聚类-KMeans算法（图解算法原理）

简介

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k均值聚类算法（k-means clustering algorithm）是一种迭代求解的聚类分析算法，也就是将数据分成K个簇的算法，其中K是用户指定的。

比如将下图中数据分为3簇，不同颜色为1簇。

K-means算法的作用就是将数据划分成K个簇，每个簇高度相关，即离所在簇的质心是最近的。
下面将简介K-means算法原理步骤。

算法原理

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1. 随机选取K个质心

随机3个点为质心（红黄蓝），淡蓝色为数据。

附可视化代码：

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
# 生成数据集：500个点，二维特征，3个质心
x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], color="lightblue")
# 随机
center = [[3, -1], [5, -2.5], [8, -2]]
colors = ["red", "gold", "blue"]
plt.scatter(center[0][0], center[0][1], color=colors[0])
plt.scatter(center[1][0], center[1][1], color=colors[1])
plt.scatter(center[2][0], center[2][1], color=colors[2])
plt.show()

2. 计算每个数据到各质心距离

一般使用欧氏距离来计算，为了便于展示，取特征维数为2，即$\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$

def _distance(v1, v2):  # 不开根号节省算力，效果一致
    return np.sum(np.square(v1-v2))

3. 将数据分到最近质心的簇

    dist = np.zeros((500, 3), float)  # 距离
    c = [3]  # 3个簇
    for i in range(500):
        mx = -1.  # 最近值
        idx = 0  #最近簇
        for j in range(3):
            dist[i][j] = _distance(x[i], center[j])
            if mx > dist[i][j] or mx == -1.:
                mx = dist[i][j]
                idx = j
        # 设置透明度，以区分质心    
        plt.scatter(x[i][0], x[i][1], color=colors[idx], alpha=0.2)
        c[idx].append(i)  
    plt.show()

4. 根据各簇数据更新质心

$c_j=\frac{1}{|c_j|}{\sum }_{x\in c_j}x$
其中$c_j$表示第$j$个质心，也就是计算属于当前簇数据的均值作为新的质心。即K均值算法名称由来。

当平均误差和SSE越小越接近质心，由推导得质心取数据均值时，SSE最小。

比如数据[[1, 2], [3, 4]]属于同一个簇，则更新簇中心为[2, 3]。

    # 更新质心
    for i in range(3):
        sum_x = 0.
        sum_y = 0.
        for j in range(len(c[i])):
            sum_x += x[c[i][j]][0]
            sum_y += x[c[i][j]][1]
        center[i] = [sum_x/len(c[i]), sum_y/len(c[i])]
    plt.scatter(center[0][0], center[0][1], color=colors[0])
    plt.scatter(center[1][0], center[1][1], color=colors[1])
    plt.scatter(center[2][0], center[2][1], color=colors[2])
    plt.show()

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5. 重复2-4步直到收敛

${\sum }_{i=1}^{n}argmin||x_i-c_i||$
计算当前聚类的平方差，循环退出条件是取得最小的平方差，也就是质心不再改变的时候。最终质心一定是确定的，不会陷入死循环。

随着循环次数逐渐收敛，不难证第1步随机的初始质心对结果无影响，即使得K-means算法具有普遍适用性。

可以看出，第六次更新后聚类相同，数据收敛。
大家可以尝试修改初始质心，查看结果是否一致。

sklearn库调用

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上面手动复现了K-means代码的实现，但其实sklearn库有相应的封装函数，本节介绍其调用。
sklearn.cluster.KMeans，主要参数：

• n_clusters：k值，质心数，默认8

• max_iter : int, default：最大迭代次数

• tol：质心的变化率小于此值时结束，默认1e-4

• random_state：随机种子

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

if __name__ == "__main__":
    # 数据
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    # 创建KMeans对象
    km = KMeans(n_clusters=3, random_state=20220929)
    # 训练模型
    km.fit(x)
    # 测试
    predict = km.predict(x)
    # 可视化
    plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=predict)
    plt.show()

用过都说好(～￣▽￣)～

K的取值

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最后还有一个问题，就是K是用户指定的，那又该怎么确定K值呢？

站在巨人的肩膀上，主要有两种方法：手肘法和轮廓系数法。

1. 手肘法

$SSE={\sum }_{i=1}^k{\sum }_{p\in C_i}|p-m_i{|}^2$
$C_i$表示第$i$个簇，$m_i$表示第$i$个簇的质心，$p$是数据样本点。

根据误差平方和SSE来选择K值，但并不是选SSE最小时对应的K，而是选SSE突然变小时的K，如下图，K应选3，图似手肘故得名。

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

if __name__ == "__main__":
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    SSE = []
    for k in range(2, 10):
        km = KMeans(n_clusters=k)
        km.fit(x)
        SSE.append(km.inertia_)
    plt.xlabel('K')
    plt.ylabel('误差平方和')
    plt.plot(range(2, 10), SSE, 'o-')
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()

2. 轮廓系数法

$S=\frac{b-a}{max(a,b)}$
$a$是到同簇中其它样本的平均距离，表示内聚度。
$b$是到其他簇中所有样本的平均距离，表示分离度。

考虑内聚度和分离度两个因素，计算轮廓系数（Silhouette Coefficient）S，S越接近1则聚类效果越好。如下图，K=3时，S最接近1。

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.metrics import silhouette_score

if __name__ == "__main__":
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    S = []
    for k in range(2, 10):
        km = KMeans(n_clusters=k)
        km.fit(x)
        S.append(silhouette_score(x, km.labels_))
    plt.xlabel('K')
    plt.ylabel('轮廓系数')
    plt.plot(range(2, 10), S, 'o-')
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()

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