线性代数的本质

目录

1.什么是向量

2.什么是基向量

3.什么是正交基

4.什么是矩阵

5.什么是线性变换

6.什么是行列式

7.什么是秩

8.什么是特征向量

9.什么特征值

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1.什么是向量

        向量泛指空间中所有的箭头，为便于理解和计算，这里给向量空间加一个直角坐标系，把这些箭头量化成坐标系中所有的点，任取一个点，它的坐标就代表这个二位空间中的向量。

        

         以中括号里的-1 ，2这个向量为例，它表示x轴坐标为-1，y轴坐标为2的点

             

2.什么是基向量

         方向和坐标系一致，长度为1的单位向量记为基向量。记为i冒，j冒。

3.什么是正交基

        互相垂直的两个单位向量即为正交。

4.什么是矩阵

        可以将矩阵理解为一个函数，但是用变换来表示矩阵更为恰当。

5.什么是线性变换

        一个向量经过一个矩阵变换后没有发生形变（刚体），记该矩阵是线性变换。如果发现形变，就是非线性变换。

6.什么是行列式

        单独描述行列式没有意义，一般说是某矩阵的行列式。以二位空间为例，由基向量组成的矩阵，记为二维单位阵，这个单位阵的行列式计算过程为：主对角线元素乘积-此对角线元素乘积，即1x1-0x0=1，刚好是是由这两个基向量围城的正方形的面积。同理，在三维空间中，由三个基向量组成的单位阵的行列式计算结果就是这三个基向量围成的正方体的体积。那行列式的意义究竟是神马？我们知道任何一个二维矩阵都是由二维空间中的基向量跟踪得来的。什么意思呢。比如矩阵（3，0），（0，3），它的第一列也就是（3，0）向量实际上是3x(1,0)，而(1,0)向量正是基向量i冒。同理第二列（0，3）向量是基向量j冒的3倍。在直角坐标系中，i冒被放大3倍，j冒被放大三倍，那么由这两个被放大三倍的向量围成的面积是3*3=9。也就是说矩阵将原由基向量围成的面积1经过变换后扩大9倍。这就是行列式的意义。也就是线性变换后空间缩放因子。因为行列式的值可能为负，这里的负表示空间反转，就好比一张纸的正反两页。

7.什么是秩

       一般说某矩阵的秩。 秩就是变换后空间的维数。秩小于等于矩阵的维数。当秩等于矩阵维数，称为满秩变换，意思是变换前如果空间维数是3，变换后空间维数依旧是3。就好比在三维空间中旋转一个立方体，旋转后还是一个三维的立方体。当秩小于矩阵维数但不等于0时，意味着这个矩阵变换有降维的效果。比如一个三维空间中的立方体经过变换后被压成一个二维的平面，就是降维。当秩为0，意味着这个矩阵变换的结果时零空间，也就是原点。什么矩阵有这个效果？就是它：或。总之就是任意n阶全0矩阵。

8.什么是特征向量

         一般将某某矩阵的特征向量。特征向量就是经过某矩阵变换后这些向量没有发生偏转或形变的向量。例如任何在x轴或y轴上的向量经过矩阵变换后都还在x轴或y轴上，只是大小变为原来的三倍，这个3就是特征值

9.什么特征值

       某矩阵变换后特征向量的压缩因子，例如特征值就表示某向量经过矩阵变换后调转了方向且被压缩为原来的一半。

        下面公式特征值，特征向量和变换矩阵的关系。其中A就是变换矩阵，向量V就是特征向量。第一个公式的意思是，向量V经过矩阵A变换后等于一个常数乘以向量V，加入单位矩阵I是为了进行恒等变换。意思是某个常熟和单位阵的乘积等于矩阵A。从第三个公式可以看出，向量V经过前面括号中的矩阵变换后变成0向量，那就意味着这个括号中矩阵的行列式等于0.