Physics-informed neural networks for high-speed flows
论文信息
题目：
- Physics-informed neural networks for high-speed flows
作者：
- Zhiping Mao, Ameya D. Jagtap, George Em Karniadakis∗
- Division of Applied Mathematics, 182 George Street, Brown University, Providence, RI 02912, USA
期刊会议：
年份：
- 19
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代码：
摘要
- 在这项工作中，我们研究了使用基于物理信息的神经网络(PINNs)来近似模型高速气动流动的欧拉方程的可能性
- 对于正问题，我们利用欧拉方程和初始/边界条件建立了损失函数，并求解了具有光滑解的一维欧拉方程和具有接触不连续解的一维欧拉方程以及二维斜激波问题. 我们证明，我们可以capture解只用少数分散点随机聚集在不连续点周围.
- 对于反问题，模仿了传统高速空气动力学中使用的纹影摄影实验技术（Schlieren photography experimental technique），利用在一些特别的点 x = x ∗ x=x^{*} x=x∗的density gradient ∇ ρ ( x , t ) \nabla \rho(x, t) ∇ρ(x,t)，the pressure p ( x ∗ , t ) p\left(x^{*}, t\right) p(x∗,t)，以及conservation laws去推断关注的所有state（density, velocity and pressure fields）
- 文中提出点 x ∗ x^{*} x∗的选着也非常重要，特别地，对于有光滑解的问题，我们可以从计算域中随机选择点x∗的位置，然后对于Riemann problems（Sod or Lax problem），需要必须在初始不连续点和最终冲击点之间的定义域内选择点 x ∗ x^{*} x∗的位置
- 综上所述，我们的结果表明，在当前的形式中，守恒定律是在随机点上施加的，对于正问题，PINNs没有传统的数值方法那么精确，但对于甚至不能用标准技术解决的反问题，PINNs更优越。
keyword:Euler equations; Machine learning; Neural networks; Conservation laws; Riemann problem; Hidden fluid mechanics
内容
问题定义
The conservation of mass, momentum and energy for compressible flow in the inviscid limit can be modeled by the Euler equations
∂ t U + ∇ ⋅ f ( U ) = 0 , x ∈ Ω ⊂ R d , d = 1 , 2 , t ∈ ( 0 , T ] \partial_{t} U+\nabla \cdot f(U)=0, x \in \Omega \subset \mathbb{R}^{d}, d=1,2, t \in(0, T] ∂tU+∇⋅f(U)=0,x∈Ω⊂Rd,d=1,2,t∈(0,T]
对于一维
U = ( ρ ρ u ρ E ) , f ( U ) = ( ρ u ρ u 2 + p u ( ρ E + p ) ) U=\left(\begin{array}{c} \rho \\ \rho u \\ \rho E \end{array}\right), \quad f(U)=\left(\begin{array}{c} \rho u \\ \rho u^{2}+p \\ u(\rho E+p) \end{array}\right) U=⎝⎛ρρuρE⎠⎞,f(U)=⎝⎛ρuρu2+pu(ρE+p)⎠⎞
对于二维
U = ( ρ ρ u 1 ρ u 2 ρ E ) , f = ( G 1 , G 2 ) , with G i ( U ) = ( ρ u i δ i 1 p + ρ u 1 u i δ i 2 p + ρ u 2 u i p u i + ρ u i E ) , i = 1 , 2 U=\left(\begin{array}{c} \rho \\ \rho u_{1} \\ \rho u_{2} \\ \rho E \end{array}\right), \quad f=\left(G_{1}, G_{2}\right), \text { with } G_{i}(U)=\left(\begin{array}{c} \rho u_{i} \\ \delta_{i 1} p+\rho u_{1} u_{i} \\ \delta_{i 2} p+\rho u_{2} u_{i} \\ p u_{i}+\rho u_{i} E \end{array}\right), i=1,2 U=⎝⎜⎜⎛ρρu1ρu2ρE⎠⎟⎟⎞,f=(G1,G2), with Gi(U)=⎝⎜⎜⎛ρuiδi1p+ρu1uiδi2p+ρu2uipui+ρuiE⎠⎟⎟⎞,i=1,2
其中， ρ \rho ρ is the density, p p p is the pressure, u u u is the velocity in one dimension or u 1 u_{1} u1, u 2 u_{2} u2 are velocity components in x x x
and y y y directions in two dimensions, and E E E is the total energy, δ i j \delta_{i j} δij is the Kronecker delta. 为了结束这些方程，我们还需要一个方程，即描述压强和能量关系的状态方程。本文考虑了在给定b条件下多变性气体的状态方程
p = ( γ − 1 ) ( ρ E − 1 2 ρ ∥ u ∥ 2 ) p=(\gamma-1)\left(\rho E-\frac{1}{2} \rho\|\boldsymbol{u}\|^{2}\right) p=(γ−1)(ρE−21ρ∥u∥2)
实验
正向问题
- 一维
不需要知道不连续点的确切位置，我们只需要对不连续点的区域进行一个粗略的估计，并在不连续点周围使用更多分散的数据。
- 二维稳态问题
与使用随机训练点得到的PINN解相比，使用一簇训练点得到的PINN解更准确地捕捉到冲击位置，即使点少得多。
二维问题的速度和压力的准确性比一维情况下表1中,因为速度和压力在一维情况下平稳而速度和压力在二维情况下不连续
创新：
- 探讨了采点的影响，论文中提出对于Euler方程，在非连续区域附近增加采点，会提高预测效果，（但是这可能和方程本身是有关系的，像子雪之前做的NS方程可能增加采点效果会变差）
- 在原有loss方程中增加了 M S E ρ N M S E_{\rho}^{N} MSEρN，增加了梯度项（其实这感觉也是一种分区域的思想，PPINN中增加了保证边界连续项以及可微分项）