2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。
Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

 

 

想了一下，然后看了年鉴，没想到是这样的，我只是不敢写

上次做了一道类似的也是把体力用到增长率最高的地方，这个很巧

方法就是先搞一个合法的能量分配（一定要合法，能量要大于0，速度要大于0），然后调整

步长为del（开始为Eu），每次选一个增加选一个减少，然后一定要收益为正（用一个两个堆维护（t[e[i]]-t[e[i]+del]）和（t[e[i]]-t[e[i]-del]）的最大值）

每次做完后步长变成原来的1/k，一直做，做到步长足够小

可以证明这样做时间是n*logn*logV的，因为

第一次每个数最多变一次

后面的时候每个数最多变k次左右，如果超过了的话，那么在上一层就应该已经被更改了

做完之后拿数据测了一下，对了，然后就交，结果最后三个点RE

下完数据发现，数据跟年鉴上的不一样，s[i]有=0的情况，坑爹啊，我算t的时候有/s的地方，然后改了就A了TAT......

正解就差不多是算导数（增长率），我觉得不好算就没写了（不太喜欢算导数）

  1 const

  2     maxn=10010;

  3     eps=1e-14;

  4     oo=1e7;

  5     kk=6;

  6 type

  7     aa=array[0..maxn]of double;

  8     bb=array[0..maxn]of longint;

  9 var

 10     k,s,v,e,del1,del2:aa;

 11     q1,q2,h1,h2:bb;

 12     n,r1,r2:longint;

 13     c,all,ans:double;

 14  

 15 function t(s,k,v,e:double):double;

 16 begin

 17     if e<0 then exit(oo);

 18     v:=v+sqrt(e/k/s);

 19     if v<eps then exit(oo);

 20     exit(s/v);

 21 end;

 22  

 23 procedure swap(var x,y:longint);

 24 var

 25     t:longint;

 26 begin

 27     t:=x;x:=y;y:=t;

 28 end;

 29  

 30 procedure up(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);

 31 var

 32     i:longint;

 33 begin

 34     while x>1 do

 35         begin

 36             i:=x>>1;

 37             if del[q[x]]>del[q[i]]+eps then

 38                 begin

 39                     swap(q[i],q[x]);

 40                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;

 41                     x:=i;

 42                 end

 43             else exit;

 44         end;

 45 end;

 46  

 47 procedure down(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);

 48 var

 49     i:longint;

 50 begin

 51     i:=x<<1;

 52     while i<=r do

 53         begin

 54             if (i<r) and (del[q[i+1]]>del[q[i]]+eps) then inc(i);

 55             if del[q[i]]>del[q[x]] then

 56                 begin

 57                     swap(q[i],q[x]);

 58                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;

 59                     x:=i;i:=x<<1;

 60                 end

 61             else exit;

 62         end;

 63 end;

 64  

 65 procedure new(x:longint);

 66 begin

 67     del1[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]-c);

 68     del2[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]+c);

 69     up(q1,h1,del1,r1,h1[x]);down(q1,h1,del1,r1,h1[x]);

 70     up(q2,h2,del2,r2,h2[x]);down(q2,h2,del2,r2,h2[x]);

 71 end;

 72  

 73 procedure main;

 74 var

 75     i,u,vv,cnt:longint;

 76     ll,rr,mid:double;

 77 begin

 78     read(n,all);c:=all;cnt:=0;

 79     for i:=1 to n do

 80         begin

 81             inc(cnt);

 82             read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);

 83             if s[cnt]=0 then dec(cnt);

 84         end;

 85     n:=cnt;

 86     for i:=1 to n do

 87         begin

 88             ll:=0;rr:=all;

 89             while abs(ll-rr)>1 do

 90                 begin

 91                     mid:=(ll+rr)/2;

 92                     if t(s[i],k[i],v[i],mid)<1e5 then rr:=mid

 93                     else ll:=mid;

 94                 end;

 95             e[i]:=rr;all:=all-rr;

 96         end;

 97     e[1]:=e[1]+all;

 98     while c>eps do

 99         begin

100             r1:=0;r2:=0;

101             for i:=1 to n do

102                 begin

103                     inc(r1);q1[r1]:=i;h1[i]:=r1;

104                     inc(r2);q2[r2]:=i;h2[i]:=r2;

105                     new(i);

106                 end;

107             cnt:=0;

108             while del1[q1[1]]+del2[q2[1]]>eps do

109                 begin

110                     inc(cnt);if cnt>n*kk*2 then break;

111                     u:=q1[1];vv:=q2[1];

112                     e[u]:=e[u]-c;e[vv]:=e[vv]+c;

113                     new(u);new(vv);

114                 end;

115             c:=c/kk;

116         end;

117     for i:=1 to n do ans:=ans+t(s[i],k[i],v[i],e[i]);

118     writeln(ans:0:8);

119 end;

120  

121 begin

122     main;

123 end.

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 突然发现求导的方法很好写，就写了，只不过要用extended（至今不知道double和extended有什么区别233，一般都一样，不过有些只能用double，有些只能用extended，我不知道为什么）

 1 const

 2     maxn=10010;

 3     eps=1e-12;

 4     inf=1e6;

 5 var

 6     s,k,v:array[0..maxn]of extended;

 7     n,cnt:longint;

 8     all,ans:extended;

 9 

10 function flag(x:extended):boolean;

11 var

12     i:longint;

13     l,r,mid,a:extended;

14 begin

15     a:=all;

16     for i:=1 to n do

17       begin

18         l:=v[i];r:=inf;

19         while abs(l-r)>eps do

20           begin

21             mid:=(l+r)/2;

22             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

23             else l:=mid;

24           end;

25         if l<eps then exit(false);

26         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);

27         if a<0 then exit(false);

28       end;

29     exit(true);

30 end;

31 

32 procedure main;

33 var

34     l,r,mid,x:extended;

35     i:longint;

36 begin

37     read(n,all);

38     for i:=1 to n do

39       begin

40         inc(cnt);

41         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);

42         if s[cnt]=0 then dec(cnt);

43       end;

44     n:=cnt;

45     l:=0;r:=inf;

46     while abs(l-r)>eps do

47       begin

48         mid:=(l+r)/2;

49         if flag(mid) then l:=mid

50         else r:=mid;

51       end;

52     x:=l;

53     for i:=1 to n do

54       begin

55         l:=v[i];r:=inf;

56         while abs(l-r)>eps do

57           begin

58             mid:=(l+r)/2;

59             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

60             else l:=mid;

61           end;

62         ans:=ans+s[i]/l;

63       end;

64     writeln(ans:0:8);

65 end;

66 

67 begin

68 assign(input,'bicycling.in');reset(input);

69 assign(output,'bicycling.out');rewrite(output);

70     main;

71 close(output);close(input);

72 end.

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 为什么两个二分用两个eps就可以用double过了TAT（看来eps较小的情况还是用extended吧）

 1 const

 2     maxn=10010;

 3     eps=1e-13;

 4     eps1=1e-11;

 5     inf=1e6;

 6 var

 7     s,k,v:array[0..maxn]of double;

 8     n,cnt:longint;

 9     all,ans:double;

10 

11 function flag(x:double):boolean;

12 var

13     i:longint;

14     l,r,mid,a:double;

15 begin

16     a:=all;

17     for i:=1 to n do

18       begin

19         l:=v[i];r:=inf;

20         while abs(l-r)>eps do

21           begin

22             mid:=(l+r)/2;

23             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

24             else l:=mid;

25           end;

26         if l<eps then exit(false);

27         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);

28         if a<0 then exit(false);

29       end;

30     exit(true);

31 end;

32 

33 procedure main;

34 var

35     l,r,mid,x:double;

36     i:longint;

37 begin

38     read(n,all);

39     for i:=1 to n do

40       begin

41         inc(cnt);

42         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);

43         if s[cnt]=0 then dec(cnt);

44       end;

45     n:=cnt;

46     l:=0;r:=inf;

47     while abs(l-r)>eps1 do

48       begin

49         mid:=(l+r)/2;

50         if flag(mid) then l:=mid

51         else r:=mid;

52       end;

53     x:=l;

54     for i:=1 to n do

55       begin

56         l:=v[i];r:=inf;

57         while abs(l-r)>eps do

58           begin

59             mid:=(l+r)/2;

60             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

61             else l:=mid;

62           end;

63         ans:=ans+s[i]/l;

64       end;

65     writeln(ans:0:8);

66 end;

67 

68 begin

69     main;

70 end.

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 我是sb....TAT，double没有错，是我错了，能量足够是要往小调，v不合法是要往大调所以是if v<eps then exit(true);

 1 const

 2     maxn=10010;

 3     eps=1e-12;

 4     inf=1e6;

 5 var

 6     s,k,v:array[0..maxn]of double;

 7     n,cnt:longint;

 8     all,ans:double;

 9 

10 function flag(x:double):boolean;

11 var

12     i:longint;

13     l,r,mid,a:double;

14 begin

15     a:=all;

16     for i:=1 to n do

17       begin

18         l:=v[i];r:=inf;

19         while abs(l-r)>eps do

20           begin

21             mid:=(l+r)/2;

22             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

23             else l:=mid;

24           end;

25         if l<eps then exit(true);

26         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);

27         if a<0 then exit(false);

28       end;

29     exit(true);

30 end;

31 

32 procedure main;

33 var

34     l,r,mid,x:double;

35     i:longint;

36 begin

37     read(n,all);

38     for i:=1 to n do

39       begin

40         inc(cnt);

41         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);

42         if s[cnt]=0 then dec(cnt);

43       end;

44     n:=cnt;

45     l:=0;r:=inf;

46     while abs(l-r)>eps do

47       begin

48         mid:=(l+r)/2;

49         if flag(mid) then l:=mid

50         else r:=mid;

51       end;

52     x:=l;

53     for i:=1 to n do

54       begin

55         l:=v[i];r:=inf;

56         while abs(l-r)>eps do

57           begin

58             mid:=(l+r)/2;

59             if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid

60             else l:=mid;

61           end;

62         ans:=ans+s[i]/l;

63       end;

64     writeln(ans:0:8);

65 end;

66 

67 begin

68     main;

69 end.

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