高数基础 第七章 无穷级数
第七章 无穷级数
§1 常数项级数
7.1.1 级数的概念与性质
定义
symsum(u(n),n,1,inf) %为无穷级数
S(n)=symsum(u(n),n,1,n) %为无穷级数的部分和数列，如果
limit(S(n),n,inf)=S，则称级数symsum(u(n),n,1,inf) 收敛，否则发散
若级数symsum(u(n),n,1,inf) 收敛，称r(n)=S-S(n)为级数symsum(u
(n),n,1,inf) 的余部，显然，limit(r(n),n,inf)=0
7.1.2 级数的性质
（1）k为非零常数 k*symsum(u(n),n,1,inf)与symsum(u(n),n,1,inf) 同
敛散。
（2）若symsum(u(n),n,1,inf) 、symsum(v(n),n,1,inf) 分别收敛于U、V
，则symsum(u(n)+v(n),n,1,inf) 收敛于U+V
7.1.3 级数的判敛
1.正向级数u(n)>=0
基本定理：正向级数symsum(u(n),n,1,inf) 收敛↔S(n)有界
（1）比较判别法
大的收敛，小的也收敛；小的发散，则大的也发散
（2）比较判别法的极限形式，limit(u(n)/v(n),n,inf)=l (l>=0)
①01 发散
③rho=1 不确定
（4）根植判别法 limit(u(n)^(1/n),n,inf)=rho;
①rho<1 收敛
②rho>1 发散
③rho=1 不确定
2.交错级数 symsum((-1)^(n-1)*u(n),n,1,inf)
若 u(n)>u(n+1),且limit(u(n),n,inf)=0 则级数收敛，但反过来说明不了
u(n)>u(n+1)
- 任意级数 symsum(u(n),n,1,inf)为任意实数
（1）绝对收敛与条件收敛
§2 函数项级数
7.2.1 函数列
f(n,x)
7.2.2 一列收敛
limit(f(n,x),n,inf)=f(x)
7.2.3 函数项级数
symsum(u(n,x),n,1,inf)
收敛点、发散点、收敛域
7.2.4 和函数
定义 函数项级数在收敛域内每一点x都有和，其值与收敛点x对应，记为S(x)
S(x)=symsum(u(n,x),n,1,inf)
7.2.5 函数项级数一致收敛
7.2.6 一致收敛的柯西准则
7.2.7 威尔斯特斯拉判别法
§3 幂级数
7.3.1 幂级数
symsum(a(n)*(x-x0)^n,n,1,inf)称为幂级数，特别低，当x0=0
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)
7.3.2 阿贝尔定理
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)当x=x0收敛则， abs(x)<abs(x0)收敛，
x=x0发散，则abs(x)>abs(x0)发散
7.3.3 收敛区间
定理1 limit(abs(a(n+1)/a(n),n,inf)=rho,则 R=1/rho;
定理2 limit(abs(a(n))^(1/n)=rho,则R=1/rho;
7.3.4 幂级数的性质
1.四则运算性质
2. 分析性质
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)收敛半径为R，和函数为S(x),则
（1）S(x)在（-R，R）上连续
（1）S(x)在（-R，R）上可导，且逐项可导
（1）S(x)在（-R，R）上可积，且逐项可积
7.3.5 泰勒级数
7.3.6 泰勒级数的收敛定理
7.3.7 麦克劳林级数
7.3.8 几个常用的麦克劳林级数
>> syms x;
taylor(1/(1-x))
ans =
x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
>> taylor(1/(1+x))
ans =
- x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
>> taylor(exp(x))
ans =
x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
>> taylor(sin(x))
ans =
x^5/120 - x^3/6 + x
>> taylor(cos(x))
ans =
x^4/24 - x^2/2 + 1
>> taylor(log(1+x))
ans =
x^5/5 - x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 + x
>> syms alpha;
>> taylor((1+x)^alpha)
ans =
(alpha/5 - (alpha*(alpha/4 - alpha^2/6))/3 + (alpha*(alpha*
(alpha/12 - alpha^2/24) - alpha/6 + alpha^2/12))/2 - alpha*
(alpha/8 - (alpha*(alpha/12 - alpha^2/24))/2 + alpha*(alpha*
(alpha/48 - alpha^2/120) - alpha/18 + alpha^2/48) - alpha^2/18) -
alpha^2/8)*x^5 + ((alpha*(alpha/4 - alpha^2/6))/2 - alpha/4 -
alpha*(alpha*(alpha/12 - alpha^2/24) - alpha/6 + alpha^2/12) +
alpha^2/6)*x^4 + (alpha/3 - alpha*(alpha/4 - alpha^2/6) -
alpha^2/4)*x^3 + (alpha^2/2 - alpha/2)*x^2 + alpha*x + 1
§4 傅里叶级数
7.4.1 三角函数及其正交性
>> int(1*cos(x),x,-pi,pi)
ans =
0
>> int(1*sin(x),x,-pi,pi)
ans =
0
>> int(sin(x)*cos(x),x,-pi,pi)
ans =
0
>> int(sin(x)*cos(2*x),x,-pi,pi)
ans =
0
>> syms n;
>> int(sin(n*x)*cos(n*x),x,-pi,pi)
ans =
0
7.4.2 傅里叶级数
a(n)=1/pi*int(f(x)*cos(n*x),x,-pi,pi)
b(n)=1/pi*int(f(x)*sin(n*x),x,-pi,pi)
称 a(0)/2 + symsum(a(n)*cos(n*x)+b(n)*sin(n*x),n,1,inf)为傅里叶级数
7.4.3 收敛性定理
7.4.4 周期为2*pi的函数的傅里叶展开
例如f(x)=x^2 [-pi,pi] 展开成傅里叶级数
>> clear;
>> syms x n;
>> f=x^2;
>> a0=int(f,x,-pi,pi)/pi;
>> an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi;
>> bn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi;
>> a0
a0 =
(2*pi^2)/3
>> an
an =
(2*(n^2*pi^2*sin(pi*n) - 2*sin(pi*n) + 2*n*pi*cos(pi*n)))/
(n^3*pi)
>> bn
bn =
0
7.4.5 周期为2*l的函数的傅里叶展开
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
>> symsum(1/n^2,1,inf)
ans =
pi^2/6
>> symsum(1/n^2,1,n)
ans =
pi^2/6 - psi(1, n + 1)
>> limit(1/n^2,n,inf)
ans =
0
真题链接
>> symsum((-1)^n*(2*n+3)/factorial(2*n+1),n,0,inf)
ans =
cosh(1i) + 2*sin(1)
>> cosh(1i)
ans =
0.5403
>> cos(1)
ans =
0.5403