数据结构——图(3)

数据结构—图

（三）、图的遍历

    图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。
    对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先：
    1．首先访问出发顶点V
    2.   依次从V出发搜索V的每个邻接点W;
    3.   若W未访问过，则从该点出发继续深度优先遍历；它类似于树的前序遍历。
    广度优先：
    1．首先访问出发顶点V
    2．然后访问与顶点V邻接的全部未访问顶点w、X、Y…
    3．然后再依次访问W、X、Y…邻接的未访问的顶点

例如的深度优先遍历为：V1 V2 V3 V4 V5 V6；广度优先遍历为：V1 V2 V5 V3 V6 V4。

3.1 深度优先遍历

    深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。
    它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
    我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。

#define MAXVEX  100     //最大顶点数
typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSE
Boolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组
#define TRUE 1
#define FALSE 0
//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph g, int i)
{
    int j;
    visited[i] = TRUE;
    printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点，也可以其他操作
    for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
    {
        if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
        {
            DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用
        }
    }
}
 //邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph g)
{
    int i;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
    }
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
        {
            DFS(g,i);
        }
    }
}

   如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。

//邻接表的深度递归算法
void DFS(GraphList g, int i)
{
    EdgeNode *p;
    visited[i] = TRUE;
    printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作
    p = g->adjList[i].firstedge;
    while(p)
    {
        if(!visited[p->adjvex])
        {
            DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用
        }
        p = p->next;
    }
}
 //邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList g)
{
    int i;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        visited[i] = FALSE;
    }
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        if(!visited[i])
        {
            DFS(g, i);
        }
    }
}

例如的拓扑排序为：02143567或01243657或02143657或01243567

    对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

3.2 广度优先遍历

    广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

    邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。

//邻接矩阵的广度遍历算法
void BFSTraverse(Graph g)
{
    int i, j;
    Queue q;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        visited[i] = FALSE;
    }
    InitQueue(&q);
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
    {
        if(!visited[i])               //若是未访问过
        {
            visited[i] = TRUE;
            printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
            EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列
            while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给
            {
                int m;
                DeQueue(&q, &m);        
                for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
                {
                    //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
                    if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
                    {
                        visited[j] = TRUE;
                        printf("%c ", g.vexs[j]);
                        EnQueue(&q, j);
                    } }  } }  }

对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下 。

//邻接表的广度遍历算法
void BFSTraverse(GraphList g)
{
    int i;
    EdgeNode *p;
    Queue q;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        visited[i] = FALSE;
    }
    InitQueue(&q);
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        if(!visited[i])
        {
            visited[i] = TRUE;
            printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作
            EnQueue(&q, i);
            while(!QueueEmpty(q))
            {
                int m;
                DeQueue(&q, &m);
                p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针
                while(p)
                {
                    if(!visited[p->adjvex])
                    {
                        visited[p->adjvex] = TRUE;
                        printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
                        EnQueue(&q, p->adjvex);
                    }
                    p = p->next;
                }
            }
        }
    }

  对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。

最小生成树:

    包含图所有顶点的树，成为图的生成树，各边权值之和最小的树成为最小生成树。
    普里姆算法：
    1. 定义出发点为一个集合
    2. 其它点为另外一个集合
    3. 找到顶点和其它点的距离，不可到达为无穷大
    4. 每确定一个点，则把这个点当做出发点集合中的点，从此点开始再次循环规则
    克鲁斯卡尔算法：
    1. 先确定各个点之间的距离
    2. 画出各个点
    3. 距离从小到大排序，依次加入画的顶点中（但是避免形成回路，如果形成回路，则忽略此距离），直到各个点之间可以连通

拓扑排序:

    用有向边表示各顶点活动开始的先后顺序，这些顶点组成的网络成为AOV网络。对一个有向无环图的顶点排成一个线性序列，使得有向边起点排在该有向边终点前的序列称之为拓扑序列。拓扑排序不一定唯一。
    1. 找到入度为0的点，作为起点
    2. 起点完成后，删除该起点的出度
    3. 在剩余的aov网络中重复此过程

关键路径:

AOV网络中，如果边上的权表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV为AOE网络。其中关键路径是最长的一条路径。如下：

的关键路径为V1--V2--Vk或V1--V4--Vk。

  关于我们图的数据结构就先讲到这里了!