【数学模拟卷总结】2022李林四套卷数学二第二套

写这个系列是为了逼自己总结

题目复盘

1. $cosx$正常按泰勒展开，答案将后面一项$1-a{x}^2$系数单独提到因式外面来，然后对$\frac{1}{1-b{x}^2}$做泰勒展开，也可以，我是先把题给式子拆成$cosx-\frac{1}{1-b{x}^2}+\frac{a{x}^2}{1-b{x}^2}$，然后按按无穷等比递降数列求和公式和泰勒公式展开得$1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6-(1+(-b{x}^2)+(-b{x}^2{)}^2+(-b{x}^2{)}^3)+a{x}^2+ab{x}^4+a{b}^2{x}^6$，要让二次项和四次项系数为0即$-\frac{1}{2}+b+a=0$与$\frac{1}{4!}-b^2+ab=\frac{1}{24}-b(b+a)=0$把$a+b=\frac{1}{2}$带入就解出参数$b$，然后再解出参数$a$，然后就得出正确答案（关于什么是无穷等比递降数列求和公式，详见王谱老师“一减疯猴”法）。
2. 用导数定义先看$0$点导数是否存在，经过计算得0，再用导数定义看0点二阶导数是否存在，经过计算为$\infty$，不存在，选出答案。
3. 这题就考一个结论，$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nx}=\{\begin{array}{l}0,x<0\\ +\infty ,x>0\\ 1,x=0\end{array}$，知道这个就很容易写出$f(x)$的表达式，$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -x,& x<0.\end{array}$，不难发现$f(x)$为偶函数，然后下面就用到另一个结论，变上限积分存在跳跃间断点才不可导，考研数学范围内变上限积分都是连续的，$f(x)$没有跳跃间断点，所以$f(x)$连续，然后又用到一个结论，$\text{ 连续函数 }f(x)\text{ 是奇 (偶) 函数 }\Rightarrow \{\begin{array}{l}F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{ 是偶 (奇) 函数, }\\ F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{ 是偶函数 }(a\ne 0,f(x)\text{ 是 }\\ \text{ 偶函数, }F(x)\text{ 不一定是奇函数). }\end{array}$，这一看，下限是0，不用考虑不一定是奇函数的情况，所以$F(x)$是奇函数。
4. 答案用的反证法，我是直接证，首先选项中问的是$F_{+}^{\prime \prime }(a)$和$F_{-}^{\prime \prime }(b)$的大小关系，那么先求$F(x)$的一阶导数，然后二阶导数用定义判断邻域内的情况即可，$F^{\prime }(x)=f(x)$，题中又告知$f(x)$在$x=a$处取得最小值，在$x=b$处取得最大值，则$x\in (a,a+\delta ),F^{\prime }(x)=f(x)\ge f(a),x\in (b-\delta ,b),F^{\prime }(x)=f(x)\le f(a),\delta$是一个极小的数，故$F_{+}^{\prime \prime }(a)=f_{+}^{\prime \prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$，此时$f(x)\ge f(a)$即$f(x)-f(a)\ge 0$，$x-a>0$，所以$F_{+}^{\prime \prime }(a)\ge 0$，同理$F_{-}^{\prime \prime }(b)=f_{-}^{\prime \prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(b)}{x-b}$，此时$f(x)\le f(b)$即$f(x)-f(b)\le 0$，$x-b<0$，所以$F_{-}^{\prime \prime }(b)\ge 0$
5. 模拟考试的时候，看到不等式$f^{\prime }(x)<f(x)$立刻开始构造辅助函数$F(x)={\mathrm{e}}^{-x}f(x)$则$F^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}\left[f^{\prime }(x)-f(x)\right]<0$，所以$F(x)$在题给区间范围内单调减少，然后我就没有仔细观察，在积分区间$[0,1]$上，按答案的做法，因为$F(x)$单调减少，则由$F(0)={\mathrm{e}}^{0}f(0)=1$可知，当$x\in (0,1)$时，$F(x)={\mathrm{e}}^{-x}f(x)\le F(0)=1$，则$f(x)\le {\mathrm{e}}^x$，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x<{\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1$，这是答案的做法，我想到利用单调性，但是不等关系用错了，我用的是$f^{\prime }(x)<f(x)$，然后构造了一个${\int }_0^{1}f(x)dx>{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)-1$这样的不等式，但是没法判断出大小关系，于是情急之下我就根据题目的不等式$f^{\prime }(x)<f(x)$取了特殊函数$f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$，$f^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}<0<f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$也做出了答案（取$e=\mathrm{2.7.....}$），还是按答案这个方法来，构造不等式不要太死板。
6. 偏微分方程，先解出$z(x,y)=?+c(y)$，然后再把题目条件$z(1,y)=siny$带入得$c(y)$，然后再求偏导数，偏导数别求错，注意$ln$求偏导数后里面要加绝对值，不算错就能得出答案。
7. 根据题中图像，先找假设$x=1$处最上面的曲线是$f(x)$，观察它的单调性，找到一个与其单调性对应的图像（比如单调增加时，图像是正的，单调减少时图像是负的）就能确定$f^{\prime }(x)$，然后如法炮制，找到一个与$f^{\prime }(x)$单调性对应的图像（比如单调增加时，图像是正的，单调减少时图像是负的），确定$f^{\prime \prime }(x)$，找极值点就是一阶导数在邻域内变号的点，找拐点就是找二阶导数邻域内变号的点，找到就选出答案。
8. 这题有意思，线性代数和高等数学结合的题目，由${\mathbf{A}}^2\mathbf{\alpha }+\mathbf{A}\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\alpha }=({\mathbf{A}}^2-\mathbf{A}-2\mathbf{E})\mathbf{\alpha }=0$，由于$\mathbf{\alpha }$是非零列向量且不是$\mathbf{A}$的特征向量，所以有${\lambda }^2+\lambda -2=(\lambda -1)(\lambda +2)=0$，进而求出特征值为$1,-2$，所以矩阵$\mathbf{A}$至少有两个特征值$1,-2$，刚好$f(x)=|x\mathbf{E}-\mathbf{A}|$是特征多项式，所以$f(x)=(x-1)(x+2)(x-{\lambda }_3)$，又因为$f(1)=0=f(-2)=0$，由罗尔定理可知，至少存在一点$x_0\in (-2,1)$使得$f^{\prime }(x_0)=0$，导数为0，切线斜率为0，即和$x$轴平行和$y$轴垂直，所以找一个和$y$轴平行的直线即为选项，故选择$x=1$.
9. **（A）和（B）选项太复杂，我模拟考试的时候先判断（C）和（D）选项，（D）选项非齐次方程组有唯一解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知数个数3，系数矩阵的秩为3，所以齐次方程组仅有0解，（D）对，（C）选项齐次方程组有非0解说明系数矩阵的秩小于3，非齐次方程组不一定，系数矩阵的秩序小于3，增广矩阵（加一个向量进来以后）它还有可能是3，这样就出现系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等的情况，这样就无解了，所以错误的是（C）选项， 模拟考试的时候选出正确选项就结束了，接下来复盘（A）（B）选项如下：
   
   
   网上有人说（A）选项是错的，后来我想想可能真是错的，题目没说$\mathbf{\alpha }$是非0向量，我就取成0向量也对，取成0向量（A）就错了，且${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$和$\left(\begin{array}{l}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\mathbf{x}=0$不能同解，${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$的解的范畴比$\left(\begin{array}{l}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\mathbf{x}=0$解的范畴大，因为$\left(\begin{array}{l}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\mathbf{x}=0$新增了约束条件，所以这个题就看看吧，（A）选项可能真的是错的。
10. 还是那个经典结论，再放一遍：知道$n$维实列向量$\mathbf{\alpha }$有这样的关系：${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=C$，$C$为非0常数，则矩阵$\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$为实对称矩阵，其特征值为$C,0,...,0$，其可相似对角化于$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& ...& 0\\ 0& 0& ...& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，则$r\left(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\right)=1$，由此可知$2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$是实对称矩阵，则$\begin{array}{l}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\left(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{\alpha }=2\mathbf{\alpha }\left({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }\right)+\mathbf{\beta }\left({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }\right)=2\mathbf{\alpha },\\ \mathbf{A}\mathbf{\beta }=\left(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\right)\mathbf{\beta }=2\mathbf{\alpha }\left({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }\right)+\mathbf{\beta }\left({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }\right)=\mathbf{\beta },\end{array}$，所以这个二次型矩阵有特征值2和1，由结论$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩽r([\mathbf{A},\mathbf{B}])⩽r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$可知，$r\left(2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\right)⩽r\left(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\right)+r\left(\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\right)=2<3$，不满秩，说明行列式为0，则$|\mathbf{A}|=0={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=2\times 1\times {\lambda }_3$，则${\lambda }_3=0$，特征值两正没有负，正惯性指数为2，直接选出答案，但是我没这么麻烦，我直接将两个向量取成(1,0,0)和(0,1,0)一样得到了结果，选择题就是要快，上面那个答案给出的是严格证明过程，要是出解答题可以直接写。
11. 还是用到那个结论，$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nx}=\{\begin{array}{l}0,x<0\\ +\infty ,x>0\\ 1,x=0\end{array}$，然后画$f(x+1)$的图像（左加右减平移）就知道哪里是间断点了。
12. 参数方程缝了个隐函数，注意别求错了就行，这个用公式一：$y^{\prime \prime }=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)/dt}{dx/dt}$不好求，用公式二：$y^{\prime \prime }=\frac{y^{\prime \prime }(t)x^{\prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{{\left[x^{\prime }(t)\right]}^3}$比较好算，别算错就行。
13. 数列连续化成函数，求最小值就是求分子最大值，然后求得最大值点是$e$，但是原数列要取整数，$2<e<3$，$e$大约是2.7左右，所以更靠近3，数列最小项是$a(3)$.
14. 无穷区间旋转体体积，广义的体积，用表格积分法就算出来了（表格积分法详见：武忠祥老师讲表格积分法，这个方法是陈文灯大师引入考研数学的）
15. 一阶微分方程，化成积分因子的形式好算，只是$ln$里面套$ln$的积分有点恶心，容易套晕
16. ***这题我马虎了，这一看，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性无关，且${\mathbf{\alpha }}_4={\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$则$r(\mathbf{A})=3$，说明$\mathbf{A}x=0$有$n-r(\mathbf{A})=4-3=1$个线性无关的解向量，基础解析只有一个解，直接改写成${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_4=0$就得出一个通解$k(1,-1,1,-,1{)}^T$，然后$\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4$直接得出特解$(0,1,1,1{)}^T$，最后非齐次方程的通解为$k(1,-1,1,-,1{)}^T+(0,1,1,1{)}^T$,$k$为任意常数，我就忘了写这个任意常数，还是马虎了，以后做题要认真。
17. ***这题我做错了，这题有坑，以后遇到$e^{nx}$、$x^n$、$x^{2n}$和$a^x$记得讨论定义域和参数$a$，我就是没讨论直接做的，重新复盘如下：
    
    
    对于这种题以后记得讨论一下参数就可以了，这个坑实在是挖的好，我就没讨论参数失分了。
18. 这个一看$f(x)f(y)=f(x+y)$，就凑导数定义$f(x)f(△x)=f(x+△x)$的形式，题目没说$f(x)$连续，所以不能从极限子推出$f(0)=1$，但是可以写导数定义即$f(x)f(△x)=f(x+△x)$等式两边除$△x$取极限即可，然后解微分方程发现$f(x)=C{e}^{-x}$，这一看就是初等函数，初等函数必连续，然后才可以用连续去说明$f(0)=1$进而解方程，第二问注意一下不可导点也可能是极值点。
19. ***这题我算错了，这题算错算得很搞笑，有一个步骤分子分母抄反了，改正后如下：
    
    以后不要再计算失误了，秋梨膏。
20. 二重积分，画图取极坐标就行，后面凑微分要凑出$d(1+r^{2}cos2\theta )$的形式，我就先凑的$d(r^2)$然后做麻烦了，不过最后也算对了，以后注意计算的技巧性。
21. ***这题我没做出来，这题太抽象了，我本来高中物理就学的不好，出题人还给我安排了个这么难的物理应用题，重新复盘如下：
    
    
    这物理应用题对我这种物理不好的人真的折磨。
22. 第一问，线性表示且表示法不唯一就是非齐次方程组有无穷多解，所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于未知数个数（方阵，未知数个数就是阶数），系数矩阵行列式为0，然后求出两个参数，一个让系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，无解，不符合条件舍弃，另一个经过验证刚好满足条件，我个人喜欢利用行列式为0这个条件最后验证求参数，因为我不喜欢答案那个初等变换定参数的方法，容易算错，因人而异，求出的解就是线性表示的系数，别忘了k为任意常数，第二问就是简单的二次型通过正交变换化标准型，注意别求错特征向量就行，特征向量求出来刚好正交，单位化就行。

总结

这套卷做的还行，就是以后注意计算，别算错了，也要注意技巧，还有两个月，我要稳下来，接下来看看英语和专业课，Zheng zhi那个学科抽空看看。