矩阵理论复习部分——线性代数（3）初等变换、逆矩阵

初等变换

一、初等变换3种方式

1. 对调矩阵的两行（两列）；
2. 以 $k\ne 0$ 乘某一行（列）所有元素；
3. 某一行（列）元素 $k$ 倍加到另一行（列）；

二、初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
左乘初等矩阵 = 行变换
右乘初等矩阵 = 列变换

初等矩阵所对应的行列式一定不为0。

逆矩阵

定义：已知方阵 $A$，求一个方阵 $B$ ，使得矩阵 $B$ 满足：$AB=BA=E$，称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵。

奇异矩阵：不可逆矩阵
非奇异矩阵：可逆矩阵

三、求逆矩阵

方法1：直接求逆矩阵（行变换法）
逆矩阵求法：初等行变换： $(A|E)\to (E|A^{-1})$
直接在原矩阵右边增加一个单位矩阵，经过初等行变换将原矩阵变化为单位矩阵，右侧矩阵即原矩阵的逆。

方法2：凑逆矩阵
根据题干提示信息，经过变换，可得到逆矩阵。

四、化简表达式

$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A{|}^{-1}$

$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$