【数学模拟卷总结】2022李林四套卷数学二第三套

写这个系列是为了逼自己总结

题目复盘

1. 直接把$k$移动到等式的另一侧， 分离变量做即可。

2. 导数定义确定$f(x)$在$x=a$的右邻域是$f(x)>f(a)$，在$x=b$的左邻域是$f(x)>f(b)$（按导数定义极限式写开即可），然后题目告诉说在$(a,b)$内$f(x)$只有一个驻点，而且$f(x)$在$(a,b)$内有连续导数，所以$f(x)$在$(a,b)$内连续，所以$f(x)$在$(a,b)$内没有无定义点和不可导点，那就很好判断了，就一个驻点，要么是极大值要么是极小值，如果是极小值，图像就长这样：
   这就有三个驻点了，不符合题意，所以只能是极大值，而且这个极大值又唯一（不唯一的话驻点又多了），所以它一定是最大值点。

3. 模拟考试的时候我没有严格证明，而是根据$f^{\prime }(x)\ge 1$这个条件构造了辅助函数$F(x)=f(x)-x$，然后再去判断，此时$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1\ge 0$，说明$F(x)$单调不减，先看（1）和（2），在区间$[\frac{3}{4},1]$上，$F(x)\ge F(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})-\frac{3}{4}$，然后它还递增且$f(\frac{1}{2})\ge 0$，就说明，在区间$[\frac{3}{4},1]$上$F(x)\ge F(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})-\frac{3}{4}\ge F(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\ge -\frac{1}{2}$所以当$x$在区间$[\frac{3}{4},1]$上的时候，$F(x)\ge \frac{1}{4}$，命题1对，2不对，2没法构成不等式，不等号方向是不同的，同理4也是对的（就是加个绝对值，可以去掉绝对值讨论），但是这是简单判断，严格证明还是要按答案的方法来：
   

4. **这个题是考纲要求但是没出过的题型，定积分的应用，就是微元法，张宇18讲有类似的题目，题目如下：
   记住这种题型就行，本题也是以一圈做微元，微元是$2\pi rdr$。
   

5. 答案是直接两边隐函数求导，我是用了隐函数求导法则，这类题没有计算失误就OK。

6. 这题不要解微分方程，先看四个选项去掉那个高阶式子后，剩下的和$e^x-1$做比求趋近于0的极限，得1（等价无穷小的定义）才是有可能的答案，这样排除了（A）和（C），然后把（B）（D）选项求一下一阶导数和二阶导数带回方程，成立的就是答案，故选（B），这题解微分方程就慢了。

7. 这题二重积分的$y$的取值范围是拧着的，先把它“摆正”为：${\int }_0^{2}dx{\int }_{\sqrt{3}x}^{x}f(\sqrt{x^2+y^2})dy=-{\int }_0^{2}dx{\int }_x^{\sqrt{3}x}f(\sqrt{x^2+y^2})dy$，然后画一下图就出来了，（A）选项是$\theta$的上下限反了，（B）选项是没写$rdr$，直接按“摆正”的算就是（C）选项。

8. $\mathbf{A}\mathbf{B}$那个等式右边正好是对$\mathbf{B}$做初等列变换，按左行右列定理写成$\mathbf{B}\wedge$（对角矩阵），由于矩阵$\mathbf{B}$可逆，所以在$\mathbf{A}\mathbf{B}$那个等式两边同时左乘乘${\mathbf{B}}^{-1}$，然后就得到一个$\mathbf{A}$相似对角化的定义式，接下来在要求的行列式旁边乘一个$|\mathbf{A}|$，然后把里面按$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }$写开即可求出，挺巧妙的。

9. 假设A是个3行4列的矩阵，A的行向量组线性无关，A行满秩，那么A的转置就是一个四行三列的，A转置的秩等于3=未知数个数3，（A）对，A转置乘A是一个4行4列的矩阵，根据四秩相等$r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^T)=r({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T)$，A转置乘A的秩也是3小于未知数个数4，（B）对，A的秩序为3，A的增广矩阵的秩也为3，但是3小于未知数个数4，所以（C）对，A转置的秩为3,但是增广矩阵的秩不一定为3，可能为4，可能为3，这就没法确定，（D）错。

10. 算一下四个二次型对应矩阵的特征值即可，合同要求特征值的正负惯性指数一致即可，其实1和3还是相似，因为实对称矩阵必可相似对角化，它们两个还相似于同一个对角矩阵，实对称矩阵相似必合同。

11. 极限式凑导数定义的形式，验证一下$x=2$时对应的$t$带入$y$中是不是3，若是就是导数定义。

12. 曲率半径公式直接代入，这题因为$e^x$肯定大于0，所以直接令$e^x=u$，$u>0$，求一个关于$u$的函数的最小值就行，这样求导方便不啰嗦。

13. 我不是按答案那么做的，我是直接换元，令$t=\sqrt{x-1}$，然后就正好是一个$arctan$的形式，直接算出来了。

14. ***这题我马虎了，题目让我算的是1点的二阶导数，我把二阶导数表达式写上去了，这题二重积分的变上限积分，直接求导是不行的，想到换元，我是雅克比换的，按答案那种换元也行，本质上也是雅克比，重新复盘如下：
    我感觉雅克比换元的思路还是比较清晰的，答案的方法也行，我个人觉得容易算错
    

15. 这题是魔改的2019年的真题，2019原真题如下：
    
    就是注意$sinx$这类三角函数求面积，要分周期，因为有的周期在$x$轴下方，一般都求出来一个数列求和，本题就是等差数列求和，本题如果是和2019年一样用$e^{-x}$乘，也可以用拉普拉斯积分变换法解（具体详见拉普拉斯积分变换）但是答案做的更巧妙，直接利用周期性：
    
    
    区间再现公式加周期性确实比我那个数列求和来的快，这里可以加快解题速度，以后见到这种三角函数积分带周期的，前面还有个幂函数的，考虑考虑区间再现化简。

16. ***这题我马虎了，根据矩阵的式子求出特征值有0有1，然后不满秩，且为r，说明特征值1有r个，特征值0有n-r个，A实对称可相似对角化，然后就求出来了，只不过我最后化简出错了，重新复盘如下：
    
    

17. ***这题我马虎了，演算纸上多写了个数，就莫名其妙抄到答题卡上了，就不复盘了，低级错误，给变上限积分换个元就出来了。

18. 二重积分轮换对称性加极坐标很快做出来了。

19. 这题我用的泰勒公式在0点展开到二阶拉格朗日余项做的，因为恰好在最后能减掉$f^{\prime }(0)$那一项，这个方法还是挺有风险的，万一减不掉就判断不了正负了，正常的办法是把等式整理到一边令成函数求导做，$f(0)=0$的条件可以在一阶导数那里多减去个$f(0)$走拉格朗日中值定理，这题还可以。

20. 利用二阶偏导数连续，混合偏导数相等，解出微分方程，然后求极值。

21. 第一问，把不等式移到一边整理成函数然后求导通过单调性证明，第二问，第一问疯狂暗示你不等式，第二问肯定用夹逼准则，但是这题右半侧的夹逼准则需要用到基本不等式$sinx<x,x>0$，然后就OK了。

22. ***这题我第一问的逆矩阵没求出来，我记得这类题李永乐和张宇的书都有类似的题目，但是我只是有个印象，具体是什么忘记了，先把李永乐线代讲义的类似题拿出来（这题第二问还是很正常符合考试风格的，我就第一问没求出逆矩阵）：
    

李永乐线代讲义这题是证明正交，不是求逆，不过也算是一个出题的点，再看看张宇线代9讲的题目：

张宇这个给了个台阶，让你试着求一下A的平方，然后再求A的逆

张宇还有一个类似的题目：


总结一下，就是遇到$\mathbf{A}=\mathbf{E}+k\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T$其中$\mathbf{\alpha }$和$\mathbf{\beta }$是列向量，那么先化成$\mathbf{A}-\mathbf{E}=k\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T$，然后再取$(\mathbf{A}-\mathbf{E}{)}^2=k^2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T=k^2({\mathbf{\beta }}^T\mathbf{\alpha })\mathbf{\alpha }{\mathbf{\beta }}^T$，所以$(\mathbf{A}-\mathbf{E}{)}^2=k(\mathbf{A}-\mathbf{E})$，把括号打开，整理成${\mathbf{A}}^2-\left(2+k\right)\mathbf{A}+\left(1+k\right)\mathbf{E}=0$，继续化成${\mathbf{A}}^2-\left(2+k\right)\mathbf{A}=-\left(1+k\right)\mathbf{E}$即$\mathbf{A}(\mathbf{A}-(2+k)\mathbf{E})=-\left(1+k\right)\mathbf{E}$这样就求出逆矩阵为${\mathbf{A}}^{-1}=-\frac{1}{1+k}(\mathbf{A}-(2+k)\mathbf{E})$了，以李林这个题为例，重新复盘第一问如下：

第一问证明线性相关比较好弄，题给等式两边乘$\alpha$即可，第二问求正交变换求特征值发现正好正交写标准型即可。

总结

这套卷答的还可以，如果没有计算失误，能得更高的分，顺带总结了一下没有思路的线代题的题型。