softmax回归的从零开始实现(线性神经网络)

softmax回归的从零开始实现

就像从零开始实现线性回归一样， 我们认为softmax回归也是重要的基础，因此应该知道实现softmax回归的细节。

这次将使用刚刚在中引入的Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch                                       #引入torch包
from IPython import display                        #引入IPython的display方法，展示数据
from d2l import torch as d2l                      #加载d2l类包

batch_size = 256                                   #设置小批量数据为256个样本一组

#引入训练集与测试集，返回的集合形式为迭代数据
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。

原始数据集中的每个样本都是 $28\times 28$ 的图像。 在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。 在后续中，我们将讨论能够利用图像空间结构的特征， 但现在我们暂时只把每个像素位置看作一个特征。

回想一下，在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。 因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。

因此，权重将构成一个 $784\times 10$ 的矩阵， 偏置将构成一个 $1\times 10$ 的行向量。 与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

num_imputs = 784                                                   #每个样本的特征数
num_outputs = 10                                                   #输出类别总数

#随机初始化权重矩阵，参数均符合均值为0，标准差为0.01的正态分布
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_imputs,num_outputs), requires_grad=True) 
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)                   #初始化10个类别的偏置量0

定义softmax操作

在实现softmax回归模型之前，我们简要回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作。

如前所述， 给定一个矩阵X，我们可以对所有元素求和（默认情况下）。 也可以只求同一个轴上的元素，即同一列（轴0）或同一行（轴1）。 如果X是一个形状为(2, 3)的张量，我们对列进行求和， 则结果将是一个具有形状(3,)的向量。 当调用sum运算符时，我们可以指定保持在原始张量的轴数，而不折叠求和的维度。 这将产生一个具有形状(1, 3)的二维张量。

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])               #定义两个样本X
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)                    #分别对列、行求和

(tensor([[5., 7., 9.]]),
 tensor([[ 6.],
         [15.]]))

回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

1.对每个项求幂（使用exp）；

2.对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；

3.将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

在查看代码之前，我们回顾一下这个表达式：

$$softmax(X{)}_{ij}=\frac{exp(X_{ij})}{\sum _k(X_{ik})}$$

分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)                                            #每一个标量均求幂
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)                         #对每一行元素进行求和
    return X_exp/partition                                         #此处应用了广播机制

正如你所看到的，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。 此外，依据概率原理，每行总和为1。

X = torch.normal(0, 1, (2,5))                                       #生成标准正态分布的数据
X_prob = softmax(X)                                                 #对X矩阵做softmax变换
X_prob, X_prob.sum(1)                                               #输出softmax后的概率分布及和

(tensor([[0.0285, 0.3208, 0.3823, 0.1468, 0.1215],
         [0.1266, 0.2226, 0.1288, 0.2481, 0.2739]]),
 tensor([1.0000, 1.0000]))

注意，虽然这在数学上看起来是正确的，但我们在代码实现中有点草率。 矩阵中的非常大或非常小的元素可能造成数值上溢或下溢，但我们没有采取措施来防止这点。

定义模型

定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。 下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。 注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

#定义softmax回归模型
def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1,W.shape[0])), W) + b)

定义损失函数

接下来，我们实现交叉熵损失函数。

这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为目前分类问题的数量远远超过回归问题的数量。

回顾一下，交叉熵采用真实标签的预测概率的负对数似然。 这里我们不使用Python的for循环迭代预测（这往往是低效的），而是通过一个运算符选择所有元素。 下面，我们创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率， 以及它们对应的标签y。 有了y，我们知道在第一个样本中，第一类是正确的预测； 而在第二个样本中，第三类是正确的预测。 然后使用y作为y_hat中概率的索引， 我们选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。

y = torch.tensor([0, 2])                                          #真实的结果标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])          #预测结果的概率分布向量

#使用y作为y_hat中概率的索引, 输出结果对应的概率
y_hat[[0,1], y]

tensor([0.1000, 0.5000])

所以，我们现在只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。

#非常重要！！！交叉熵损失函数
def cross_entropy(y_hat, y):
    
    #使用y作为y_hat中概率的索引
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)

tensor([2.3026, 0.6931])

分类精度

给定预测概率分布y_hat，当我们必须输出硬预测（hard prediction）时， 我们通常选择预测概率最高的类。 许多应用都要求我们做出选择。如Gmail必须将电子邮件分类为“Primary（主要邮件）”、 “Social（社交邮件）”、“Updates（更新邮件）”或“Forums（论坛邮件）”。 Gmail做分类时可能在内部估计概率，但最终它必须在类中选择一个。

当预测与标签分类y一致时，即是正确的。 分类精度即正确预测数量与总预测数量之比。 虽然直接优化精度可能很困难（因为精度的计算不可导）， 但精度通常是我们最关心的性能衡量标准，我们在训练分类器时几乎总会关注它。

为了计算精度，我们执行以下操作。 首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。 我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。 然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。 最后，我们求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)                         #获取y_hat概率分布中的最大值的索引

    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y                           #对比预测标签与真实标签相等的数目

    return float(cmp.type(y.dtype).sum())                    #返回预测正确的数目

accuracy(y_hat, y)

1.0

我们将继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。 可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。 第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。 因此，这两个样本的分类精度率为0.5。

accuracy(y_hat, y) / len(y)

0.5

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):    #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net,torch.nn.Module):
        net.eval()                                             #将模型设置为评估模式
    
    metric = Accumulator(2)                                    #初始化累加器，用以存储样样本总数和预测正确总数
    
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:                                #迭代训练所有数据
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    
    return metric[0]/metric[1]                                #metric[0]代表预测正确的数，metric[1]代表预测总数m

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:
    #在n个变量上累加
    def __init__(self, n):                                                        #初始化 1*n 的向量，初始化均为0
        self.data = [0.0] * n
        
    def add(self, *args):
        self.data = [a+float(b) for a,b in zip(self.data, args)]                 #向累加器中添加预测正确的样本与全部样本
    
    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)                                        #重置累加器
        
    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]                                                    #返回累加器中的数据

由于我们使用随机权重初始化net模型， 因此该模型的精度应接近于随机猜测。 例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

evaluate_accuracy(net, test_iter)

0.0428

训练

如果你看过之前的线性回归实现， softmax回归的训练过程代码应该看起来非常眼熟。 在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。 首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。 请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

lr = 0.1

#优化器，不断地更新权重矩阵W和偏置量b的取值
def updater(batch_size):
    d2l.sgd([W,b], lr, batch_size)
    
    
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):
    """训练模型一个迭代周期"""
    
    #将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    
    for X, y in train_iter:
        
        y_hat = net(X)                                                   #计算预测值
        l = cross_entropy(y_hat, y)                                      #通过损失函数计算损失值
        
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
                
            updater.zero_grad()                                          #清空梯度
            l.mean.backward()                                            #求得损失的平均值，并反向传播计算W和b的梯度
            updater.step()                                               #更新新的参数W和b
                
        else:
            
            l.sum().backward()                                           #使用定制的优化器和损失函数，反向传播计算W和b的梯度
            updater(X.shape[0])                                          #更新参数权重矩阵W和偏置b
            
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())        #将损失值总数、训练准确度总和、样本数添加到累加器中
        
    
    #返回训练损失和训练精度
    return metric[0]/metric[2], metric[1]/metric[2]
        
    

在展示训练函数的实现之前，我们定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator， 它能够简化其余部分的代码。

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来我们实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。 该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):    #@save
    """训练模型"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[0,num_epochs], ylim=[0.3, 0.9], 
                       legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        
        #返回精度损失和训练精度
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        #测试集准确度
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        #添加迭代次数，精度损失、训练集与测试集的准确度
        animator.add(epoch+1, train_metrics+(test_acc,))
        
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

现在，我们训练模型10个迭代周期。 请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。 通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10

#参数分别为网络模型、训练集迭代器、测试集迭代器、交叉熵损失函数、迭代次数、优化方法
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

预测

现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。 给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def precict_ch3(net, test_iter, n=6):    #@save
    """预测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
        
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)                                                     #真实值与预测值
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(1))
    
    titles = [true+'\n'+pred for true,pred in zip(trues,preds)]                                #生成标题标签内容
    
    d2l.show_images(X[0:n].reshape((n,28,28)), 1, n, titles=titles[0:n])                        #绘制出所有图片
    

precict_ch3(net, test_iter)

小结

借助softmax回归，我们可以训练多分类的模型。

训练softmax回归循环模型与训练线性回归模型非常相似：先读取数据，再定义模型和损失函数，然后使用优化算法训练模型。大多数常见的深度学习模型都有类似的训练过程。