算法---LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机 III

1. 题目

原题链接

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

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804 0

2. 题解

2.1 解法1: 动态规划

这里与 188.买卖股票的最佳时机 IV（困难） 题目基本没有区别, 只是 k 指定了为 2, 所以直接令 k=2, 复用 188题的代码即可

状态定义
问题的 状态 有三个, 第一个是天数，第二个是 允许交易的最大次数，第三个是 当前的股票持有状态; 所以有以下状态定义:

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

转移方程

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

初始化

初始化第 0 天的状态
dp[0][k][0] = 0
dp[0][k][1] = -prices[0]

代码:

    class Solution {
        public int maxProfit(int[] prices) {
            int n = prices.length;
            if (n == 0) {
                return 0;
            }
            int k = 2;
            int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
            // 初始化第 0 天的情况
            for (int i = 0; i <= k; i++) {
                dp[0][i][0] = 0;
                dp[0][i][1] = -prices[0];
            }
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                for (int j = 1; j <= k; j++) {
                    dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                    dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
                }
            }
            return dp[n - 1][k][0];
        }
    }

以上代码复杂度较高, 由于这里 k 取值范围比较小，所以可以不用 for 循环，直接把 k = 1 和 2 的情况全部列举出来也可以：

状态转移方程:

dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])

代码:

    class Solution {
        public int maxProfit(int[] prices) {
            int n = prices.length;
            if (n == 0) {
                return 0;
            }
            int dp_i10 = 0;
            int dp_i11 = -prices[0];
            int dp_i20 = 0;
            int dp_i21 = -prices[0];
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                // 今天未持有: 1.昨天就未持有,今天无操作 2.昨天持有今天卖出
                dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + prices[i]);
                // 今天持有: 1.昨天就持有, 今天无操作 2.昨天未持有, 今天买入,交易次数+1
                dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - prices[i]);
                // 下面推交易次数为 1 的情况
                dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + prices[i]);
                // 交易记录为1 ,那么如果昨天未持有, 今天买入, 那么此次为第一次交易, 原收益为 0 , 直接等于 -prices[i]
                dp_i11 = Math.max(dp_i11, -prices[i]);
            }
            return dp_i20;
        }
    }

总体思路参考; 团灭 LeetCode 股票买卖问题—labuladong的算法小抄