《数值分析》-- The great 平方逼近

The great 平方逼近：最佳平方逼近

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一、最佳平方逼近及计算

• 定义
  
  span中会给出${\phi }_i(x)$对应的具体函数，稍后看习题就会明白。
• 讨论$S^{\ast }(x)$的计算
  
  由于$I(a_0,a_1,..,a_n)$是关于$a_0,a_1,..,a_n$的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得
  
  
  
  
  

n阶矩阵（方正）的行向量或列向量线性无关，则秩等于n，所以矩阵的行列式不等于0，矩阵可逆。

• 误差的计算⭐
  
  

习题

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二、用正交多项式作最佳平方逼近

• 定义
  
  习题

• 补充
  
  通常采用该方法求最佳平方逼近多项式。

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习题

• 例题

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   注意：${\phi }_i(x)$题目没有给出，因此我们需要明白${\phi }_i(x)$中我们需要值。以及写出法方程！

• 平方逼近的误差
  

4. 
   
   

• 误差
  
• 例题

1. 利用勒让德多项式序列求$f(x)=e^x$在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。

• 勒让德多项式
  

• $S^{\ast }(x)与a_k$
  
  
  
  

• $a_k$的计算
  

• 均方误差