概率论——随机变量及其分布

第一节 随机变量的概念

1. 引例

小结：

1. 变量与样本点有一种函数关系：
   
2. 变量的取值是随机的

2. 数学定义

• 自变量可以是数，可以不是，但是因变量一定是数。

• 对每个样本点，唯一的实数与之对应，一对一或多对一

• 用随机变量的取值刻画随机事件

• 随机变量使得随机事件的表达更加简洁

• 可利用微积分的知识研究随机事件的概率

3. 随机变量的分类

1. 离散随机变量

离散随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值

2. 连续随机变量

连续随机变量可取得某一区间内的任何数值
Y ∈[a,b]

3. 既非离散，又非连续随机变量

以陀螺为例说明既非离散，又非连续的情形。

第二节 离散随机变量

一、离散随机变量的概率分布

1. 概率分布表（表格法）

2. 离散随机变量的概率函数（公式法）

3. 概率函数的性质

• 非负性：p(xi)≥0
• 正则性：
  

小结：

1. 定取值、算概率、验证一
2. 概率分布+概率的四则运算，可求任何事件的概率

例题：

第三节 常用离散分布

一、超几何分布

引例：

1. 定义

2. 利用MATLAB软件计算和绘图

二、二项分布

引例：

1. 定义

三、0-1分布

1. 定义

2. 利用MATLAB软件计算和绘图

3. 超几何分布与二项分布之间的关系

四、泊松分布

泊松分布是常见的，例如中午时分，每分钟进入肯德基的顾客数；一定时间内接错电话的次数；一个铸件上的缺陷数；一平方米玻璃上的气泡数；一页书上的错字书等。

1. 定义

2. 实例

3. 利用MATLAB软件计算和绘图

4. 二项分布与泊松分布之间的关系

第四节 连续随机变量

引例：

一、概率密度函数的定义

二、概率密度函数的性质

例题：

第五节 常用连续分布

一、均匀分布

1. 定义

2. 实例

二、指数分布

某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布。

1. 定义

2. 密度函数图

3. 分布函数图

例子：

三、Gamma分布（Γ分布）

在水文气象的研究中，年降雨量、年最高水位、风速、波高等，它们的分布通常用伽玛分布来描述。

1. 定义

2. 密度函数图

3. 分布函数图

第六节 随机变量的分布函数

一、分布函数的定义

例子：

二、分布函数的性质

第七节 多维随机变量

一、二维随机变量的联合分布

1. 二维随机变量的联合分布函数

2. 二维离散随机变量的联合概率函数

例子：

3. 二维连续随机变量的联合密度函数

例题：

二、二维随机变量的边缘分布

1. 边缘分布函数

2. 二维离散随机变量的边缘概率函数

3. 二维连续随机变量的边缘密度函数

例题：

第八节 随机变量的独立性

一、两随机变量相互独立

1. 定义

2. 独立的判定（独立的充要条件）

例题：




例子：

二、多个随机变量相互独立

1. 定义

2. 多个随机变量相互独立的判定（独立的充要条件）

第九节 随机变量函数的分布

一、离散随机变量函数的分布

1. Y = g(X) 的分布

已知离散随机变量X 的分布（概率函数），求X 的函数 Y = g(X) 的分布。

例题：

2. Z = G(X,Y) 的分布

已知二维离散随机变量(X,Y) 的联合分布（联合概率函数），求(X,Y)的函数Z = G(X,Y) 的分布。

例题：

二、连续随机变量函数的分布

1. Y = g(X) 的分布（只要求单调函数）

已知连续随机变量X 的分布（密度函数），求X 的函数 Y = g(X) 的分布（密度函数）。

思路：根据X 的分布先求随机变量Y 的分布函数，然后通过求导得到Y = g(X)的密度函数。

例题：