第十三届蓝桥杯C++B组国赛F题——费用报销 （AC）

1.费用报销

1.问题描述

小明在出差结束后返回了公司所在的城市, 在填写差旅报销申请时, 粗心 的小明发现自己弄丢了出差过程中的票据。

为了弥补小明的损失, 公司同意小明用别的票据进行报销, 但是公司财务 要求小明提交的票据中任意两张的日期差不小于 $K$ 天, 且总金额不得超过实际 差旅费用 $M$ 。

比如财务要求 $K=7$ 时, 若小明提交了一张 1 月 8 日的票据, 小明就不能 提交 1 月 2 日至 1 月 14 日之间的其他票据, 1 月 1 日及之前和 1 月 15 日及之 后的票据则可以提交。

公司的同事们一起给小明凑了 $N$ 张票据, 小明现在想要请你帮他整理一 下, 从中选取出符合财务要求的票据, 并使总金额尽可能接近 $M$ 。

需要注意, 由于这些票据都是同一年的, 因此 12 月底的票据不会影响到 1 月初票据的提交。这一年不是闰年。

2.输入格式

第 $1$ 行： 3 个整数, $N,M,K$
第 $2\dots N+1$ 行: 每行 3 个整数 $m_i,d_i,v_i$, 第 $i+1$ 行表示第 $i$ 张票据时间 的月份 $m_i$ 和日期 $d_i,v_i$表示该票据的面值

3.输出格式

第 1 行: 1 个整数, 表示小明能够凑出的最大报销金额

4.样例输入

4 16 3
1 1 1
1 3 2
1 4 4
1 6 8

5.样例输出

10

6.数据范围

$1\le N\le 1000,1\le M\le 5000,1\le K\le 50,1\le mi\le 12,1\le d_i\le 31,1\le v_i\le 40012,1\le di\le 31,1\le vi\le 400$

7.原题链接

费用报销

2.解题思路

这是一道比较明显的01背包问题，涉及物品的选择。这些票据都有月份和天数，为了方便比较，我们将其全部转换为天数，使用pair存下天数和票额，然后根据天数来进行排序。

定义bool数组f[i][j]，含义为只考虑前i个物品，能否组成价值为j的情况。当我们枚举到票据i时，假设它的天数为 $x$，如果我们选了票据i，那么票据日期$[x-k,x]$都是不可取的。所以我们需要使用双指针维护每一个票据i上一个和他日期相差大于k天的票据l。

接下来进行状态转移的分析，当$j<t[i].second$（表示排序后第 $i$ 个票据的价值），说明我们的票据价值太大，无法选择，转化为背包思想就是我们的物品太重背包放不下。此时状态转移就为$f[i][j]=f[i-1][j]$。当$j>=t[i].second$时，说明当前票据我们是可选的，我们有两种抉择——选还是不选？如果我们不选择它，那么转移方程同上。如果我们选择它，那么状态转移时就不一定是从上一个物品转移过来，题意要求两件任意的两张票据需要至少间隔k天，我们应该从上一张比当前票据至少少k天的票据l转移过来，那么状态转移方程为：$$f[i-1][j]|f[l][j-t[i].second]$$。

将转移方程结合起来，上面是可选状态，下面是不可选状态:
f [ i ] [ j ] = { f [ i − 1 ] [ j ] if j=t[i].secode f[i][j]= \begin{cases} f[i-1][j] &\text{if j=t[i].secode}\\ \end{cases} f[i][j]={f[i−1][j]f[i−1][j]∣f[l][j−t[i].second]​if jif j>=t[i].secode​

当然因为是01背包问题，我们也可以使用滚动数组优化，这里为了方便大家理解就没有进行优化。最后从最大体积 $M$ 倒着遍历体积 $V$，那么第一个 $dp[n][V]=true$ 对应的 $V$ 即为答案。

时间复杂度:$O(nm)$。

3. AC_code

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;;
const int N=1010;

int n,m,k;
int w[]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
PII t[N];
//只考虑前i个物品能否组成体积为j的情况
bool f[N][5*N];
int main() 
{
	for(int i=1;i<=12;++i) w[i]+=w[i-1];
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		t[i]={w[a-1]+b,c};
	}
	//按日期排序
	sort(t+1,t+n+1);
	f[0][0]=true;
	//双指针
	int l=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		//找到上一个可选的票据
		while(t[i].first-t[l+1].first>=k) l++;
		for(int j=0;j<=m;++j){
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=t[i].second) f[i][j]|=f[l][j-t[i].second];
		}
	}
	for(int v=m;v>=0;--v){
		if(f[n][v]){
			printf("%d\n",v);
			return 0;
		}
	}
}