2.线性回归，梯度下降与正规方程
0. 概要
线性回归，其实我们在高中时期就已经学习过——最小二乘法，这也正是本文中提到的正规方程。本文从单变量、多变量两个方面介绍线性回归，并指出模型评估的标准——损失函数，以及如何求出损失函数最小时的解——梯度下降、正规方程。
1. 单变量线性回归
在数据集中，特征（这里指自变量）x 的类数为1，从 x 到 y 建立线性回归方程。它是一种监督学习，因为对于每个数据，我们给出了“正确的答案”。为了描述回归问题，有以下常见变量：
- m：代表训练集中实例的个数
- x：代表特征 / 输入变量
- y：代表目标变量 / 输出变量
- (x, y) ：代表训练集中的实例
- h：代表学习算法的解决方案或函数，也成为假设（hypothesis）
如何表达假设函数h，对于单变量线性而言，一般应为：
h θ ( ) = θ 0 + θ 1 x ℎ_θ() = θ_0 + θ_1x hθ(x)=θ0+θ1x
2. 代价函数
代价函数也称之为平方误差（代价）函数。我们将模型所预测的值与训练集中实际值之间的差距称为建模误差，通过平均误差来反映模型好坏。于是就有了代价函数：
( θ 0 , θ 1 ) = 1 2 m ∑ ( h θ ( ) − i ) (θ_0, θ_1) =\frac{1}{2m}∑ (ℎ_θ(^) − ^i) J(θ0,θ1)=2m1∑(hθ(xi)−yi)
为什么是 1 / 2m：这里的目标是要求出代价函数最小时，对应的 θ 的解，因此乘一个常数是不影响结果的。而之所以是这个，是因为后面的求和项，在求导以会出现2m。
3. 梯度下降
梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数 (0, 1) 的最小值。
梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合(0, 1, . . . . . . , )，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值。梯度下降的公式为：
r e p e a t u n t i l c o n v e r g e n c e { θ j : = θ j − α ∂ ∂ θ j J ( θ 0 , θ 1 ) ( f o r j = 0 a n d j = 1 ) } repeat \ until \ convergence \{\ \\ θ_j:=θ_j- α \frac{∂}{∂θ_j} J(θ_0,θ_1) \quad (for \ j=0 \ and \ j = 1) \} repeat until convergence{ θj:=θj−α∂θj∂J(θ0,θ1)(for j=0 and j=1)}
对于单变量线性回归，每一次迭代应该表示为：
t e m p 0 : = θ 0 − α ∂ ∂ θ 0 J ( θ 0 , θ 1 ) t e m p 1 : = θ 1 − α ∂ ∂ θ 1 J ( θ 0 , θ 1 ) θ 0 : = t e m p 0 θ 1 : = t e m p 1 temp_0:=θ_0- α \frac{∂}{∂θ_0} J(θ_0,θ_1) \\ temp_1:=θ_1- α \frac{∂}{∂θ_1} J(θ_0,θ_1) \\ θ_0:=temp_0 \\ θ_1:=temp_1 temp0:=θ0−α∂θ0∂J(θ0,θ1)temp1:=θ1−α∂θ1∂J(θ0,θ1)θ0:=temp0θ1:=temp1
值得注意的是，我们需要同时更新两个 θ 的值。同步更新是更加自然的实现方法，即使不同步程序也能正常运行。实现梯度下降算法的代码如下所示：
def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
# lr代表学习率，step_num是梯度下降的重复次数
x = init_x
for i in range(step_num):
grad = numerical_gradient(f, x)
x -= lr * grad
return x
numerical_gradient()是求偏导或者导数的函数，对于线性回归，我们可以直接得到它的导数公式；但对于一些深度学习回归，可能就只有通过导数的定义来求解了。
4. 学习率
上述公式中，其中 α 是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向 向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率 乘以代价函数的导数。
如果 α 太小，程序移动的速度会非常慢；而如果 α 太大，则梯度下降法可能会越过最低点，甚至无法收敛。
在代价函数接近局部最低点时，导数值会自动变得越来越小，即使学习率保持不变，梯度下降也会自动采取较小的幅度，所以实际上没有必要再另外减小学习率 α 。
5. 多变量线性回归
当原始数据有更多特征时，即拥有更多自变量 x ，对应的便是多变量线性回归。此时的假设函数如下：
h θ ( ) = θ T x = θ 0 + θ 1 1 + θ 2 2 + . . . + θ n ℎθ() = θ^T x = θ_0 + θ_1_1 + θ_2_2+. . . +θ__n hθ(x)=θTx=θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
多变量回归的损失函数，也是所有建模误差的平均平方和：
( θ 0 , θ 1 , . . . , θ n ) = 1 2 m ∑ ( h θ ( ) − i ) (θ_0, θ_1,...,θ_n) =\frac{1}{2m} ∑ (ℎ_θ(^) − ^i) J(θ0,θ1,...,θn)=2m1∑(hθ(xi)−yi)
批量梯度下降算法本质也与上述相同，初步求导以后，公式为：
r e p e a t { θ j : = θ j − α 1 m Σ [ ( h θ ( x i ) − y i ) ⋅ x i ] ( s i m u l t a n e o u s l y u p d a t e θ j f o r j = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) } repeat \{\ \\ θ_j:=θ_j- α \frac{1}{m} Σ[\ (h_θ(x^i)-y^i) \ · \ x^i\ ] \ \\ (simultaneously \quad update \quad θ_j \\ for \quad j=0,1,2,...,n) \} repeat{ θj:=θj−αm1Σ[ (hθ(xi)−yi) ⋅ xi ] (simultaneouslyupdateθjforj=0,1,2,...,n)}
6. 特征缩放
在我们面对多维特征问题的时候，我们要保证这些特征都具有相近的尺度，这将帮助梯度下降算法更快地收敛。
解决的方法是尝试将所有特征的尺度都尽量缩放到 -1 到 1 之间。
（1）最大最小值归一化：将数值映射到[0, 1]上。
x n e w = x − m i n ( x ) m a x ( x ) − m i n ( x ) x^{new} = \frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)} xnew=max(x)−min(x)x−min(x)
（2）z标准化：将数值缩放到0附近，且数据的分布变为均值为0，标准差为1的标准正态分布。
x n e w = x − x ˉ σ x^{new} = \frac{x-\bar x}{σ} xnew=σx−xˉ
7. 正规方程
正规方程，其实是通过求解下面方程，找出使得代价函数最小的参数：
∂ ∂ θ j J ( θ j ) = 0 \frac{∂}{∂θ_j}\ J(θ_j) = 0 ∂θj∂ J(θj)=0
其实本质上似乎就是最小二乘法，不过这里在运算时进行了向量化。利用正规方程求解出结果为：
θ = ( X T X ) − 1 X T y θ = (X^TX)^{-1}X^Ty θ=(XTX)−1XTy
正规方程的代码实现如下：
# 正规方程
def normalEqn(X, y):
X_T = np.transpose(X)
theta = numpy.linalg.inv(X_T*X)*X_T*y
return theta
梯度下降与正规方程进行比较：
| 梯度下降 | 正规方程 |
|---|---|
| 需要选择学习率 α | 不需要 |
| 需要多次迭代 | 一次运算得出 |
| 适用于n各种情况 | n较大时运算代价大 |
| 适用各种模型 | 只适用于线性模型 |
8. 更多
本文所做的，只是以机器学习初学者视角，对线性回归做出比较基础的解释。事实上，回归，即使仅仅说是线性回归，都是一个非常深的数学领域，像回归的决定系数、均方误差，多元回归的异方差、共线性，t检验F检验等等等等，这些依旧不算很深入，都值得我们去做进一步的学习。