游戏开发中的数学基础

源自《3D游戏编程大师技巧（上册）》的总结

坐标系

表示物体的相对位置信息（相对原点），主要分为以下几种：

• 2D坐标系：
  • 2D 笛卡尔坐标系。主要运用有序数对来表示点的位置信息
  • 2D 极坐标：方向和距离来定义点
  • 笛卡尔和极坐标之间的转换。

      极坐标 to 笛卡尔
      
      x = rcos(θ)
      y = rsin(θ)
      
      笛卡尔 to 极坐标
      r = sqrt(x^2+y^2)
      θ = arctan(y/x)=tan^-1(y/x)  —— tan的反三角函数
      
      warming:当x=0时，正切为无穷大！！！若x=0，则θ=90
    

• 3D坐标系（3D游戏的重点）
  • 3D笛卡尔坐标系
    • 三条轴（有三个相互正交的向量组成）、八个卦限、三个平面（两两组成）
    • 依据新增的Z轴方向的不同，分为左手坐标系（LHS）和右手坐标系（RHS）。

    DirectX使用左手坐标系，OpenGL使用的是右手坐标系

  • 3D柱面坐标（三维的极坐标）
    • 只是在二维极坐标上加了一个描述高度的变量（Z轴）
    • 点的表示：(r,θ,h)
  • 三维笛卡尔和柱面坐标的相互转换

      极坐标 to 笛卡尔
      
      x = rcos(θ)
      y = rsin(θ)
      z = z;
      
      笛卡尔 to 极坐标
      
      r = sqrt(x^2+y^2)
      θ = arctan(y/x)=tan^-1(y/x)  —— tan的反三角函数
      z = z;
      
      warming：x=0时与二维转换的类似，不再复述
    

  • 3D球面坐标。表示点P的坐标为(ρ,Ф,θ),其中：
    • ρ: 点P到原点的距离
    • Ф：原点到点P的线段OP与正Z轴之间的夹角
    • θ：OP在x-y平面上的投影与正x轴之间的夹角
  • 关于球坐标与笛卡尔之间的转换。请自己画图推导加深印象，这里不再给出
• 小结：关于坐标轴，它可以非常具有创造力。你们可以根据自己的需求，利用数学几何知识进行构建，以达到更好的计算效率。但上述给出的坐标系已经足够大部分情况的使用。

三角学

• 直角三角形

  • 弧度制：整个圆周为360°，在弧度制中为2Π 。计算机函数sin()和cos()的参数以弧度为单位，而不是以度为单位！

  • 弧度与度之间的关系

    以度为单位的角度	以弧度为单位的角度	以度为单位的角度	以弧度为单位的角度
    360度	2*PI（大约6.28弧度）	57.296度	1弧度
    180度	PI弧度（大约3.1159弧度）	1.0度	0.0175弧度

  • 三角形三个内角为180度（PI弧度）

  • 角的对边和邻边、直角三角形的斜边

  • 勾股定理

  • 三角函数：sin(θ)、cos(θ)、tan(θ)

• 反三角函数：三角函数的反函数sin^-1(θ)、cos^-1(θ)、tan^-1(θ)
• 三角恒等式：
  • 倒数函数：csc(θ)=1/sin(θ) | sec(θ)=1/cos(θ) |cot(θ)=1/tan(θ)
  • 三角函数的勾股定理：sin²(θ) + cos²(θ)=1
  • 转换恒等式：sin(θ) = cos(θ-PI/2)
  • 反射恒等式：sin(-θ) = -sin(θ) | cos(-θ)=cos(θ)
  • 角度相加恒等式：sin(θ₁ + θ₂)=sin(θ₁)*cos(θ₁) + sin(θ₂)*cos(θ₂)等（高中知识）

向量

2/3D向量表示一条有向的线段

• 向量的一些说明：
  • 向量在定义之后其实都可以相对原点来表示的。任何向量都可以用以(0,0)或(0,0,0)作为起点。
  • 向量的重要属性有：长度和方向
  • 向量实质上是一个有序数集
• 向量长度：也称向量的模。|u|=sqrt(x²+y²)
• 归一化（normalize）：转化为单位向量,数集各值除以模即可
• 向量的计算
  • 数乘：向量模的伸缩、改向（乘上负数）
  • 加、减、
  • 点积
    • U 和 V之间的夹角为90°，则点积为0
    • U 和 V之间的夹角小于90°，点积大于0
    • U 和 V之间的夹角大于90°，点积小于0
    • U 和 V相等，点积为|U|² , |V|²
    • 投影计算
  • 叉积

  ·点积
      U*V = ux*vx + uy*vy = |U|*|V|*cos(θ);
      
  ·叉积
            |i  j  k |
     U×V  = |ux uy uz|
            |vx vy vz|
  

• 用线性组合表示向量：n=xi+yj+zk

矩阵与线性代数

为了更改习惯。在计算机中，矩阵中元素的下标从0开始。

• 基本的矩阵概念（引出等）参考《线性代数》教材
• 基本矩阵
  • 单位矩阵：主对角线的所有元素为1，其余元素为0的方阵。单位矩阵的性质：A * I = I * A=A（I和A必须有相同的维数）
  • 零矩阵：所有元素均为0.
• 矩阵加法、矩阵的转置
• 矩阵乘法：数乘和矩阵相乘
  • 数乘：k作为乘数，对矩阵中每一个元素都乘上k
  • 矩阵相乘：限制要求为前一个矩阵的列要等于后一个矩阵的行
• 矩阵运算满足的定律
  • 加法交换律
  • 加法结合律
  • 乘法结合律
  • 分配率（注意：乘法与括号中的矩阵在分配后的顺序一定要保持一致）
  • 单位矩阵的乘法属性：A * I = I * A = A

逆矩阵与方程组求解

• 逆矩阵的求法
• 克莱姆法则
• 使用矩阵进行变换：M’=M * M1 * M2 * M3 (M1、M2、M3为变换矩阵)
• 齐次坐标：n维坐标的齐次坐标为n+1维，多出来的维度w意义在于统一变换矩阵计算，常规坐标需要各坐标量除以w
• 应用矩阵变换
  • 平移矩阵（引擎底层的计算）

                           |1  0  0  0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|0  1  0  0|
                           |0  0  1  0|
                           |Tx Ty Tz 1|
                           
    逆矩阵为：
                           | 1   0   0  0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*| 0   1   0  0|
                           | 0   0   1  0|
                           |-Tx -Ty -Tz 1|
    

  • 矩阵缩放（引擎底层的计算）

                           |Sx 0  0  0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1  Sy 0  0|
                           |0  1  Sz 0|
                           |0  0  0  1|
                           
    逆矩阵为：
                           |1/Sx 0  0  0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1  1/Sy 0  0|
                           |0  1  1/Sz 0|
                           |0  0    0  1|
    

  • 矩阵旋转（引擎底层的计算）

    1、绕x轴旋转
                           |1   0    0    0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|1 cosx  sinx  0|
                           |0 -sinx cosx  0|
                           |0   0    0    1|
    2、绕y轴旋转
                           |cosx 0 -sinx 0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*| 0   1   0   0|
                           |sinx 0 cosx  0|
                           | 0   0   0   1|
    3、绕z轴旋转
                           |cosx   0   sinx 0|
    [x',y',z',1]=[x,y,z,1]*|-sinx cosx  0   0|
                           |  0    0    1   0|
                           |  0    0    0   1|
                           
    逆矩阵：将0改为-0
    

基本几何实体

• 点：坐标表示、齐次坐标
• 直线：两个点确定一条直线，表示直线的方法如下：
  • 2D直线
    • 斜率-截距形式：y=m*x+b
    • 点斜式：(x-x0) = m*(y-y0)
    • 通用形式：a * x+b * y + c = 0
    • 求两个点的交点（利用逆矩阵）

    a1*x + b1*y = c1
    a2*x + b2*y = c2
    
    A=| a1 b1 |    X= | x |    B=| c1 |
      | a2 b2 |       | y |      | c2 |
      
    求解：A*X=C 即为：  X=A^-1*B
    

  • 3D空间中的直线（知识点为于高等数学下册）
    • 参数化的方程 ：P(x,y,z)=P0 + (P0P1)*t (t为参数，P0P1为向量)
    • 显示形式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中 (a,b,c)为P0P1的各个分量
• 平面 （一般指3D空间的平面）
  • 所有的 3D平面都能延伸到无穷远
  • 所有的平面都将整个平面分成两个半空间（这对于各种空间划分算法和碰撞检测非常重要）
  • 平面的确定要素：平面法线向量n与平面一定点P0。性质：平面法线垂直于平面上任一直线，垂直向量点积为0：可得：PP0 * n=0
  • 几种常见的平面方程：
    • 点法式：a*(x-x0) + b*(y-y0) + c*(z=z0) = 0
    • 一般式：a * x + b * y +c * z + d = 0
  • 求平面交线：联立方程组、求解方程组
  • 点与直线位置的关系：
    • 平面方程：hs= a*(x-x0) + b*(y-y0) + c*(z=z0) 。点P(x,y,z)
    • 将点P带入方程，若：
      • hs=0 —— 位于平面上
      • hs>0 —— 位于正半空间
      • hs<0 —— 位于负半空间
    • 直线与平面的交点

使用参数化方程

通过使用参数化方程，可以用单变量函数来表示直线或曲线。

• 2D参数化直线
  • 起始点P0(x0,y0) , 终点P1(x2,y2)
  • 直线方向向量 s=P1-P0 = (x1-x0 , y1-y0)
  • 2D直线方程为：l ?’ = P0+s*t t∈(0,1)
• 3D直线参数化类似：P’=P0+s*t t(0,1) ,其中 s为 带模的方向向量
• 关于直线参数方程的实际应用：
  • 两线段是否有交点（实际问题：两架飞船是否会相撞等）根据交点x、y分别相等建立二元一次方程组，解得两个参数t1、t2,分别判断t1、t2是否在他们各自的定义域，如果都在则有交点。
  • 3D直线与平面的交点：将3D直线化为分别关于x,y,z的参数方程，带入平面求出参数t，判断t是否在定义域内

四元数

四元数是抽象的，它不代表现实中的任何东西（因为是关于复数），只在数学意义上存在。

• 在3D图形学的应用：3D相机控制、压缩存储、平滑3D插值
• 复数概念：针对特定无意义的值：当对-1开平方时，它本是没有意义的。数学家提出了复数的概念

    i=sqrt(-1)，即：
    i*i=1;
    
    复数的形式： x= a + b*i
                 a —— 实部
                 b —— 虚部
    
    图形可以在复平面表示：一般约定：x轴为实部，y轴为虚部

• 复数的计算：
  • 数乘、加减、乘法（略）
  • 重点强调除法：
    • 若实部均为0，虚部直接相除即可
    • 若实部均不为0，其技巧在于将分母表量化（利用平方差公式，即乘于共轭复数）

    共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的复数

  • 倒数：即分子为1的除法
• 复数的范数：将复数表示为向量之后，复数的范数就相当于“向量”的模，即：

    z = a + b*i,则：
    范数为：
    |z| = sqrt(a^2 + b^2)
    
    也有：设复数z的共轭复数为z1,则有：
    |z| = sqrt(z * z1)

• 超复数
  • 四元数就是超复数（hyper-complex number）,超复数可以指任何东西，但一般指有多个虚部的复数。
  • 四元数：有一个实部和三个虚部的复数

    q = q0 + q1*i + q2*j + q3*k
    q0,q1,q2,q3均为实数
     
    特殊的，当i=<1,0,0>  j=<0,1,0> k=<0,0,1>
    他们组成了四元数q的向量基
  

  • 四元数性质：i² = j² = k² = -1 =i * j * k (最后一项类似于叉积)
• 四元数的运算
  • 加法、减法
  • 四元数乘法：和传统多项式的乘法算法一致，去括号+各项相乘，但这里给出另外一个公式：

      p=p0 + p1*i + p2*j + p3*k = p0*pv
      q=q0 + q1*i + q2*j + q3*k = q0*qv
      
      则：
      r= p*q =(p0*q0 - (pv·qv)) + (p0*qv + q0*pv + pv×qv) = r0 + rv
      
      注：· 为点乘，× 为叉乘
  

  • 共轭四元数：q^* 实部相等，虚部全部互为相反数
  • 四元数的范数：|q|=sqrt(q0² + q1² + q2² + q3²) = sqrt(q * q^*)
  • 倒数：（重要）可以用来简化四元数旋转

      给定四元数q,我们要找到另外一个四元数q^-1,使得下列等式成立：
      q*q^-1 = 1 =q^-1*q    倒数
      
      · 两边同时乘以共轭复数q1,得
        (q*q^-1)*(q1) = (q^-1*q)*(q1) = q1
      · 乘法结合率
        q^-1*(q*q1) = q1
      · 因为：(q*q1)=|q|^2  (共轭复数相乘等于范数的平方)
        q^-1 = (q1) / (|q|^2)
        
        如果：q是个单位四元数，则|q|^2 = 1,从而：
        q^-1 = q1  (q1为q的共轭复数)
  

• *四元数的应用：3D图形学的旋转和插值（会另起文章专门深入讨论）