周志华《机器学习》习题答案（不断更新中）

第1章 绪论

1.1 求版本空间
先看书中示例
版本空间： 从假设空间删除掉与正例不一致和与反例一致的假设后，剩余的假设所组成的集合。它可以看成是对正例的最大泛化。

表1.1的训练数据集对应的假设空间应该如下：
1 色泽＝＊，根蒂＝＊，敲声＝＊
2 色泽＝青绿，根蒂＝＊，敲声＝＊
3 色泽＝乌黑，根蒂＝＊，敲声＝＊
4 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝＊
5 色泽＝＊，根蒂＝硬挺，敲声＝＊
6 色泽＝＊，根蒂＝稍蜷，敲声＝＊
7 色泽＝＊，根蒂＝＊，敲声＝浊响
8 色泽＝＊，根蒂＝＊，敲声＝清脆
9 色泽＝＊，根蒂＝＊，敲声＝沉闷
10 色泽＝青绿，根蒂＝蜷缩，敲声＝＊
11 色泽＝青绿，根蒂＝硬挺，敲声＝＊
12 色泽＝青绿，根蒂＝稍蜷，敲声＝＊
13 色泽＝乌黑，根蒂＝蜷缩，敲声＝＊
14 色泽＝乌黑，根蒂＝硬挺，敲声＝＊
15 色泽＝乌黑，根蒂＝稍蜷，敲声＝＊
16 色泽＝青绿，根蒂＝＊，敲声＝浊响
17 色泽＝青绿，根蒂＝＊，敲声＝清脆
18 色泽＝青绿，根蒂＝＊，敲声＝沉闷
19 色泽＝乌黑，根蒂＝＊，敲声＝浊响
20 色泽＝乌黑，根蒂＝＊，敲声＝清脆
21 色泽＝乌黑，根蒂＝＊，敲声＝沉闷
22 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝浊响
23 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝清脆
24 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝沉闷
25 色泽＝＊，根蒂＝硬挺，敲声＝浊响
26 色泽＝＊，根蒂＝硬挺，敲声＝清脆
27 色泽＝＊，根蒂＝硬挺，敲声＝沉闷
28 色泽＝＊，根蒂＝稍蜷，敲声＝浊响
29 色泽＝＊，根蒂＝稍蜷，敲声＝清脆
30 色泽＝＊，根蒂＝稍蜷，敲声＝沉闷
31 色泽＝青绿，根蒂＝蜷缩，敲声＝浊响
32 色泽＝青绿，根蒂＝蜷缩，敲声＝清脆
33 色泽＝青绿，根蒂＝蜷缩，敲声＝沉闷
34 色泽＝青绿，根蒂＝硬挺，敲声＝浊响
35 色泽＝青绿，根蒂＝硬挺，敲声＝清脆
36 色泽＝青绿，根蒂＝硬挺，敲声＝沉闷
37 色泽＝青绿，根蒂＝稍蜷，敲声＝浊响
38 色泽＝青绿，根蒂＝稍蜷，敲声＝清脆
39 色泽＝青绿，根蒂＝稍蜷，敲声＝沉闷
40 色泽＝乌黑，根蒂＝蜷缩，敲声＝浊响
41 色泽＝乌黑，根蒂＝蜷缩，敲声＝清脆
42 色泽＝乌黑，根蒂＝蜷缩，敲声＝沉闷
43 色泽＝乌黑，根蒂＝硬挺，敲声＝浊响
44 色泽＝乌黑，根蒂＝硬挺，敲声＝清脆
45 色泽＝乌黑，根蒂＝硬挺，敲声＝沉闷
46 色泽＝乌黑，根蒂＝稍蜷，敲声＝浊响
47 色泽＝乌黑，根蒂＝稍蜷，敲声＝清脆
48 色泽＝乌黑，根蒂＝稍蜷，敲声＝沉闷
49 Ø

按照上述过程进行学习：
（1，（色泽＝青绿、根蒂＝蜷缩、敲声＝浊响），好瓜）
可以删除假设空间中的3、5、6、8、9、11-15、17-21、23-30、32-49
（2，（色泽＝乌黑、根蒂＝蜷缩、敲声＝浊响），好瓜）
可以删除剩余假设空间中的2、10、16、31
（3，（色泽＝青绿、根蒂＝硬挺、敲声＝清脆），坏瓜）
可以删除剩余假设空间中的1
（4，（色泽＝乌黑、根蒂＝稍蜷、敲声＝沉闷），坏瓜）
剩余假设空间中无可删除的假设

学习过后剩余的假设为
4 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝＊
7 色泽＝＊，根蒂＝＊，敲声＝浊响
22 色泽＝＊，根蒂＝蜷缩，敲声＝浊响
这就是最后的“假设集合”，也就是“版本空间”。

其中：图中清脆应改为浊响。

本题解析
西瓜1（（色泽＝青绿、根蒂＝蜷缩、敲声＝浊响），好瓜））为正例
找到与它不一致的假设：3、5、6、8、9、11-15、17-21、23-30、32-49
西瓜4（（色泽＝乌黑、根蒂＝稍蜷、敲声＝沉闷），坏瓜））为反例
找到与它一致的假设：1,、3、6、9、15、21、30、48
所以在搜索过程中删除的假设有：1、3、5、6、8、9、11-15、17-21、23-30、32-49
剩下的假设有为：2、4、7、10、16、22、31
所以，所求版本空间为：{2、4、7、10、16、22、31}

1.2 与使用单个合取式来进行假设表示相比，使用“析合范式”将使得假设空间具有更强的表示能力。例如：好瓜←→（（色泽=）∧（根蒂=蜷缩）∧（敲声=））∨（（色泽=乌黑）∧（根蒂=）∧（敲声=沉闷）），会把“（色泽=）∧（根蒂=蜷缩）∧（敲声=）”以及“（色泽=乌黑）∧（根蒂=）∧（敲声=沉闷）”都分类为“好瓜”。若使用最多包含k个合取式的析合范式来表达表1.1西瓜分类问题的假设空间，试估算共有多少中可能的假设。（提示：注意冗余情况，如（A=a）∨（A=）与（A=）等价。）
本题解析
由题1.1知，共有49种假设，其中：
全部不泛化 2∗3∗3=182∗3∗3=18种假设；
一个属性泛化：2∗3+3∗3+2∗3=21种假设；
两个属性泛化：2+3+3=82+3+3=8种假设；
三属性泛化：1种假设
空集：1种假设
不考虑空集，则有48种假设，所以k的最大值为48。
而组成的析合范式是这48种假设的排列组合，展开序列为（即杨辉三角的一排）：（1、48、1128、… 、1128、48、1）共49个数，左边的1表示：一个假设都没选，右边的1表示：全部假设都被选。

如果k=48，就是说最多采用48种合取式来组成析合范式，排除一种都不选的情况，就是2^48 - 1种。（2^48是根据二项式系数之和得的）
如果0 如果指定了k的个数，那就是展开序列的第k+1（因为展开序列从0开始数）项的数

但是，这个结果得去重才行，因为泛化是对若干种假设的包含（包容），它本身不是某种假设。把泛化的 * 展开后，就是若干种具体的假设。如果此题采取48，那么把 * 展开后，假设集合中一定有重复，而且一种具体假设还不止重复一次。此题应该采用18种具体假设来计算， 就是：2^18 - 1

结语

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