HBU-NNDL 实验三 线性回归

2.2 线性回归

回归：一个或多个自变量与因变量之间的关系之间建模的方法，经常用来表示输入和输出之间的关系
分类：预测数据属于一组类别的哪一个
一个简单的线性模型

• 线性回归是对n维输入的加权，外加偏差
• 使用平方损失来衡量预测值与真实值的差异（乘1/2为了求导方便，并没有太大影行）
• 线性回归有显示解
• 线性回归可以看成单层神经网络

2.2.1 数据集构建

首先，我们构造一个小的回归数据集。假设输入特征和输出标签的维度都为 1，需要被拟合的函数定义为：

def linear_func(x, w=1.2, b=0.5):
    y = w * x + b
    return y

此函数返回的是y = 1.2*x+0.5这个函数 

def create_toy_data(func, interval, sample_num, noise = 0.0, add_outlier = False, outlier_ratio = 0.001):
    """
    根据给定的函数，生成样本
    输入：
       - func：函数
       - interval： x的取值范围
       - sample_num： 样本数目
       - noise： 噪声均方差
       - add_outlier：是否生成异常值
       - outlier_ratio：异常值占比
    输出：
       - X: 特征数据，shape=[n_samples,1]
       - y: 标签数据，shape=[n_samples,1]
    """

    # 均匀采样
    # 使用paddle.rand在生成sample_num个随机数
    X = paddle.rand(shape = [sample_num]) * (interval[1]-interval[0]) + interval[0]
    y = func(X)

    # 生成高斯分布的标签噪声
    # 使用paddle.normal生成0均值，noise标准差的数据
    epsilon = paddle.normal(0,noise,paddle.to_tensor(y.shape[0]))
    y = y + epsilon
    if add_outlier:     # 生成额外的异常点
        outlier_num = int(len(y)*outlier_ratio)     #异常点个数
        if outlier_num != 0:
            # 使用paddle.randint生成服从均匀分布的、范围在[0, len(y))的随机Tensor
            outlier_idx = paddle.randint(len(y),shape = [outlier_num])  #随机生成异常点下标
            y[outlier_idx] = y[outlier_idx] * 5     #异常点数值为五倍数值
    return X, y

torch.rand()是均匀分布,torch.rand(*size, out=None, dtype=None)，因为rand()默认[0,1]范围不能指定范围，所以[m,n]范围内使用torch.rand()*(m-n)+n的范围

关于torch.normal()的用法：

一开始我仿照paddle的参数，epsilon = torch.normal(0.0,noise,torch.tensor(y.shape[0]))

出现如下报错：

TypeError: normal() received an invalid combination of arguments - got (float, int, Tensor), but expected one of:
 * (Tensor mean, Tensor std, *, torch.Generator generator, Tensor out)
 * (Tensor mean, float std, *, torch.Generator generator, Tensor out)
 * (float mean, Tensor std, *, torch.Generator generator, Tensor out)
 * (float mean, float std, tuple of ints size, *, torch.Generator generator, Tensor out, torch.dtype dty

之后发现torch的用法不同，torch.normal(mean, std, size, *, out=None) → Tensor

所有绘制的元素都共享平均值和标准差。由此产生的张量大小由大小给定。

size参数要使用元组类型，而不是paddle的tensor类型

from matplotlib import pyplot as plt # matplotlib 是 Python 的绘图库

func = linear_func
interval = (-10,10)
train_num = 100 # 训练样本数目
test_num = 50 # 测试样本数目
noise = 2
X_train, y_train = create_toy_data(func=func, interval=interval, sample_num=train_num, noise = noise, add_outlier = False)
X_test, y_test = create_toy_data(func=func, interval=interval, sample_num=test_num, noise = noise, add_outlier = False)

X_train_large, y_train_large = create_toy_data(func=func, interval=interval, sample_num=5000, noise = noise, add_outlier = False)

# torch.linspace返回一个Tensor，Tensor的值为在区间start和stop上均匀间隔的num个值，输出Tensor的长度为num
X_underlying = torch.linspace(interval[0],interval[1],train_num)
y_underlying = linear_func(X_underlying)

# 绘制数据
plt.scatter(X_train, y_train, marker='*', facecolor="none", edgecolor='#e4007f', s=50, label="train data")
plt.scatter(X_test, y_test, facecolor="none", edgecolor='#f19ec2', s=50, label="test data")
plt.plot(X_underlying, y_underlying, c='#000000', label=r"underlying distribution")
plt.legend(fontsize='x-large') # 给图像加图例
plt.savefig('ml-vis.pdf') # 保存图像到PDF文件中
plt.show()

 2.2.2 模型构建

在线性回归中，自变量为样本的特征向量x∈RDx∈RD(每一维对应一个自变量)，因变量是连续值的标签y∈Ry∈R。

线性模型定义为：

样本的矩阵是由N个x的行向量组成。而原教材中x为列向量，其特征矩阵与本书中的特征矩阵刚好为转置关系。

如下是自定义线性算子Op.py

import torch
torch.manual_seed(10) #设置随机种子

class Op(object):
    def __init__(self):
        pass

    def __call__(self, inputs):
        return self.forward(inputs)

    def forward(self, inputs):
        raise NotImplementedError

    def backward(self, inputs):
        raise NotImplementedError


# 线性算子
class Linear(Op):
    def __init__(self, input_size):
        """
        输入：
           - input_size:模型要处理的数据特征向量长度
        """

        self.input_size = input_size

        # 模型参数
        self.params = {}
        self.params['w'] = torch.randn(size=[self.input_size, 1], dtype=torch.float32)
        self.params['b'] = torch.zeros(size=[1], dtype=torch.float32)

    def __call__(self, X):
        return self.forward(X)

    # 前向函数
    def forward(self, X):
        """
        输入：
           - X: tensor, shape=[N,D]
           注意这里的X矩阵是由N个x向量的转置拼接成的，与原教材行向量表示方式不一致
        输出：
           - y_pred： tensor, shape=[N]
        """

        N, D = X.shape

        if self.input_size == 0:
            return torch.full(size=[N, 1], fill_value=self.params['b'])

        assert D == self.input_size  # 输入数据维度合法性验证

        # 使用torch.matmul计算两个tensor的乘积
        y_pred = torch.matmul(X, self.params['w']) + self.params['b']

        return y_pred

import torch
from op import Op

torch.manual_seed(10)  # 设置随机种子


# 线性算子
class Linear(Op):
    def __init__(self, input_size):
        """
        输入：
           - input_size:模型要处理的数据特征向量长度
        """

        self.input_size = input_size

        # 模型参数
        self.params = {}
        self.params['w'] = torch.randn(size=[self.input_size, 1], dtype=torch.float32)
        self.params['b'] = torch.zeros(size=[1], dtype=torch.float32)

    def __call__(self, X):
        return self.forward(X)

    # 前向函数
    def forward(self, X):
        """
        输入：
           - X: tensor, shape=[N,D]
           注意这里的X矩阵是由N个x向量的转置拼接成的，与原教材行向量表示方式不一致
        输出：
           - y_pred： tensor, shape=[N]
        """
        N, D = X.shape
        if self.input_size == 0:
            return torch.full(size=[N, 1], fill_value=self.params['b'])

        assert D == self.input_size  # 输入数据维度合法性验证

        # 使用torch.matmul计算两个tensor的乘积
        y_pred = torch.matmul(X, self.params['w']) + self.params['b']

        return y_pred


# 注意这里我们为了和后面章节统一，这里的X矩阵是由N个x向量的转置拼接成的，与原教材行向量表示方式不一致
input_size = 3
N = 2
X = torch.randn(size=[N, input_size], dtype=torch.float32)  # 生成2个维度为3的数据
model = Linear(input_size)
y_pred = model(X)
print("y_pred:", y_pred)  # 输出结果的个数也是2个

 y_pred: tensor([[1.8529],
                          [0.6011]])

2.2.3 损失函数

回归任务中常用的评估指标是均方误差

均方误差（mean-square error, MSE）是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量。

def mean_squared_error(y_true, y_pred):
    """
    输入：
       - y_true: tensor，样本真实标签
       - y_pred: tensor, 样本预测标签
    输出：
       - error: float，误差值
    """

    assert y_true.shape[0] == y_pred.shape[0]   #保证真实标签和预测值维度相同

    # torch.square计算输入的平方值
    # torch.mean沿 axis 计算 x 的平均值，默认axis是None，则对输入的全部元素计算平均值。
    error = torch.mean(torch.square(y_true - y_pred))

    return error


# 构造一个简单的样例进行测试:[N,1], N=2
y_true = torch.tensor([[-0.2], [4.9]], dtype=torch.float32)
y_pred = torch.tensor([[1.3], [2.5]], dtype=torch.float32)

error = mean_squared_error(y_true=y_true, y_pred=y_pred).item()
print("error:", error)

error: 4.005000114440918

关于均方误差的公式：

周老师的西瓜书中MSE的公式是

斋藤老师的鱼书中MSE的公式是

 

邱锡鹏老师给出的是 

代码中没有除2，和周老师给出的一样，我认为2的作用是在反向传播更新参数求偏导时，

平方会变成×2，与1/2消掉，更便于计算。无论是1/n,1/2还是1/2n，都对最后结果没有太大影响。

2.2.4 模型优化

参数学习的过程通过优化器完成。由于我们可以基于最小二乘方法可以直接得到线性回归的解析解，此处的训练是求解析解的过程，代码实现如下：

def optimizer_lsm(model, X, y, reg_lambda=0):
    """
      输入：
         - model: 模型
         - X: tensor, 特征数据，shape=[N,D]
         - y: tensor,标签数据，shape=[N]
         - reg_lambda: float, 正则化系数，默认为0
      输出：
         - model: 优化好的模型
      """

    N, D = X.shape

    # 对输入特征数据所有特征向量求平均
    x_bar_tran = torch.mean(X, dim=0).T

    # 求标签的均值,shape=[1]
    y_bar = torch.mean(y)

    # torch.subtract通过广播的方式实现矩阵减向量
    x_sub = torch.subtract(X, x_bar_tran)

    # 使用torch.all判断输入tensor是否全0
    if torch.all(x_sub == 0):
        model.params['b'] = y_bar
        model.params['w'] = torch.zeros(size=[D])
        return model

    # torch.inverse求方阵的逆
    tmp = torch.inverse(torch.matmul(x_sub.T, x_sub) +
                         reg_lambda * torch.eye(n=(D)))

    w = torch.matmul(torch.matmul(tmp, x_sub.T), (y - y_bar))

    b = y_bar - torch.matmul(x_bar_tran, w)

    model.params['b'] = b
    model.params['w'] = torch.squeeze(w, dim=-1)

    return model

思考：

1、 经验风险最小化为了简单起见省略均方误差的系数 ，为什么不影响效果？

只是均方误差前的一个系数，不影响得到的最优解

2、什么是最小二乘法？

最小二乘法通过最小化误差（真实目标对象与拟合目标对象的差）的平方和寻找数据的最佳函数匹配。最小二乘法同梯度下降类似，都是一种求解无约束最优化问题的常用方法，并且也可以用于曲线拟合，来解决回归问题。

2.2.5 模型训练

在准备了数据、模型、损失函数和参数学习的实现之后，我们开始模型的训练。在回归任务中，模型的评价指标和损失函数一致，都为均方误差。

通过上文实现的线性回归类来拟合训练数据，并输出模型在训练集上的损失。

input_size = 1
model = Linear(input_size)
model = optimizer_lsm(model,X_train.reshape([-1,1]),y_train.reshape([-1,1]))
print("w_pred:",model.params['w'].item(), "b_pred: ", model.params['b'].item())

y_train_pred = model(X_train.reshape([-1,1])).squeeze()
train_error = mean_squared_error(y_true=y_train, y_pred=y_train_pred).item()
print("train error: ",train_error)

model_large = Linear(input_size)
model_large = optimizer_lsm(model_large,X_train_large.reshape([-1,1]),y_train_large.reshape([-1,1]))
print("w_pred large:",model_large.params['w'].item(), "b_pred large: ", model_large.params['b'].item())

y_train_pred_large = model_large(X_train_large.reshape([-1,1])).squeeze()
train_error_large = mean_squared_error(y_true=y_train_large, y_pred=y_train_pred_large).item()
print("train error large: ",train_error_large)

w_pred: 1.2271720170974731 b_pred:  0.37986236810684204
train error:  105.02835083007812
w_pred large: 1.1993684768676758 b_pred large:  0.5421561002731323
train error large:  99.23371124267578

可以看出w与b的的预测值与真实值(1.2,0.5)相近

2.2.6 模型评估

下面用训练好的模型预测一下测试集的标签，并计算在测试集上的损失。

y_test_pred = model(X_test.reshape([-1,1])).squeeze()
test_error = mean_squared_error(y_true=y_test, y_pred=y_test_pred).item()
print("test error: ",test_error)

y_test_pred_large = model_large(X_test.reshape([-1,1])).squeeze()
test_error_large = mean_squared_error(y_true=y_test, y_pred=y_test_pred_large).item()
print("test error large: ",test_error_large)

test error:  90.84951782226562
test error large:  89.00284576416016

2.2.7 样本数量 & 正则化系数

2.2.7.1 调整训练数据的样本数量，由 100 调整到 5000，观察对模型性能的影响。

train_num = 5000 # 训练样本数目

 w_pred: 1.197505235671997 b_pred:  0.4983460307121277
train error:  99.06513977050781
w_pred large: 1.2121068239212036 b_pred large:  0.5092155933380127
train error large:  99.74403381347656
test error:  83.19195556640625
test error large:  84.21379089355469

可以看出训练样本越多，w，b越接近真实值，MSE也越低

 2.2.7.2  调整正则化系数

def optimizer_lsm(model, X, y, reg_lambda=5):

w_pred: 1.1974689960479736 b_pred:  0.49835026264190674
train error:  99.06227111816406
w_pred large: 1.2120693922042847 b_pred large:  0.509216845035553
train error large:  99.74108123779297
test error:  83.189453125
test error large:  84.211181640625

将正则化系数从0调整到5，好像对结果没有太大影响，说明训练模型没有过拟合。

2.3 多项式回归

当自变量和因变量之间并不是线性关系时，我们可以定义非线性基函数对特征进行变换，从而可以使得线性回归算法实现非线性的曲线拟合。

接下来我们基于特征维度为1的自变量介绍多项式回归实验。

 

2.3.1 数据集构建

假设我们要拟合的非线性函数为一个缩放后的sin函数。

这里仍然使用前面定义的create_toy_data函数来构建训练和测试数据，其中训练数样本 15 个，测试样本 10 个，高斯噪声标准差为 0.1，自变量范围为 (0,1)。

import math
import torch
from matplotlib import pyplot as plt
# sin函数: sin(2 * pi * x)
def sin(x):
    y = torch.sin(2 * math.pi * x)
    return y

def create_toy_data(func, interval, sample_num, noise = 0.0, add_outlier = False, outlier_ratio = 0.001):
    """
    根据给定的函数，生成样本
    输入：
       - func：函数
       - interval： x的取值范围
       - sample_num： 样本数目
       - noise： 噪声均方差
       - add_outlier：是否生成异常值
       - outlier_ratio：异常值占比
    输出：
       - X: 特征数据，shape=[n_samples,1]
       - y: 标签数据，shape=[n_samples,1]
    """

    # 均匀采样
    # 使用torch.rand在生成sample_num个随机数
    X = torch.rand(sample_num,1) * (interval[1]-interval[0]) + interval[0]
    y = func(X)

    # 生成高斯分布的标签噪声
    # 使用torch.normal生成0均值，noise标准差的数据
    epsilon = torch.normal(0.0,noise,(y.shape[0],1))
    y = y + epsilon
    if add_outlier:     # 生成额外的异常点
        outlier_num = int(len(y)*outlier_ratio)
        if outlier_num != 0:
            # 使用torch.randint生成服从均匀分布的、范围在[0, len(y))的随机Tensor
            outlier_idx = torch.randint(0,len(y),size = [outlier_num])
            y[outlier_idx] = y[outlier_idx] * 5
    return X, y

# 生成数据
func = sin
interval = (0,1)
train_num = 15
test_num = 10
noise = 0.5 #0.1
X_train, y_train = create_toy_data(func=func, interval=interval, sample_num=train_num, noise = noise)
X_test, y_test = create_toy_data(func=func, interval=interval, sample_num=test_num, noise = noise)

X_underlying = torch.linspace(interval[0],interval[1],100)
y_underlying = sin(X_underlying)

# 绘制图像
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8.0, 6.0)
plt.scatter(X_train, y_train, facecolor="none", edgecolor='#e4007f', s=50, label="train data")
#plt.scatter(X_test, y_test, facecolor="none", edgecolor="r", s=50, label="test data")
plt.plot(X_underlying, y_underlying, c='#000000', label=r"$\sin(2\pi x)$")
plt.legend(fontsize='x-large')
plt.savefig('ml-vis2.pdf')
plt.show()

 

2.3.2 模型构建 

通过多项式的定义可以看出，多项式回归和线性回归一样，同样学习参数w，只不过需要对输入特征根据多项式阶数进行变换。因此，我们可以套用求解线性回归参数的方法来求解多项式回归参数。

首先，我们实现多项式基函数polynomial_basis_function对原始特征x进行转换。

# 多项式转换
def polynomial_basis_function(x, degree=2):
    """
    输入：
       - x: tensor, 输入的数据，shape=[N,1]
       - degree: int, 多项式的阶数
       example Input: [[2], [3], [4]], degree=2
       example Output: [[2^1, 2^2], [3^1, 3^2], [4^1, 4^2]]
       注意：本案例中,在degree>=1时不生成全为1的一列数据；degree为0时生成形状与输入相同，全1的Tensor
    输出：
       - x_result： tensor
    """

    if degree == 0:
        return torch.ones(size=x.shape, dtype=torch.float32)

    x_tmp = x
    x_result = x_tmp

    for i in range(2, degree + 1):
        x_tmp = torch.multiply(x_tmp, x)  # 逐元素相乘
        x_result = torch.cat((x_result, x_tmp), dim=-1)

    return x_result


# 简单测试
data = [[2], [3], [4]]
X = torch.tensor(data=data, dtype=torch.float32)
degree = 3
transformed_X = polynomial_basis_function(X, degree=degree)
print("转换前：", X)
print("阶数为", degree, "转换后：", transformed_X)

转换前： tensor([[2.],
        [3.],
        [4.]])
阶数为 3 转换后： tensor([[ 2.,  4.,  8.],
        [ 3.,  9., 27.],
        [ 4., 16., 64.]])
 

2.3.3 模型训练

对于多项式回归，我们可以同样使用前面线性回归中定义的LinearRegression算子、训练函数train、均方误差函数mean_squared_error。拟合训练数据的目标是最小化损失函数，同线性回归一样，也可以通过矩阵运算直接求出w的值。

我们设定不同的多项式阶，的取值分别为0、1、3、8，之前构造的训练集上进行训练，观察样本数据对sin曲线的拟合结果。

plt.rcParams['figure.figsize'] = (12.0, 8.0)

for i, degree in enumerate([0, 1, 3, 8]):  # []中为多项式的阶数
    model = Linear(degree)
    X_train_transformed = polynomial_basis_function(X_train.reshape([-1, 1]), degree)
    X_underlying_transformed = polynomial_basis_function(X_underlying.reshape([-1, 1]), degree)

    model = optimizer_lsm(model, X_train_transformed, y_train.reshape([-1, 1]))  # 拟合得到参数

    y_underlying_pred = model(X_underlying_transformed).squeeze()

    print(model.params)

    # 绘制图像
    plt.subplot(2, 2, i + 1)
    plt.scatter(X_train, y_train, facecolor="none", edgecolor='#e4007f', s=50, label="train data")
    plt.plot(X_underlying, y_underlying, c='#000000', label=r"$\sin(2\pi x)$")
    plt.plot(X_underlying, y_underlying_pred, c='#f19ec2', label="predicted function")
    plt.ylim(-2, 1.5)
    plt.annotate("M={}".format(degree), xy=(0.95, -1.4))

# plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 0.64), loc=2, borderaxespad=0.)
plt.legend(loc='lower left', fontsize='x-large')
plt.savefig('ml-vis3.pdf')
plt.show()

{'w': tensor([0.]), 'b': tensor(-0.0696)}
{'w': tensor([-2.3304]), 'b': tensor([1.1818])}
{'w': tensor([ 21.8808, -54.1515,  34.8925]), 'b': tensor([-1.7635])}
{'w': tensor([  74.8716, -183.0369,   15.1581,  454.9547, -566.8822,  357.8563,
        -327.5971,  193.6686]), 'b': tensor([-8.8098])} 

观察可视化结果，红色的曲线表示不同阶多项式分布拟合数据的结果：

• 当  或  时，拟合曲线较简单，模型欠拟合；
• 当  时，拟合曲线较复杂，模型过拟合；
• 当 时，模型拟合最为合理。

 

 2.3.4 模型评估

下面通过均方误差来衡量训练误差、测试误差以及在没有噪音的加入下sin函数值与多项式回归值之间的误差，更加真实地反映拟合结果。多项式分布阶数从0到8进行遍历。

# 训练误差和测试误差
training_errors = []
test_errors = []
distribution_errors = []

# 遍历多项式阶数
for i in range(9):
    model = Linear(i)

    X_train_transformed = polynomial_basis_function(X_train.reshape([-1, 1]), i)
    X_test_transformed = polynomial_basis_function(X_test.reshape([-1, 1]), i)
    X_underlying_transformed = polynomial_basis_function(X_underlying.reshape([-1, 1]), i)

    optimizer_lsm(model, X_train_transformed, y_train.reshape([-1, 1]))

    y_train_pred = model(X_train_transformed).squeeze()
    y_test_pred = model(X_test_transformed).squeeze()
    y_underlying_pred = model(X_underlying_transformed).squeeze()

    train_mse = mean_squared_error(y_true=y_train, y_pred=y_train_pred).item()
    training_errors.append(train_mse)

    test_mse = mean_squared_error(y_true=y_test, y_pred=y_test_pred).item()
    test_errors.append(test_mse)

    # distribution_mse = mean_squared_error(y_true=y_underlying, y_pred=y_underlying_pred).item()
    # distribution_errors.append(distribution_mse)

print("train errors: \n", training_errors)
print("test errors: \n", test_errors)
# print ("distribution errors: \n", distribution_errors)

# 绘制图片
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8.0, 6.0)
plt.plot(training_errors, '-.', mfc="none", mec='#e4007f', ms=10, c='#e4007f', label="Training")
plt.plot(test_errors, '--', mfc="none", mec='#f19ec2', ms=10, c='#f19ec2', label="Test")
# plt.plot(distribution_errors, '-', mfc="none", mec="#3D3D3F", ms=10, c="#3D3D3F", label="Distribution")
plt.legend(fontsize='x-large')
plt.xlabel("degree")
plt.ylabel("MSE")
plt.savefig('ml-mse-error.pdf')
plt.show()

train errors: 
 [0.6441656947135925, 0.8283544778823853, 0.9778935313224792, 1.087277889251709, 1.0901203155517578, 1.1170716285705566, 1.0674344301223755, 2.0862534046173096, 3.8148746490478516]
test errors: 
 [0.6824741959571838, 1.1624795198440552, 2.524428606033325, 1.041847586631775, 1.0281134843826294, 1.130333662033081, 1.6590303182601929, 4.540024280548096, 8.942521095275879]

观察可视化结果：

• 当阶数较低的时候，模型的表示能力有限，训练误差和测试误差都很高，代表模型欠拟合；
• 当阶数较高的时候，模型表示能力强，但将训练数据中的噪声也作为特征进行学习，一般情况下训练误差继续降低而测试误差显著升高，代表模型过拟合。

 此处多项式阶数大于等于5时，训练误差并没有下降，尤其是在多项式阶数为7时，训练误差变得非常大，请思考原因？提示：请从幂函数特性角度思考。

在前面的求解过程中，没有加惩罚项，此时随着阶数的增大，往往具有较大的绝对值，从而赋予多项式函数更强的变化能力。
 

 对于模型过拟合的情况，可以引入正则化方法，通过向误差函数中添加一个惩罚项来避免系数倾向于较大的取值。下面加入l2正则化项，查看拟合结果。

degree = 8 # 多项式阶数
reg_lambda = 0.0001 # 正则化系数

X_train_transformed = polynomial_basis_function(X_train.reshape([-1,1]), degree)
X_test_transformed = polynomial_basis_function(X_test.reshape([-1,1]), degree)
X_underlying_transformed = polynomial_basis_function(X_underlying.reshape([-1,1]), degree)

model = Linear(degree)

optimizer_lsm(model,X_train_transformed,y_train.reshape([-1,1]))

y_test_pred=model(X_test_transformed).squeeze()
y_underlying_pred=model(X_underlying_transformed).squeeze()

model_reg = Linear(degree)

optimizer_lsm(model_reg,X_train_transformed,y_train.reshape([-1,1]),reg_lambda=reg_lambda)

y_test_pred_reg=model_reg(X_test_transformed).squeeze()
y_underlying_pred_reg=model_reg(X_underlying_transformed).squeeze()

mse = mean_squared_error(y_true = y_test, y_pred = y_test_pred).item()
print("mse:",mse)
mes_reg = mean_squared_error(y_true = y_test, y_pred = y_test_pred_reg).item()
print("mse_with_l2_reg:",mes_reg)

# 绘制图像
plt.scatter(X_train, y_train, facecolor="none", edgecolor="#e4007f", s=50, label="train data")
plt.plot(X_underlying, y_underlying, c='#000000', label=r"$\sin(2\pi x)$")
plt.plot(X_underlying, y_underlying_pred, c='#e4007f', linestyle="--", label="$deg. = 8$")
plt.plot(X_underlying, y_underlying_pred_reg, c='#f19ec2', linestyle="-.", label="$deg. = 8, \ell_2 reg$")
plt.ylim(-1.5, 1.5)
plt.annotate("lambda={}".format(reg_lambda), xy=(0.82, -1.4))
plt.legend(fontsize='large')
plt.savefig('ml-vis4.pdf')
plt.show()

 mse: 8.942521095275879
mse_with_l2_reg: 1.1742827892303467

观察可视化结果，其中点线为加入l2正则后多项式分布拟合结果，虚线为未加入l2正则的拟合结果，点线的拟合效果明显好于红色曲线。

 

2.4 Runner类介绍

通过上面的实践，我们可以看到，在一个任务上应用机器学习方法的流程基本上包括：数据集构建、模型构建、损失函数定义、优化器、模型训练、模型评价、模型预测等环节。

为了更方便地将上述环节规范化，我们将机器学习模型的基本要素封装成一个Runner类。除上述提到的要素外，再加上模型保存、模型加载等功能。

Runner类的成员函数定义如下：

• __init__函数：实例化Runner类时默认调用，需要传入模型、损失函数、优化器和评价指标等；
• train函数：完成模型训练，指定模型训练需要的训练集和验证集；
• evaluate函数：通过对训练好的模型进行评价，在验证集或测试集上查看模型训练效果；
• predict函数：选取一条数据对训练好的模型进行预测；
• save_model函数：模型在训练过程和训练结束后需要进行保存；
• load_model函数：调用加载之前保存的模型。

import torch
import os

class Runner(object):
    def __init__(self, model, optimizer, loss_fn, metric):
        # 优化器和损失函数为None,不再关注

        # 模型
        self.model = model
        # 评估指标
        self.metric = metric
        # 优化器
        self.optimizer = optimizer

    def train(self, dataset, reg_lambda, model_dir):
        X, y = dataset
        self.optimizer(self.model, X, y, reg_lambda)

        # 保存模型
        self.save_model(model_dir)

    def evaluate(self, dataset, **kwargs):
        X, y = dataset

        y_pred = self.model(X)
        result = self.metric(y_pred, y)

        return result

    def predict(self, X, **kwargs):
        return self.model(X)

    def save_model(self, model_dir):
        if not os.path.exists(model_dir):
            os.makedirs(model_dir)

        params_saved_path = os.path.join(model_dir, 'params.pdtensor')
        torch.save(self.model.params, params_saved_path)

    def load_model(self, model_dir):
        params_saved_path = os.path.join(model_dir, 'params.pdtensor')
        self.model.params = torch.load(params_saved_path)

在save()函数中，我将原本的 model.params改为self.model.params，不然训练结果总是不对，这个改动困扰了我好长时间。

下面是引入的优化器函数：

def optimizer_lsm(model, X, y, reg_lambda=0):
  """
    输入：
       - model: 模型
       - X: tensor, 特征数据，shape=[N,D]
       - y: tensor,标签数据，shape=[N]
       - reg_lambda: float, 正则化系数，默认为0
    输出：
       - model: 优化好的模型
    """

  N, D = X.shape

  # 对输入特征数据所有特征向量求平均
  x_bar_tran = torch.mean(X,dim=0).T
  
  # 求标签的均值,shape=[1]
  y_bar = torch.mean(y)
  
  # torch.subtract通过广播的方式实现矩阵减向量
  x_sub = torch.subtract(X,x_bar_tran)

  # 使用torch.all判断输入tensor是否全0
  if torch.all(x_sub==0):
    model.params['b'] = y_bar
    model.params['w'] = torch.zeros(size=[D])
    return model
  
  # torch.inverse求方阵的逆
  tmp = torch.inverse(torch.matmul(x_sub.T,x_sub)+
          reg_lambda*torch.eye(n = (D)))

  w = torch.matmul(torch.matmul(tmp,x_sub.T),(y-y_bar))
  
  b = y_bar-torch.matmul(x_bar_tran,w)
  
  model.params['b'] = b
  model.params['w'] = torch.squeeze(w,dim=-1)

  return model

2.5 基于线性回归的波士顿房价预测

2.5.1 数据处理

        2.5.1.1 数据集介绍

import pandas as pd # 开源数据分析和操作工具

# 利用pandas加载波士顿房价的数据集
data=pd.read_csv("boston_house_prices.csv")
# 预览前5行数据
print(data.head())

      CRIM    ZN  INDUS  CHAS    NOX  ...  RAD  TAX  PTRATIO  LSTAT  MEDV
0  0.00632  18.0   2.31     0  0.538  ...    1  296     15.3   4.98  24.0
1  0.02731   0.0   7.07     0  0.469  ...    2  242     17.8   9.14  21.6
2  0.02729   0.0   7.07     0  0.469  ...    2  242     17.8   4.03  34.7
3  0.03237   0.0   2.18     0  0.458  ...    3  222     18.7   2.94  33.4
4  0.06905   0.0   2.18     0  0.458  ...    3  222     18.7   5.33  36.2   

        2.5.1.2 数据清洗

• 缺失值分析

# 查看各字段缺失值统计情况
print(data.isna().sum())

CRIM       0
ZN         0
INDUS      0
CHAS       0
NOX        0
RM         0
AGE        0
DIS        0
RAD        0
TAX        0
PTRATIO    0
LSTAT      0
MEDV       0
dtype: int64

从输出结果看，波士顿房价预测数据集中不存在缺失值的情况。

• 异常值处理

通过箱线图直观的显示数据分布，并观测数据中的异常值。箱线图一般由五个统计值组成：最大值、上四分位、中位数、下四分位和最小值。一般来说，观测到的数据大于最大估计值或者小于最小估计值则判断为异常值，其中

最大估计值=上四分位+1.5∗(上四分位−下四分位)

最小估计值=下四分位−1.5∗(上四分位−下四分位)

# 箱线图查看异常值分布
def boxplot(data, fig_name):
    # 绘制每个属性的箱线图
    data_col = list(data.columns)

    # 连续画几个图片
    plt.figure(figsize=(5, 5), dpi=300)
    # 子图调整
    plt.subplots_adjust(wspace=0.6)
    # 每个特征画一个箱线图
    for i, col_name in enumerate(data_col):
        plt.subplot(3, 5, i + 1)
        # 画箱线图
        plt.boxplot(data[col_name],
                    showmeans=True,
                    meanprops={"markersize": 1, "marker": "D", "markeredgecolor": '#f19ec2'},  # 均值的属性
                    medianprops={"color": '#e4007f'},  # 中位数线的属性
                    whiskerprops={"color": '#e4007f', "linewidth": 0.4, 'linestyle': "--"},
                    flierprops={"markersize": 0.4},
                    )
        # 图名
        plt.title(col_name, fontdict={"size": 5}, pad=2)
        # y方向刻度
        plt.yticks(fontsize=4, rotation=90)
        plt.tick_params(pad=0.5)
        # x方向刻度
        plt.xticks([])
    plt.savefig(fig_name)
    plt.show()


boxplot(data, 'ml-vis5.pdf')

 

 下图是箱线图的一个示例，可对照查看具体含义。

 

从输出结果看，数据中存在较多的异常值（图中上下边缘以外的空心小圆圈）。

使用四分位值筛选出箱线图中分布的异常值，并将这些数据视为噪声，其将被临界值取代，代码实现如下：

# 四分位处理异常值
num_features = data.select_dtypes(exclude=['object', 'bool']).columns.tolist()

for feature in num_features:
    if feature == 'CHAS':
        continue

    Q1 = data[feature].quantile(q=0.25)  # 下四分位
    Q3 = data[feature].quantile(q=0.75)  # 上四分位

    IQR = Q3 - Q1
    top = Q3 + 1.5 * IQR  # 最大估计值
    bot = Q1 - 1.5 * IQR  # 最小估计值
    values = data[feature].values
    values[values > top] = top  # 临界值取代噪声
    values[values < bot] = bot  # 临界值取代噪声
    data[feature] = values.astype(data[feature].dtypes)

# 再次查看箱线图，异常值已被临界值替换（数据量较多或本身异常值较少时，箱线图展示会不容易体现出来）
boxplot(data, 'ml-vis6.pdf')

从输出结果看，经过异常值处理后，箱线图中异常值得到了改善。

 

 2.5.1.3 数据集划分

由于本实验比较简单，将数据集划分为两份：训练集和测试集，不包括验证集。

具体代码如下：

import torch

torch.manual_seed(10)


# 划分训练集和测试集
def train_test_split(X, y, train_percent=0.8):
    n = len(X)
    shuffled_indices = torch.randperm(n)  # 返回一个数值在0到n-1、随机排列的1-D Tensor
    train_set_size = int(n * train_percent)
    train_indices = shuffled_indices[:train_set_size]
    test_indices = shuffled_indices[train_set_size:]

    X = X.values
    y = y.values

    X_train = X[train_indices]
    y_train = y[train_indices]

    X_test = X[test_indices]
    y_test = y[test_indices]

    return X_train, X_test, y_train, y_test


X = data.drop(['MEDV'], axis=1)
y = data['MEDV']

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)  # X_train每一行是个样

2.5.1.4 特征工程

为了消除纲量对数据特征之间影响，在模型训练前，需要对特征数据进行归一化处理，将数据缩放到[0, 1]区间内，使得不同特征之间具有可比性。

代码实现如下：

#特征工程
X_train = torch.tensor(X_train,dtype=torch.float32)
X_test = torch.tensor(X_test,dtype=torch.float32)
y_train = torch.tensor(y_train,dtype=torch.float32)
y_test = torch.tensor(y_test,dtype=torch.float32)

X_min = torch.min(X_train,dim=0)[0]
X_max = torch.max(X_train,dim=0)[0]

X_train = (X_train-X_min)/(X_max-X_min)

X_test  = (X_test-X_min)/(X_max-X_min)

# 训练集构造
train_dataset=(X_train,y_train)
# 测试集构造
test_dataset=(X_test,y_test)

 得到X_min与X_max后，进行X_train-X_min时，会出现如下报错

TypeError: unsupported operand type(s) for -: 'Tensor' and 'torch.return_type

原因是X_min类型为torch.return_types.min（values和indices的结合体），我们只需要value部分，所以将

X_min = torch.min(X_train,dim=0)
X_max = torch.max(X_train,dim=0)

改为

X_min = torch.min(X_train,dim=0)[0]
X_max = torch.max(X_train,dim=0)[0]

2.5.2 模型构建

实例化一个线性回归模型，特征维度为 12:

from op import Linear
import torch.nn as nn
# 模型实例化
input_size = 12
model=Linear(input_size)
mse_loss = nn.MSELoss()

2.5.4 模型训练

在组装完成Runner之后，我们将开始进行模型训练、评估和测试。首先，我们先实例化Runner，然后开始进行装配训练环境，接下来就可以开始训练了，相关代码如下：

# 模型保存文件夹
saved_dir = './models'

from Runner import Runner
from opitimizer import optimizer_lsm
optimizer = optimizer_lsm
# 实例化Runner
runner = Runner(model, optimizer=optimizer,loss_fn=None, metric=mse_loss)
# 启动训练
runner.train(train_dataset,reg_lambda=0,model_dir=saved_dir)

 打印出训练得到的权重：

columns_list = data.columns.to_list()
weights = runner.model.params['w'].tolist()
b = runner.model.params['b'].item()

for i in range(len(weights)):
    print(columns_list[i],"weight:",weights[i])

print("b:",b)

CRIM weight: -5.261089324951172
ZN weight: 1.362697958946228
INDUS weight: -0.024794816970825195
CHAS weight: 1.8001978397369385
NOX weight: -7.556751251220703
RM weight: 9.557075500488281
AGE weight: -1.3511643409729004
DIS weight: -9.96794605255127
RAD weight: 7.528500556945801
TAX weight: -5.0824761390686035
PTRATIO weight: -6.9966583251953125
LSTAT weight: -13.183669090270996
b: 32.6215934753418

2.5.5 模型测试

# 加载模型权重
runner.load_model(saved_dir)

mse = runner.evaluate(test_dataset)
print('MSE:', mse.item())

MSE: 11.210776329040527

2.5.6 模型预测

runner.load_model(saved_dir)
pred = runner.predict(X_test[:1])
print("真实房价：",y_test[:1].item())
print("预测的房价：",pred.item())

真实房价： 18.899999618530273
预测的房价： 21.52915382385254

问题1：

使用类实现机器学习模型的基本要素有什么优点？

• 方便复用（如果你用函数写，就要复制整块代码，增加了代码量，增加了出错率）
• 方便扩展（函数写段代码，若要升级、扩展，都十分复杂，容易出错，用类来扩展，则方便清晰）
• 方便维护（因为类是把抽象的东西映射成我们常见的，摸得到的东西，容易理解，维护也方便）

问题2：

算子op、优化器opitimizer放在单独的文件中，主程序在使用时调用该文件。这样做有什么优点？

        不用再复制粘贴一边该函数，节省时间，程序更简洁

作业1：

线性回归通常使用平方损失函数，能否使用交叉熵损失函数？为什么？

1、直观理解

从平方损失函数运用到多分类场景下，可知平方损失函数对每一个输出结果都十分看重，而交叉熵损失函数只对正确分类的结果看重。例如，对于一个多分类模型其模型结果输出为(a,b,c)，而实际真实结果为(1,0,0)。则根据两种损失函数的定义其损失函数可以描述为:

从上述的结果中可以看出，交叉熵损失函数只和分类正确的预测结果有关。而平方损失函数还和错误的分类有关，该损失函数除了让正确分类尽量变大，还会让错误分类都变得更加平均，但实际中后面的这个调整使没必要的。但是对于回归问题这样的考虑就显得重要了，因而回归问题上使用交叉熵并不适合。

2、理论角度分析

平方数损失函数假设最终结果都服从高斯分布，而高斯分布实际上是一个连续变量，并不是一个离散变量。如果假设结果变量服从均值，方差为，那么利用最大似然法就可以优化它的负对数似然，公式最终变为了:

除去与y无关的项目，最后剩下的就是平方损失函数的形式。

作业2：

对于一个三分类问题，数据集的真实标签和模型的预测标签如下：

---

        真实标签        1        1        2        2        2        3        3        3        3

        预测标签        1        2        2        2        3        3        3        1        2

---

分别计算模型的精确率、召回率、F1值以及它们的宏平均和微平均

精确率：

召回率：

F值：一般取值为1

宏平均：

微平均：

心得体会：

        将算子从理论应用到了实践，也第一次调用py文件使用函数，以前都是把所有代码放到一个文件里，经常写代码写着写着就眼花耳鸣，手忙脚乱，脑袋发晕，这次接触到了直接调用py文件后，代码变得更加整洁。

        关于对象和类的用法，因为当初java没学好，所以现在对封装类的学习很吃力。对于线性回归模型的评估，我MSE的值非常大，但是最后w和b的值都很接近真实值，调试了好多遍都没找出问题，我怀疑就是我Linear类的使用有问题，我接下来有时间还会继续找出问题根源。

        关于多项式回归，当我们使用多项式去拟合散点时，需要确定两个要素，分别是：多项式系数 w 以及多项式阶数 m，这也是多项式的两个基本要素。当然也可以手动指定多项式的阶数m的大小，这样就只需要确定系数w的值了。

        波士顿房价预测中，了解到了箱线图异常处理。直接使用Runner类去进行模型训练，将学习过程规范化。

        机器学习不是依赖自身而发展起来的，而是站在了诸多巨人的肩膀之上。这次实验还是借鉴诸多邱老师的代码，即使是现成的代码摆在那，把代码理解透依然是一个艰难的过程，而且实验内容好多，我感觉我不是在巨人肩膀上，我像沉在大海里快要窒息。