当右子树不为NULL时让右子树入队列，然后不断迭代下去，直至队列为空。记得出队列前要保存当前值来访问到该元素，pop到队列当中的值是地址，通过该地址来访问其中的val.
具体代码：
void LevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root)
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
printf("%c ", front->val);
if (front->left)
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
}
printf("\n");
QueueDestroy(&q);
}当然，自己要实现一个队列：具体实现方法可以参照上一篇博客：戳这里
结果展示：
3 二叉树相关题练习
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）A 不存在这样的二叉树B 200C 198D 199
解题思路：
这里我们引用二叉树的一些性质：
1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h- 1。3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 n0, 度为 2 的分支结点个数为 n2, 则有 n0＝n2＋1 。4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h=LogN。
这里用第三个性质可以知道该题选B
2. 在具有 2 n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）A nB n + 1C n - 1D n / 2
解题思路：
这个题我们不妨假设叶子结点个数为x,则度为2的结点个数为x-1,由于题目给的是完全二叉树，所以度为1的结点个数只能为0或者1，则由已知条件可列：x+x-1+0（1）=x,由于n只能是整数，所以度为1的结点个数只能取1，故x=n,选A.
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为( )
A 11B 10C 8D 12
解题思路：
我们不妨假设这棵树的高度为x,最后一层缺失的结点个数为y,则y的取值为[0,2^(h-1)-1],
由已知可列：2^h-1-y=531,结合y的取值我们可以代值进去，选项B符合题意。
4. 二叉树的前序遍历
解题思路：
为了空间的不浪费，我们首先求出该树的结点个数，通过该节点个数来malloc想要的空间大小，由于我们想要把数据存放到数组中，所以为了不重复malloc，我们分装了一个函数来帮助我们完成前序遍历。
具体代码：
int TreeSize(struct TreeNode* root) {
return root==NULL?0:TreeSize(root->left)+TreeSize(root->right)+1;
}
PrevOrder(struct TreeNode* root,int*a,int*pc) {
if(root==NULL)
return ;
a[*pc]=root->val;
(*pc)++;
PrevOrder(root->left,a,pc) ;
PrevOrder(root->right,a,pc) ;
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){
int sz=TreeSize(root);
int* a=(int*)malloc(sizeof(int)*sz);
int count=0;
PrevOrder(root,a,&count);
* returnSize=count;
return a;
}中序与后续遍历也是一样的分析方法，只是遍历的顺序不一样。
5. 平衡二叉树
解题思路：
平衡二叉树就是一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 ，我们可以求出左子树的最大高度以及右子树的最大高度来比较，然后不断递归下去，直至满足平衡二叉树的条件。
具体代码：
int maxDepth(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
return 0;
}
int maxLeft=maxDepth(root->left);
int maxRight=maxDepth(root->right);
return maxLeft>maxRight?maxLeft+1:maxRight+1;
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root){
if(root==NULL)
{
return true;
}
int leftDepth=maxDepth(root->left);
int rightDepth=maxDepth(root->right);
return abs(leftDepth-rightDepth)<2 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}好了，今天的分享就到这里了，希望大佬们多多支持下，如果哪里有什么不对的地方欢迎佬们评论区中指出哦。