算法导论-动态规划-钢条切割问题

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一、钢条切割定义

图为价格表
给定一段长度是n的钢条和一个价格表，求切割方案使得收益达到最大（允许全不切割的情况存在）

二、具体步骤

1.思考

易知长度为n的钢条有2的n-1次方种选择方式，故不可穷举。
我们可以考虑一段长度为n的钢条切段，在第k处时切开，如图：
这样的话，在n1段的前k-1上寻找最佳解，同理，在n2段的后m-k上寻找最佳解。这样的话问题就成为了：将两段钢条看成两个独立的钢条问题，我们称钢条切割问题满足最优子结构。

还有另一种思路，采用更为简单的递归求解思想：

1. 一段长度为i的不可分割的钢条
2. 一段长度为n-i的混合钢条
   

2.代码思考

1. 先看看第二种算法（简单易于理解）
   
   在这里采用自顶而下的递归算法，但这里的算法是失败的，问题在于它花费了大量时间来重复计算
   

拿长度为4来举例，规模为1的重复计算有4个，规模为0的重复计算有8个。
其时间复杂度为2的n次方

3.动态规划求解

1. 带备忘的自顶而下法：之前算法慢的主要原因是因为大量重复运算，所以可以在过程中保留子问题的解（通常在数组或者散列表中），需要子问题的解时会首先检查是否保存从而节省了时间。
2. 自底而上法：这个问题一般需要恰当的定义子问题规模，使得子问题求解依赖于更小的子问题求解，将子问题的规模按从小到大来排序求解，求解一个问题时是依赖更小问题的解，所以每个问题只要求解一次。

4.伪代码

1. 自顶而下法：
2. 自下而上法：
   
   算法复杂度为O(n平方)

三：总结：

时间复杂度都是n的平方，但是带备忘的自上而下法还是递归，自下而上则不是递归了。