K-means聚类算法（事先数据并没有类别之分！所有的数据都是一样的）
1、概述
K-means算法是集简单和经典于一身的基于距离的聚类算法
采用距离作为相似性的评价指标，即认为两个对象的距离越近，其相似度就越大。
该算法认为类簇是由距离靠近的对象组成的，因此把得到紧凑且独立的簇作为最终目标。
2、核心思想
通过迭代寻找k个类簇的一种划分方案，使得用这k个类簇的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。
k个聚类具有以下特点：各聚类本身尽可能的紧凑，而各聚类之间尽可能的分开。
k-means算法的基础是最小误差平方和准则,
其代价函数是：
式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。
各类簇内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。
上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。
3、算法步骤图解
下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。
4、算法实现步骤
k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：
1) 随机选取 k个聚类质心点
2) 重复下面过程直到收敛 {
对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：
对于每一个类 j，重新计算该类的质心：
}
其伪代码如下：
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创建k个点作为初始的质心点（随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
对数据集中的每一个数据点
对每一个质心
计算质心与数据点的距离
将数据点分配到距离最近的簇
对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心
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5、K-means聚类算法python实战
需求：
对给定的数据集进行聚类
本案例采用二维数据集，共80个样本，有4个类。
1 #!/usr/bin/python 2 # coding=utf-8 3 from numpy import * 4 # 加载数据 5 def loadDataSet(fileName): # 解析文件，按tab分割字段，得到一个浮点数字类型的矩阵 6 dataMat = [] # 文件的最后一个字段是类别标签 7 fr = open(fileName) 8 for line in fr.readlines(): 9 curLine = line.strip().split('\t') 10 fltLine = map(float, curLine) # 将每个元素转成float类型 11 dataMat.append(fltLine) 12 return dataMat 13 14 # 计算欧几里得距离 15 def distEclud(vecA, vecB): 16 return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) # 求两个向量之间的距离 17 18 # 构建聚簇中心，取k个(此例中为4)随机质心 19 def randCent(dataSet, k): 20 n = shape(dataSet)[1] 21 centroids = mat(zeros((k,n))) # 每个质心有n个坐标值，总共要k个质心 22 for j in range(n): 23 minJ = min(dataSet[:,j]) 24 maxJ = max(dataSet[:,j]) 25 rangeJ = float(maxJ - minJ) 26 centroids[:,j] = minJ + rangeJ * random.rand(k, 1) 27 return centroids 28 29 # k-means 聚类算法 30 def kMeans(dataSet, k, distMeans =distEclud, createCent = randCent): 31 m = shape(dataSet)[0] 32 clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 用于存放该样本属于哪类及质心距离 33 # clusterAssment第一列存放该数据所属的中心点，第二列是该数据到中心点的距离 34 centroids = createCent(dataSet, k) 35 clusterChanged = True # 用来判断聚类是否已经收敛 36 while clusterChanged: 37 clusterChanged = False; 38 for i in range(m): # 把每一个数据点划分到离它最近的中心点 39 minDist = inf; minIndex = -1; 40 for j in range(k): 41 distJI = distMeans(centroids[j,:], dataSet[i,:]) 42 if distJI < minDist: 43 minDist = distJI; minIndex = j # 如果第i个数据点到第j个中心点更近，则将i归属为j 44 if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True; # 如果分配发生变化，则需要继续迭代 45 clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2 # 并将第i个数据点的分配情况存入字典 46 print centroids 47 for cent in range(k): # 重新计算中心点 48 ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A == cent)[0]] # 去第一列等于cent的所有列 49 centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis = 0) # 算出这些数据的中心点 50 return centroids, clusterAssment 51 # --------------------测试---------------------------------------------------- 52 # 用测试数据及测试kmeans算法 53 datMat = mat(loadDataSet('testSet.txt')) 54 myCentroids,clustAssing = kMeans(datMat,4) 55 print myCentroids 56 print clustAssing
运行结果：
6、K-means算法补充
K-means算法的缺点及改进方法
（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：
改进：
对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k
（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：
改进：
有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感
（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：
（4）数据集比较大的时候，收敛会比较慢。