Python手撸机器学习系列（十三）：AdaBoost提升算法实现

AdaBoost算法

一、概述

提升算法是将一组弱分类器组合成强分类器的算法，大多数的提升算法都是改变训练数据的概率分布（或权值），针对不用的训练数据训练弱分类器学习，最后再组合弱分类器成为一个强分类器。

对于提速算法，需要解决两个问题：

• 如何在训练中修改样本的权值
• 如何组合弱分类器

AdaBoost提升算法主要做法：

• 首先提高前一轮分类器中被错误分类的样本的权值，并降低被正确分类样本的权值，再将更新后的数据分配给下一轮分类器训练。
• 在组合分类器上，将每个弱分类器的分类误差率作为权值计算加权值，即加权多数表决。

具体算法为：

有训练集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N\}$，其中$y=\{-1,+1\}$

首先初始化每个样本的权值为样本总数的倒数，即：
$$D_1=(w_{11},...,w_{1,i},...,w_{1,N}),w_{1,N}=\frac{1}{N}$$
假设我们希望学习$M$个弱分类器，$m=1,2,...,.M$，有如下计算步骤：

• 对第$m$个分类器对上一轮更新权值后的数据集$D_m$进行学习，可学得模型：

$$G_m(x):\mathcal{X}\to \{-1,1\}$$

• 计算当前分类器$G_m(x)$在训练集上的分类误差率：

$$e_m=\sum _{i=1}^N{w}_{mi}I(G_m(x_i)\ne y_i)$$

注意这里是误分类率，即当前分类器分类错误的个数并且乘上当前样本的权值$w_{mi}$。更要注意的是，这里的$G_m(x)$是单个分类器，不要使用当前积累的总分类器$f_m(x)$去预测

• 计算当前分类器的系数（最后组合的权值）：

$${\alpha }_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m}$$

这个式子的意义在于，当$e_m>0.5$时${\alpha }_m<0$，即误差率高时呈负面作用，而$e_m<0.5$时${\alpha }_m>0$且$e_m$越小${\alpha }_m$越大，表明误差率越小该分类器对分类的贡献越大，在组合时“话语权”更大。

• 更新训练数据集的权值分布
  $$w_{m+1,i}=\frac{w_{mi}}{Z_m}{e}^{-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)}$$
  其中$Z$是规范化因子：
  $$Z_m=\sum _{i=1}^N{w}_{mi}{e}^{-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)}$$
  这里$y_i\ast G_m(x_i)$表示的是当分类器预测正确时结果为1，分类错误时结果为-1

• 组合当前的弱分类器：
  $$f_m(x)=\sum _{i=1}^m{\alpha }_m{G}_m(x)$$

一直循环上述步骤，直到组合出达到标准的强分类器（比如误分类率为0），最后得到的强分类器：
$$G(x)=sign(f(x))=\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x)$$
这里$sign(x)$是指示函数，将$f(x)$的值映射到$\{1,-1\}$

二、代码实现

这里以李航《统计学习方法》第158页例8.1为例，简要实现Adaboost算法

在这个例子中，分类器为$x<v$或$x>v$，所以在定义模型时需要确立方向，代码中用flag区分；强分类器的标准是误分类点个数为0

import numpy as np

# 计算单个分类器
# 按《统计学习方法》中的例子，该出分类器为寻找切分点切分左右进行分类
def cal_G(data, label ,weights):
    best_point = -1
    best_error = float('inf')   #初始化误分类率
    best_flag = 0 #是小于切分点为正还是大于切分点为正
    for i in range(len(data)-1): #n条数据有n-1个切分点
        point = (data[i] + data[i+1]) / 2
        for flag in [-1, 1]: #两种切分方向
            error = 0
            for j in range(len(data)):
                if predict(data[j],point, flag) != label[j]:
                    error += weights[j]
            if error < best_error:
                best_point = point
                best_error = error
                best_flag = flag

    # 选出切分点后，计算误差率e和系数α
    e = best_error
    a = 1/2 * np.log((1-e)/e)

    # 调整权值分布
    #计算Z
    Z = 0
    for i in range(len(data)):
        Z += weights[i] * np.exp(-a*label[i]*predict(data[i], best_point, best_flag))
    #更新权值
    for i in range(len(weights)):
        weights[i] = weights[i] * np.exp(-a*label[i]*predict(data[i],best_point, best_flag)) / Z
    return a, best_point, weights, best_flag

#不断将弱分类器组合成强分类器
def adaboost(data, label, weight):
    a, g, w, f = cal_G(data, label, weight) #先进行一轮
    A = [a] #分类器的系数
    G = [g] #所有的分类器
    F = [f] #切分点朝向
    all_e = final_predict(data, label, A, G ,F) #整体分类器误分类点个数
    while all_e != 0 :
        a, g, w, f = cal_G(data, label, w)
        A.append(a)
        G.append(g)
        F.append(f)
        all_e = final_predict(data, label, A, G, F)

    return A, G, F

#一个切分点的预测值
def predict(x, point,flag):
    # 小于point为正例子时
    if flag == 1:
        return 1 if x < point else -1
    if flag == -1:
        return -1 if x < point else 1

#对于组合分类器的预测
def final_predict(data, label, A, G, F):
    error = 0
    for i,x in enumerate(data):
        res = 0
        for j in range(len(G)):
            res += A[j] * predict(x, G[j], F[j])
        res = 1 if res > 0 else -1
        if res != label[i]:
            error += 1
    return error #总体误分类点个数

if __name__ == '__main__':
    X = list(np.arange(0,10))
    Y = [1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1]
    weights = [1/len(X)]*len(X) #初试化权值
    A, G, F = adaboost(X, Y, weights)
    s = ['%.4f'%(A[i]) + '*' + ('(<' if F[i] == 1 else '(>' )+(str(G[i])) + ')' for i in range(len(A))]
    print('最终模型为:{}'.format('+'.join(s)))

最后得到的强分类器，与李航《统计学习方法》第160页中得到的结果一致。
其实训练过程也是一样的，大家可以逐步打印。

三、参考文献

李航《统计学习方法》第二版