现代控制理论课程实验一：线性系统状态空间分析与运动解

一、实验目的

掌握线性系统状态空间标准型、解及其模型转换。

二、实验设备与软件：

MATLAB数值分析软件

三、实验原理：

3.1、求矩阵特征值和特征向量命令格式

[V J]=eig(A)
cv= eig(A)
说明：V特征向量，J是Jordan型;cv是特征值列向量

3.2、求运动的方法

(1)利用Laplace逆变换----适合于连续/离散线性系统

采用ilaplace/ iztrans对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。

(2)用连续(离散)状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统

对连续线性定常系统有：

显然要计算系统状态转移矩阵 ，有多种方法，如定义法、Laplace变换法、Sylvester方法。
在Matlab中采用了Pade逼近求取的方法，调用格式为：phi=expm( )。
对离散线性定常系统有：

3.3、状态方程的数值积分方法----适合于连续的线性和非线性系统

采用直接数值积分可以很容易地处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在Matlab/Simulink中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE(Ordinary Differential Equations)求解算法，典型的是Runge-Kutta算法，其通常使用的函数格式如下:

[t,x] = ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Kutta算法
[t,x] = ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Kutta算法

说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程组的函数，还有一些求解刚性 常微分方程组的方法，如ode15s ode23s ode23t ode23tb等。
b.参数options为积分的误差设置，取值为相对误差’reltol’ 和绝对误差’abstol’；[ti,tf]求解的时间范围；x0是初值向量；[t,x]是解。
c. Runge-Kutta算法是最常用的数值方法，请查阅相关资料，阅读算法的原理与计算格式。
下面是一个例子：

3.4、利用Cotrol ToolBox中的离散化求解函数----适合于LTI系统

a.用step()/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应:

当系统G是连续的情况下：
调用[y,t,x]=step/impulse(G)会自动对连续系统G选取采样时间范围和采样周期；
调用[y,t,x]=step/impulse(G,ti:Ts:tf)由有户自已定义对连续系统G的采样时间范围和采样周期。
当系统G是离散的情况下：
调用[y,t,x]=step/impulse(G)会按离散系统G给出的采样周期计算；
调用[y,t,x]=step/impulse(G,ti:Ts:tf)时Ts必须与离散系统G给出的采样周期一致。

b.用lsim()函数求取任意输入时系统的状态响应

调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti:Ts:tf,x0)(要注意连续系统与离散系统的情况)

c.零输入响应可用initial()函数

调用格式：[y,x,t]=initial(G,x0) (要注意连续系统与离散系统的情况)

3.5、利用Simulink环境求取响应----适于所有系统求取响应

使用Simulink求取线性或非线性系统的响应

调用格式如下：[t,x,y]=sim(‘XX.mdl’, ti:Ts:tf, options,u)

四、实验内容

已知线性系统

实验程序如下

clear
A = [ -21 19 -20; 19 -21 20; 40 -40 -40]; 
B = [ 0; 1; 2];
C = [ 1 0 2];
D = [0];

stateSpace = ss(A, B, C, D);    % 状态空间表达式

% 阶跃响应
[stepOutResponse, stepTime, stepResponse] = step(stateSpace);

% 冲激响应
[impulseOutResponse, impulseTime, impulseResponse] = impulse(stateSpace);

figure(1);
subplot(2, 1, 1);
plot(stepTime, stepResponse);
title('阶跃响应状态响应曲线');
grid on;
 
subplot(2, 1, 2);
plot(stepTime, stepOutResponse);
title('阶跃响应输出响应曲线');
grid on;

figure(2);
subplot(2, 1, 1);
plot(impulseTime, impulseResponse);
title('冲激响应状态响应曲线');
grid on;
 
subplot(2, 1, 2);
plot(impulseTime, impulseOutResponse);
title('冲激响应输出响应曲线');
grid on;

t =[0: 0.01: 5];
u = (1 + exp(-t) .* cos(5 * t)).*(t<3) + 1 * (t>= 3);
t = t'; u = u';
ut = [t, u];
[t1, x, y] = sim('shiyan.mdl', t, [], ut);

figure(3);
subplot(2, 1, 1);
plot(t1, x);
title('状态响应曲线');
grid on;

subplot(2, 1, 2);
plot(t1, y);
title('输出响应曲线');
grid on;

 % 传递函数
[num, den] = ss2tf(A, B, C, D, 1); 
transferFunc = tf(num, den);

figure(4);
rlocus(transferFunc);
title('K增益负反馈闭环根轨迹图');
grid on;

figure(5);
bode(transferFunc);
title('系统的bode图'); grid on;

figure(6);
nyquist(transferFunc);
title('系统的Nyquist图');
grid on;

• 利用Matlab求零状态下的阶跃响应(包括状态和输出)，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
  

• 利用Matlab求零状态下的冲激响应(包括状态和输出)，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
  

若控制输入为

且初始状态为

求系统的响应，要求

• a. 在Simulink中画出模型求响应，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
  

• 系统的传递函数
  

• 采用K增益负反馈，绘制闭环根轨迹图
  

有根轨迹可知，第一条趋于源点，第二条趋于在20-60之间，第三条趋于无穷远。

Matlab中绘制Bode图和Nyquist图

对于bode图可以知道，交越频率在转折频率之后，所以系统响应变化在低频段。对于相频，系统的相频特性均为负值。有Nyquist图可以知道，系统是稳定的。

五、实验总结

5.1、实验原理

在Matlab可以求解线性定常连续系统的状态空间模型：

• 阶跃响应函数step()可用于计算在单位阶跃输入和零初始状态(条件)下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应。
• 脉冲激励下的仿真函数impulse()可用于计算在脉冲刺激输入下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应。
• 任意输入激励下的仿真函数lsim()可用于计算在给定的输入信号序列(输入信号函数的采样值)下传递函数模型的输出响应。

5.2、实验总结

通过本次实验，

• 掌握了线性系统的状态空间表达式与传递函数之间在MATLAB中的使用。
• 知道了如何在simulink中建立状态方程的系统仿真模型。
• 以及如何求出状态空间的状态变量在各种响应后的状态、如何建立状态空间系统的仿真模型等。