数学建模——灰色关联分析【工具：Excel】【全文5500字】

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笔者将会尽量用很通俗的语言来描述。

数学建模系列文章——总结篇：《数模美一国一退役选手的经验分享[2021纪念版]》.

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一、灰色关联分析是什么？

  灰色关联度分析（Grey Relation Analysis，GRA），是一种多因素统计分析的方法。简单来讲，就是在一个灰色系统中，我们想要了解其中某个我们所关注的某个项目受 其他的因素 影响的相对强弱。
  再直白一点，就是说：我们假设已经知道某一个指标可能是与其他的某几个因素相关的。那么我们想知道这个指标与其他哪个因素，相对来说更有关系，而与哪个因素相对关系弱一点。依次类推，把这些因素排个序，得到一个分析结果，我们就可以知道我们关注的这个指标，与因素中的哪些更相关。

  补充 ： 灰色系统这个概念的提出是相对于白色系统和黑色系统而言的。按照控制论的惯例，颜色一般代表的是对于一个系统我们已知的信息的多少，白色就代表信息充足，比如一个力学系统，因素之间的关系都是能够确定的，这就是一个白色系统；而黑色系统代表我们对于其中的结构并不清楚的系统，通常叫做黑箱或黑盒的就是这类系统。灰色介于两者之间，表示我们只对该系统有部分了解。

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二、灰色关联分析有什么用？

	举一个简单的栗子，在某一个城市里有个网吧，它的总收入和其他数据如下。
	然后问你一个问题，你觉得 这个网吧的总收入 和 那些数据 更具有相关性。(不妨花费5秒看一看)

  显然，我们单靠眼睛看还是很难看出。接下来我们可以用灰色关联分析，就能挖掘其主要因素。
  注：知道有什么用、怎么用即可。如要了解详细的原理，可以看看文章最后的 参考附录。
  在下面的用法中，我也将会简单地、通俗地穿插其原理。

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三、灰色关联分析的适用范围？

样本数量较少时，使用关联分析最佳。
而当样本数量较多时，一般使用标准化回归。

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四、灰色关联分析怎么用？

  不管是用matlab，还是Excel，都是可以的，鉴于方便起见，我用Excel吧，后面有文章更新时，我在加上matlab的方法吧。

  先上方法~

①第一步：求平均值

作用：去量纲的前一步操作

即求每一列数据的平均值。(输入公式，拖入数据)

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②第二步：均值化(也可以用初值化)

作用：去量纲
补充：那为什么要去量纲呢？
因为在这几列数据中，有些列的单位是不同的（比如 D列 和 E列 ）。我们为了消除单位所带来的差异，去掉数据的“外壳”。就将每一列的每个数据除以 该列数据的平均值 ，之后，即可得到一个“相对值”(好好体会吧)，一个可以认为是没有了单位的 “相对数值” 。

注：“$”是锁定 编号为 ‘17’ 这一行的意思。 然后拖动数据框，得到如下结果。

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③第三步：取绝对值

为什么要取绝对值？
因为要让 子序列(即 D列、E列、F列、G列) 和 母序列(即C列的 “网吧总收入” ) 进行比较，就要使双方产生 关系 ，只不过在灰色关联分析的方法中，是通过 “取绝对值” 产生的关系。

灰色关联度的公式详见“⑤”。

注：“$”是锁定 编号为 ‘C’ 这一列的意思。ABS()函数是用来取绝对值的。 然后拖动数据框，即可得到结果。

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④第四步：计算出 最最大值 和 最最小值

注：为什么我叫它最最小值呢？就是在所有 “行+列” 中的最小值。最最大值同理。

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⑤第五步：使用灰色关联度公式

这个是计算灰色关联度的公式：

<1> ρ是分辨系数，一般取0.5。我用 Excel 计算时也用的 0.5。
<2> “ min min | x0(k) - xi(k) | ” 就是 “最最小值” 的意思
<3> “ max max | x0(k) - xi(k) | ” 就是 “最最大值” 的意思

注：“$B$45”中的两个 $ 的意思是，锁定“B”这一列和“45”这一列，也就是锁定“B45”这一个单元格。

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⑥第六步：求灰色关联度

注：求关联度也就是，求每一列的平均值。

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⑦第七步：最终结果

注：灰色关联度的取值范围为 [0, 1]，而值越大的说明灰色关联度越大。比如，从表格中，我们可以看见，“附近居民数量”的灰色关联度为0.862…，值最大，说明它和“网吧总收入”的相关性最强，而与“网吧的环境资金投入”的相对关系最弱。

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参考附录：

[1] 《灰色关联度分析（GRA）原理详解》,通过这篇文章，你可以比较系统地学习到：灰色关联分析原理】
链接: 灰色关联度分析（Grey Relation Analysis，GRA）原理详解.

[2] 《灰色关联分析法》：来自百度百科】
链接: 灰色关联分析法.

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