UVa 10088 (Pick定理) Trees on My Island

这种1A的感觉真好

 1 #include <cstdio>

 2 #include <vector>

 3 #include <cmath>

 4 using namespace std;

 5 typedef long long LL;

 6 

 7 struct Point

 8 {

 9     LL x, y;

10     Point(LL x=0, LL y=0):x(x), y(y) {}

11 };

12 

13 Point operator - (const Point& A, const Point& B)

14 { return Point(A.x-B.x, A.y-B.y); }

15 

16 LL Cross(const Point& A, const Point& B)

17 { return A.x*B.y-A.y*B.x; }

18 

19 typedef vector<Point> Polygon;

20 

21 LL Area(const Polygon& p)

22 {

23     LL ans = 0;

24     int n = p.size();

25     for(int i = 1; i < n-1; i++) ans += Cross(p[i]-p[0], p[i+1]-p[0]);

26     return abs(ans/2);

27 }

28 

29 LL gcd(LL a, LL b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); }

30 

31 LL Boundary(const Polygon& p)

32 {

33     LL ans = 0;

34     int n = p.size();

35     for(int i = 0; i < n-1; i++)

36     {

37         LL a = abs(p[i+1].x - p[i].x);

38         LL b = abs(p[i+1].y - p[i].y);

39         ans += gcd(a, b);

40     }

41     ans += abs(gcd(p[n-1].x-p[0].x, p[n-1].y-p[0].y));

42     return ans;

43 }

44 

45 int main()

46 {

47     //freopen("in.txt", "r", stdin);

48     int n;

49     while(scanf("%d", &n) == 1 && n)

50     {

51         Polygon poly;

52         Point p;

53         for(int i = 0; i < n; i++)

54         {

55             scanf("%lld%lld", &p.x, &p.y);

56             poly.push_back(p);

57         }

58         LL A = Area(poly);

59         LL b = Boundary(poly);

60         printf("%lld\n", A - b/2 + 1);

61     }

62 

63     return 0;

64 }

代码君

 

假设平面上有一个顶点均为格点的单纯多边形(simple polygon)

其面积为A，边界上的格点数为b，内部格点数为i，则有恒等关系：

A = b/2 + i - 1

 

链接：

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_10_1/page4.html

从问题的抛出，从特殊情况开始猜想，然后修正，最后给出证明。写得很好。

但是没有证明里面提到的“原子三角形”面积为1/2的命题，难道这个是非常显然的吗？=_=||

维基百科：

http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

比较严格的证明，但没有上一篇通俗易懂。

 

http://www.cut-the-knot.org/ctk/Farey.shtmlFarey%20Series

这个证明没看，但是后面提到了Pick定理在Farey级数中的应用，留坑，以后再看。