nim游戏

nim游戏的规则：有两个人和$n$堆石子，第$i$堆石子有$a_i$个，每人每次可以从任意一堆石子中取出任意多个石子。可以整堆取完，但不能不取。最后没有石子可取的人就输了。两人都用最优策略，请问是否有先手必胜的策略。

先给出结论。如果$a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n\ne 0$，则有先手必胜策略，否则没有。

为什么呢？对于$>0$的情况，我们设$a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n=k$，则因为$k$二进制中的最高位是从$a$值中来的，所以必定有一个$i$，若$k$二进制的最高位是第$t$位，则$a_i$二进制中的第$t$位为$1$。

我们取若干个第$i$堆石子，使的数量变为$a_i\oplus k$（这里可以保证$a_i\oplus k<a_i$，因为$k$的最高位被消去），那么$a_1\oplus a_2\oplus \dots (a_i\oplus k)\oplus \cdots \oplus a_n=a_1\oplus a_2\oplus \dots a_i\oplus \cdots \oplus a_n\oplus k=0$

作为先手，我们只需要使得各堆石子的数量的异或和为$0$。因为不能不拿，所以后手必然会使得各堆石子的异或和不为$0$。我们只要在每次操作中使异或和为$0$，因为石子只会越来越少，所以最后使各堆石子数量变为$0$的只能是先手。

如果$a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n=0$，先手不管怎么取，都会使各堆石子的异或和不为$0$，只要后手每次操作都是各堆石子的异或和为$0$，那后手就是最后的赢家。

结论：如果$a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n\ne 0$，则有先手必胜策略，否则没有。

例题

P2197 nim游戏

同上文

code

#include
using namespace std;
int t,n,ans,a[10005];
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            ans^=a[i];
        }
        if(ans) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}