矩形波的傅里叶级数及代码

问题：求如下矩形波的傅里叶级数

可见次矩形波的周期$T=1$。用傅里叶级数在区间$(0,1)$内拟合矩形波$f(t)$。

傅里叶级数公式

傅里叶级数的公式为：

其中，$t_0$表示周期起点，可以设置为0，$\omega =\frac{2\pi }{T}$。

下面求$a_n$和$b_n$。
设$t_0=0$，
$$\begin{array}{rl}& a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cos(n\omega t)dt\\ & =2{\int }_0^{1/2}dt\\ & =1\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)cos(n\omega t)dt\\ & =\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}cos(n\omega t)dt因为f(x)只在这个区间有值\\ & =\frac{2}{T}\frac{1}{n\omega }sin(n\omega t){|}_0^{T/2}定积分\\ & =\frac{1}{n\pi }sin(n\pi )\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)sin(n\omega t)dt\\ & =\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}sin(n\omega t)dt同理f(x)只在这个区间有值\\ & =\frac{2}{T}(-\frac{1}{n\omega })cos(n\omega t){|}_0^{T/2}定积分\\ & =\frac{1}{n\pi }(1-cos(n\pi ))\end{array}$$
所以：
$$\begin{array}{rl}& f(t)=a_0/2+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right)\\ & =1/2+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n\pi }sin(n\pi )cos(n\omega t)+\frac{1}{n\pi }(1-cos(n\pi ))sin(n\omega t)\right)\\ & =1/2+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\pi }\left(sin(2n\pi t)+sin(n\pi (1-2t))\right)\\ & \end{array}$$

绘图

根据上面求得的$f(x)$，对其进行绘图，设置不同的正弦波个数n，可以获得不同的拟合程度，n越大拟合的越好。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def polt(n=10):
    A0=1
    N = np.arange(1,n)
    F = []
    for t in np.linspace(0,0.99,100):
        n_pi = N*np.pi
        S = 1/n_pi*(np.sin(2*n_pi*t)+np.sin(n_pi*(1-2*t)))
        f_t = A0/2+np.sum(S)
        F.append(f_t)

    t = np.linspace(-1.1,1.1,1000)

    # 方波
    rec_wav = (abs(2*t%2)<1).astype('i')

    plt.figure(figsize=(10,10))
    ax = plt.gca()
    ax.set_aspect(1) # 设置坐标轴等长
    ax.spines['right'].set_color('none')
    ax.spines['top'].set_color('none')
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    ax.spines['left'].set_position(('data',0))

    ax.plot(np.linspace(0,0.99,100), F)
    ax.plot(t,rec_wav)
    plt.show()

• polt(n=5)
  

• polt(n=25)
  

• polt(n=50)
  
  █ 完。