两个整数的最大公约数

两个整数的最大公约数

1. 欧几里得算法

gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)

假设x是m，n的最大公约数，且m大于n（m小于n时，上式实现两个数的交换）

m=(m/n)*n+m%n（ / 表示整除）

n=(n/x)*x

则，则(m/n)*n有约数x，又m有约数x，则m%n也可以被x整除

#include 
using namespace std;
int Euclid(int m, int n)
{
    while (n)
    {
        int t = m % n;
        m = n;
        n = t;
    }
    return m;
}
int main()
{
    cout << Euclid(60, 24) << endl;
}

2. 连续整数检测算法

从m、n中较小的数开始查找，直到找到可以被m、n都整除的数

#include 
using namespace std;
int gcd(int m, int n)
{
    int t = min(m, n);
    while (m % t != 0 || n % t != 0)
        --t;
    return t;
}
int main()
{
    cout << gcd(60, 24) << endl;
}

3. 求m、n的质因数

算法设计与分析基础（ch1）

求不大于整数n的连续质数序列：

埃拉托色尼筛选法（sieve of Eratosthenes）

#include 
#include 
using namespace std;
//埃拉托色尼筛选法，产生一个不大于给定整除n的连续质数序列
void Sieve(int n, vector &isPrime)
{
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
    {
        if (isPrime[i])
        {
            int t = i * i;
            while (t <= n)
            {
                isPrime[t] = 0;
                t = t + i;
            }
        }
    }
}
int gcd(vector &isPrime, int m, int n)
{
    int result = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        //如果i是质数
        if (isPrime[i])
        {
            while (m % i == 0 && n % i == 0)
            {
                m = m / i;
                n = n / i;
                result *= i;
            }
        }
    }
    return result;
}
int main()
{
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    vector isPrime(min(m, n) + 1, 1); //记录较小数的质数序列
    // cout << isPrime.size() << endl;
    Sieve(min(m, n), isPrime);
    cout << gcd(isPrime, max(m, n), min(m, n)) << endl;
}